2021-2022学年浙教版数学八下4.6 反证法同步练习
一、单选题
1．用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（ ）
A．假定CD//EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB//EF D．假定AB不平行于EF
2．（2021八上·诸暨期末）要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a﹣3，b＝2
C．a﹣＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
3．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明“a<0”时，应先假设（ ）
A．a>0 B．a=0 C．a 0 D．a不为0
4．（2021八上·平阳期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（ ）
A．三个角都小于60° B．三个角都大于60°
C．三个角都大于或等于60° D．有两个角大于60°
5．（2021八下·北仑期末）利用反证法证明“x＞2”，应先假设（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≠2
6．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（ ）
A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A<45°，∠B<45° D．∠A>45°，∠B>45°
7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60 D．每一个内角都小于60°
8．（2021八上·承德期末）若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设（ ）
A． B． C． D．
9．（2021八上·义乌期中）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≤60° D．∠A≠60°
10．（2021八上·剑河月考）如图，点O是 的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在 的平分线上：②点O到 的三边的距离相等；③ ，以上结论正确的有（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
二、填空题
11．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设： 。
12．（2021八下·南城期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设 .
13．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°.
求证：l1 l2.
证明：假设l1 l2，即l1与l2相交于一点P.
则∠1+∠2+∠P 180°（ ）。
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立，
所以 。
14．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设 ，根据 ，一定有 ，但这与已知 相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。
15．（2021八上·襄汾期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设： ．
16．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
三、解答题
17．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）阅读下列文字，回答问题。
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC=BC，
∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。
18．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
19．（2020八上·滦南期末）阅读下列文字，回答问题.
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
20．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
21．（2021八下·钦州期末）如图1，四边形ABCD是正方形，F是BC边上的一点，E是CD边的中点，且AF＝AD+FC，连接EF并延长EF交AD的延长线于点G.
（1）求证：AE平分∠DAF；
（2）AF＝DE+BF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图2，若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，试探究上述（1）、（2）中的结论是否成立.请分别做出判断，不需要证明.
22．（2020八下·茅箭期中）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数
……
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
（3）是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是CD∥EF，
∴当用反证法证明这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步： 通常是假设所证结论不成立，结合结论是“CD∥EF”，即可解答.
2．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：A、32＞22，且3＞2，不能作为反例，故A不符合题意；
B、（-3）2＞22，但-3＜2，能作为反例，故B符合题意；
C、32＞（-1）2，且3＞-1，不能作为反例，故C不符合题意；
D、（-1）2＜32，不能作为反例，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：应先假设： a 0 .
故答案为：C.
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，结合a<0的反面是 a 0 ，即可解答.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，
∵结论是“至少有一个角不大于60°，
∴应假设三个角都大于60°.
故答案为：B.
【分析】根据反证法的步骤，从命题的反面出发先假设出结论， 三角形至少有一个角不大于60°的结论的反面是三个角都大于60°.
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“x＞2”时，应先假设“x 2”，
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：假设 ∠A>45°，∠B>45° ，
∴∠A+∠B+∠C=90°+∠A+∠B>180°，
这与三角形内角和定理矛盾，
则原命题成立.
故答案为：D.
【分析】利用反证法证明，应先假设原命题的结论不成立，即其反面成立，依此解答即可.
7．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60 .
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设，
故答案为：D．
【分析】利用反证法判断即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；反证法；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O分别作 ，如图，
点O是△ABC的两个外角平分线的交点，
，
，
点O到△ABC的三边的距离相等；故②正确；
，OD=OF，
点O在∠A的平分线上，故①正确；
连接AO ，
假设 ，
， 是∠BAC的角平分线， ，
， ，
， ，
， ，
，
即 ，
不一定等于 ，
故③不成立；
故正确的有①②.
故答案为：B.
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据角平分线的性质得OD=OE，OE=OF，推出OD=OE=OF，据此判断①②； 连接AO，假设OB=OC，易证△AOD≌△AOF，△ODB≌△OFC，得到AD=AF，DB=CF，推出AB=AC，据此判断③.
11．【答案】李子为甜李
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确，
∴应假设：李子为甜李.
故答案为：李子为甜李.
【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，即可作答.
12．【答案】在直角三角形中两个锐角都大于45°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可得到答案。
【分析】根据反证法的含义判断得到答案即可。
13．【答案】∥；不平行于；=；三角形内角和定理；=；假设；结论；l1∥l2
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】证明：假设l1不平行于l2， 即l1与l2相交于一点P，
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2<180°，
这与假设 ∠1+∠2=180° 矛盾，
∴结论不成立，
故l1∥l2 .
