2021-2022学年浙教版数学八下第四章 平行四边形 单元检测卷
一、单选题
1．电动伸缩门是依据平行四边形的（ ）
A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性
2．已知在 ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．60°
3．（2021八上·杜尔伯特期末）如图下面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八下·上城期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
5．如果一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．（2021八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定
7．（2021八上·大庆期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
8．（2021八下·南岸期末）如图，在 中，点E，F在对角线 上，连接 ，点E，F满足以下条件中的一个：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中，能使四边形 为平行四边形的条件个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021八下·驿城期末）在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，在下列条件中，① ， ，② ， ；③ ， ，④ ， ，⑤ ， 能够判定四边形 是平行四边形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设（ ）
A．三角形的两个内角小于60° B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的两个内角大于60° D．三角形的三个内角都大于60°
二、填空题
11．（2021八下·余姚期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 ．
12．（2021八下·丹徒期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝8cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝ cm.
13．如图，在 □ ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有 个。
14．（2020八下·舞钢期末）如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是 .
15．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，AB=2，OA=，∠AOC=45°，则点B的坐标是 。
16．（2020八上·荣县月考）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上.比较大小，∠A＋∠C ∠1＋∠2.
三、解答题
17．用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
18．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度数。
19．如图所示，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的中点，连结AE并延长与DC的延长线相交于点F，连结BF，AC。
求证：四边形ABFC是平行四边形。
20．四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过O点作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F。
求证：四边形AECF是平行四边形.
21．（2021八上·思南月考）如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F.
（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.
22．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长至点F，使BF=BE，连结EC并延长至点G，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH，AF。
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数。
23．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，点F在线段DE上，且∠AFE=∠ADC
（1）若∠AFE=70°，∠DEC=40°，求∠DAF的大小；
（2）若DE=AD，求证：△AFD≌△DCE
24．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E。
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：DE+DF=AC；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，DE，DF，AC之间的数量关系为 。
（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上时，若AC=6，DE=10，则DF= 。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形具有不稳定性，
∴电动伸缩门是利用了平行四边形的不稳定性.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的不稳定性回答即可.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠D=2∠B=200°，
∴∠B=100°.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠B=∠D，结合∠B+∠D=200°，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”，第一步应先假设∠B≥90°；
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的外角和为360 °
∴边数为
故答案为：B.
【分析】利用n边形的外角和为360 °，得出结果。
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，
∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等，即S1=S2．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定定理
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
②由AE=AF无法证明四边形AECF是平行四边形；
③由AE=CF不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
⑤∵ ，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
综上可知，①④⑤符合题意，
故答案为：B.
【分析】 ①连接AC，交BD于点O，利用平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合BF=DE，得出OE=OF，则可判断四边形 为平行四边形；②③无法判断四边形 为平行四边形；④利用AAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，则可推出OE=OF，结合OA=OC，则可判断四边形 为平行四边形；⑤利用AAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，则可推出OE=OF，结合OA=OC，则可判断四边形 为平行四边形；即可得出结论.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：① ， ，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
② ， ，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③ ， ，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；
④ ， ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤由 ， 可得到 ，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故⑤正确；
所以，正确的结论有4个，
故答案为：C
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，
假设三角形的三个内角都小于60° .
故答案为：B.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
11．【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设∠B=∠C
故答案为：∠B=∠C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
12．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即点 为 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
故答案为：2.
【分析】首先由勾股定理求出AC的值，进而求得BD的值，由等腰三角形的性质可得CE=DE，推出EF为△CBD的中位线，然后结合中位线的性质进行求解.
13．【答案】9
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设EF和NH交于O，
在□ ABCD中， EF∥AD， HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形ABCD、AEOH、DHOF、 BEON、CFON、 AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共9个.
故答案为：9.
【分析】设EF和NH交于O，根据平行四边形的性质，结合EF∥AD，HN∥AB，得出AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，然后根据平行四边形的判定定理把平行四边形分别列出，即可解答.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=2，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：
.
故答案为： .
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案.
15．【答案】（-3，1）
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过B作BD⊥x轴于D点，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB=2，BC=OA=，
∴BD=CD=BC=1，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
∴点B的坐标为（-3，1）.
故答案为：（-3，1）.
【分析】过B作BD⊥x轴于D点，根据平行四边形的性质求出OC和BC长，然后根据等腰直角三角形的性质求出CD和BD长，即可求出点B的坐标.
16．【答案】=
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
在四边形ADCE中，
∴∠A＋∠C=∠1＋∠2
故答案为：=.
【分析】由平角的定义可得，根据四边形的内角和可求出，据此即可求解.
17．【答案】证明：假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴∠A=∠B=90°不成立，
∴一个三角形中不能有两个直角。
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，利用三角形的内角和定理进行分析，从而可推出矛盾，即可求证.
18．【答案】解：连结BD.
点E，F分别是边AB，AD的中点，
BD=2EF=12，EF∥BD，
∠ADB=∠AFE=55°
BD2+CD2=225，BC2=225，BD2+CD2=BC2
∠BDC=90°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°。
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，利用已知可证得BD是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥BD，同时可求出BD的长；利用平行线的性质可求出∠ADB的度数，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入计算可求出结果.
19．【答案】证明：∵点E是BC的中点，
CE=BE.
DC∥AB，
∴∠FCE=∠ABE
在△FCE和△ABE中，
△FCE≌△ABE（ASA），
AE=FE
又∵CE=BE，
∴四边形ABFC是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据中点的性质得出CE=BE，再根据平行四边形的性质得出∠FCE=∠ABE，利用ASA证明△FCE≌△ABE，得出AE=EF，则可证明四边形ABFC是平行四边形.
20．【答案】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
△AEO≌△CFO，
EO=FO
∴四边形AECF为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，再利用平行线的性质∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，利用AAS证明△AEO≌△CFO， 得出EO=FO，从而证明四边形AECF为平行四边形.
21．【答案】（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=16cm；
（2）解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1） 根据线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，根据AB=AM+MN+NB=
MC+MN+NC=△CMN的周长即可求解；
（2）由垂直的定义及四边形内角和求出∠ACB=110°，利用三角形的内角和求出∠A+∠B=70°， 由MA=MC，NB=NC得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而求出∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
22．【答案】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC=FG
又∵H是FG的中点，
FH=FG，
∴BC=FH.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得BC∥FG，BC=FG，利用线段中点的定义可得到FH=FG，由此可推出BC=FH；利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出AD∥FH，AD=FH；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得∠DAB=∠DCB，利用等边对等角可求出∠BEC的度数；再利用三角形的内角和定理可求出∠BCE的度数；再根据∠DCB=∠DCE+∠BCE，代入计算可求出∠DCB的度数，即可得到∠DAB的度数.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC=40°
∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFD=180°-∠AFE=110°，
∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=30°.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∠C+∠ADC=180°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，
∠AFD=∠C.
在△AFD和△DCE中
△