故答案为：∥，不平行于，三角形内角和定理，=，假设，结论，l1∥l2 .
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设l1不平行于l2， 即l1与l2相交于一点P，利用三角形内角和定理证明即可.
14．【答案】∠C=90°；勾股定理；AC2+BC2=AB2；AC2+BC2≠AB2
【知识点】勾股定理；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠C=90°，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，
∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾，
故原命题成立.
故答案为： ∠C=90° ， 勾股定理 ， AC2+BC2=AB2 ， AC2+BC2≠AB2 .
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设∠C=90°，利用勾股定理，即可得证.
15．【答案】这两个角所对的边相等
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．
证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，
故答案为：这两个角所对的边相等．
【分析】根据反证法的证明方法及要求求解即可。
16．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，
是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【分析】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
17．【答案】解：有错误。改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B
又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴.AC=BC不成立， AC≠BC。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可.
18．【答案】解：已知△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，
∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】根据反证法的证明方法，先假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，然后根据三角形内角和定理证明即可.
19．【答案】解：有错误. 改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，
所以AC≠BC.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：①假设结论成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
20．【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法
【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°，
∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠EDG＝∠C，
∵E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△EDG和△ECF中， ，
∴△EDG≌△ECF（ASA），
∴EG＝EF，DG＝FC，
∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG，
∴AF＝AG，
∴AE平分∠DAF；
（2）解：AF＝DE+BF成立，证明如下：
如图2，作AH⊥AE交CB的延长线于点H，
∴∠HAB+∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE，
在△AHB和△AED中，
，
∴△AHB≌△AED（ASA），
∴BH＝DE，∠H＝∠AED，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE，
∴∠AED＝∠FAH，
∴∠FAH＝∠H，
∴AF＝FH，
∵FH＝BH+BF，
∴AF＝DE+BF；
（3）解：①结论AE平分∠DAF仍然成立.
证明：如图3，
∵四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠EDG＝∠C，
∵E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△EDG和△ECF中，
，
∴EG＝EF，DG＝FC，
∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG，
∴AF＝AG，
∴AE平分∠DAF；
②结论AF＝DE+BF不成立.
如图4，
假设AF＝DE+BF成立，
作AH⊥AE交CB的延长线于点H，
∴∠HAB+∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE，
∴∠AED＝∠FAH，
∵∠AHB＝90°﹣∠HAB＝90°﹣∠DAE＝∠AED，
∴∠AHB＝∠FAH，
∴AF＝FH，
∴DE+BF＝BH+BF，
∴DE＝BH，
在△AHB和△AED中，
，
∴△AHB≌△AED（AAS），
∴AB＝AD，与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立.
∴AF＝DE+BF不成立.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；反证法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°，从而可证得∠EDG＝∠C，利用线段中点的定义可推出DE＝CE，利用ASA证明△EDG≌△ECF，利用全等三角形的性质可得到EF=EG，DG=FC；再证明AF=AG，利用等腰三角形的性质可证得结论；
（2）作AH⊥AE交CB的延长线于点H，利用正方形的性质可得到AB=AD，同时证得∠HAB=∠EAD，∠ABH=∠ADE，利用ASA证明△AHB≌△AED，利用全等三角形的性质可推出BH＝DE，∠H＝∠AED；再利用余角的性质可推出∠FAH=∠H，利用等角对等边可得到AF=FH，由此可证得结论；
（3）如图3，①利用已知四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，可得到∠ADC＝∠C＝90°，由此可推出∠EDG＝∠C，利用线段中点的定义可证得DE＝CE；利用ASA证明△EDG≌△ECF，利用全等三角形的性质可推出EG＝EF，DG＝FC；再证明AF=AG，利用等腰三角形的性质，可证得AE平分∠DAF；②如图4，假设AF＝DE+BF成立，作AH⊥AE交CB的延长线于点H，可得到∠HAB+∠BAE＝90°，利用矩形的性质可推出∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，从而可推出∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE；再证明DE＝BH，利用AAS证明△AHB≌△AED，然后利用全等三角形的性质可得到AB＝AD，与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立，即可证得结论.
22．【答案】（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （ ）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（ ）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（ ）°.
解得n=8 ，n是正整数，n=8 （不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°.
【知识点】反证法；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（ ）°；（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；（3）根据正n边形中的∠α=（ ）°，可得答案.
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下4.6 反证法同步练习
一、单选题
1．用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（ ）
A．假定CD//EF B．假定CD不平行于EF
C．已知AB//EF D．假定AB不平行于EF
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是CD∥EF，
∴当用反证法证明这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步： 通常是假设所证结论不成立，结合结论是“CD∥EF”，即可解答.
2．（2021八上·诸暨期末）要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a﹣3，b＝2
C．a﹣＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：A、32＞22，且3＞2，不能作为反例，故A不符合题意；
B、（-3）2＞22，但-3＜2，能作为反例，故B符合题意；
C、32＞（-1）2，且3＞-1，不能作为反例，故C不符合题意；
D、（-1）2＜32，不能作为反例，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
3．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明“a<0”时，应先假设（ ）
A．a>0 B．a=0 C．a 0 D．a不为0
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：应先假设： a 0 .
故答案为：C.
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，结合a<0的反面是 a 0 ，即可解答.
4．（2021八上·平阳期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（ ）
A．三个角都小于60° B．三个角都大于60°
C．三个角都大于或等于60° D．有两个角大于60°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，
∵结论是“至少有一个角不大于60°，
∴应假设三个角都大于60°.
故答案为：B.
【分析】根据反证法的步骤，从命题的反面出发先假设出结论， 三角形至少有一个角不大于60°的结论的反面是三个角都大于60°.
5．（2021八下·北仑期末）利用反证法证明“x＞2”，应先假设（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≠2
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“x＞2”时，应先假设“x 2”，
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
6．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（ ）
A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A<45°，∠B<45° D．∠A>45°，∠B>45°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：假设 ∠A>45°，∠B>45° ，
∴∠A+∠B+∠C=90°+∠A+∠B>180°，
这与三角形内角和定理矛盾，
则原命题成立.
故答案为：D.
【分析】利用反证法证明，应先假设原命题的结论不成立，即其反面成立，依此解答即可.
7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60 D．每一个内角都小于60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60 .
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
8．（2021八上·承德期末）若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设，
故答案为：D．
【分析】利用反证法判断即可得出答案。
9．（2021八上·义乌期中）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≤60° D．∠A≠60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
10．（2021八上·剑河月考）如图，点O是 的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在 的平分线上：②点O到 的三边的距离相等；③ ，以上结论正确的有（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；反证法；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O分别作 ，如图，
点O是△ABC的两个外角平分线的交点，
，
，
点O到△ABC的三边的距离相等；故②正确；
，OD=OF，
点O在∠A的平分线上，故①正确；
连接AO ，
假设 ，
， 是∠BAC的角平分线， ，
， ，
， ，
， ，
，
即 ，
不一定等于 ，
故③不成立；
故正确的有①②.
故答案为：B.
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据角平分线的性质得OD=OE，OE=OF，推出OD=OE=OF，据此判断①②； 连接AO，假设OB=OC，易证△AOD≌△AOF，△ODB≌△OFC，得到AD=AF，DB=CF，推出AB=AC，据此判断③.
二、填空题
11．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设： 。
【答案】李子为甜李
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确，
∴应假设：李子为甜李.
故答案为：李子为甜李.
【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，即可作答.
12．（2021八下·南城期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设 .
【答案】在直角三角形中两个锐角都大于45°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可得到答案。
【分析】根据反证法的含义判断得到答案即可。
13．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°.
求证：l1 l2.
证明：假设l1 l2，即l1与l2相交于一点P.
则∠1+∠2+∠P 180°（ ）。
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立，
所以 。
【答案】∥；不平行于；=；三角形内角和定理；=；假设；结论；l1∥l2
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】证明：假设l1不平行于l2， 即l1与l2相交于一点P，
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2<180°，
这与假设 ∠1+∠2=180° 矛盾，
∴结论不成立，
故l1∥l2 .
故答案为：∥，不平行于，三角形内角和定理，=，假设，结论，l1∥l2 .
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设l1不平行于l2， 即l1与l2相交于一点P，利用三角形内角和定理证明即可.
14．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设 ，根据 ，一定有 ，但这与已知 相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。
【答案】∠C=90°；勾股定理；AC2+BC2=AB2；AC2+BC2≠AB2
【知识点】勾股定理；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠C=90°，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，
∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾，
故原命题成立.
故答案为： ∠C=90° ， 勾股定理 ， AC2+BC2=AB2 ， AC2+BC2≠AB2 .
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设∠C=90°，利用勾股定理，即可得证.
15．（2021八上·襄汾期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设： ．
【答案】这两个角所对的边相等
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．
证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，
故答案为：这两个角所对的边相等．
【分析】根据反证法的证明方法及要求求解即可。
16．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，
是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【分析】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
三、解答题
17．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）阅读下列文字，回答问题。
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC=BC，
∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。
【答案】解：有错误。改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B
又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴.AC=BC不成立， AC≠BC。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可.
18．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
【答案】解：已知△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，
∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴假设不成立，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】根据反证法的证明方法，先假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，然后根据三角形内角和定理证明即可.
19．（2020八上·滦南期末）阅读下列文字，回答问题.
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
【答案】解：有错误. 改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
所以AC=BC不成立，
所以AC≠BC.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：①假设结论成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
20．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法
【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
21．（2021八下·钦州期末）如图1，四边形ABCD是正方形，F是BC边上的一点，E是CD边的中点，且AF＝AD+FC，连接EF并延长EF交AD的延长线于点G.
（1）求证：AE平分∠DAF；
（2）AF＝DE+BF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图2，若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，试探究上述（1）、（2）中的结论是否成立.请分别做出判断，不需要证明.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°，
∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠EDG＝∠C，
∵E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△EDG和△ECF中， ，
∴△EDG≌△ECF（ASA），
∴EG＝EF，DG＝FC，
∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG，
∴AF＝AG，
∴AE平分∠DAF；
（2）解：AF＝DE+BF成立，证明如下：
如图2，作AH⊥AE交CB的延长线于点H，
∴∠HAB+∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE，
在△AHB和△AED中，
，
∴△AHB≌△AED（ASA），
∴BH＝DE，∠H＝∠AED，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE，
∴∠AED＝∠FAH，
∴∠FAH＝∠H，
∴AF＝FH，
∵FH＝BH+BF，
∴AF＝DE+BF；
（3）解：①结论AE平分∠DAF仍然成立.
证明：如图3，
∵四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∵∠EDG＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠EDG＝∠C，
∵E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△EDG和△ECF中，
，
∴EG＝EF，DG＝FC，
∵AF＝AD+FC，AG＝AD+DG，
∴AF＝AG，
∴AE平分∠DAF；
②结论AF＝DE+BF不成立.
如图4，
假设AF＝DE+BF成立，
作AH⊥AE交CB的延长线于点H，
∴∠HAB+∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠ABH＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE，
∵∠EAD+∠AED＝90°，∠FAE+∠FAH＝90°，∠EAD＝∠FAE，
∴∠AED＝∠FAH，
∵∠AHB＝90°﹣∠HAB＝90°﹣∠DAE＝∠AED，
∴∠AHB＝∠FAH，
∴AF＝FH，
∴DE+BF＝BH+BF，
∴DE＝BH，
在△AHB和△AED中，
，
∴△AHB≌△AED（AAS），
∴AB＝AD，与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立.
∴AF＝DE+BF不成立.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；反证法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADC＝∠C＝∠BAD＝90°，从而可证得∠EDG＝∠C，利用线段中点的定义可推出DE＝CE，利用ASA证明△EDG≌△ECF，利用全等三角形的性质可得到EF=EG，DG=FC；再证明AF=AG，利用等腰三角形的性质可证得结论；
（2）作AH⊥AE交CB的延长线于点H，利用正方形的性质可得到AB=AD，同时证得∠HAB=∠EAD，∠ABH=∠ADE，利用ASA证明△AHB≌△AED，利用全等三角形的性质可推出BH＝DE，∠H＝∠AED；再利用余角的性质可推出∠FAH=∠H，利用等角对等边可得到AF=FH，由此可证得结论；
（3）如图3，①利用已知四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，可得到∠ADC＝∠C＝90°，由此可推出∠EDG＝∠C，利用线段中点的定义可证得DE＝CE；利用ASA证明△EDG≌△ECF，利用全等三角形的性质可推出EG＝EF，DG＝FC；再证明AF=AG，利用等腰三角形的性质，可证得AE平分∠DAF；②如图4，假设AF＝DE+BF成立，作AH⊥AE交CB的延长线于点H，可得到∠HAB+∠BAE＝90°，利用矩形的性质可推出∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB∥CD，从而可推出∠HAB＝∠EAD，∠ABH＝∠ADE；再证明DE＝BH，利用AAS证明△AHB≌△AED，然后利用全等三角形的性质可得到AB＝AD，与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立，即可证得结论.
22．（2020八下·茅箭期中）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数
……
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
（3）是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （ ）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（ ）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（ ）°.
解得n=8 ，n是正整数，n=8 （不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°.
【知识点】反证法；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（ ）°；（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；（3）根据正n边形中的∠α=（ ）°，可得答案.
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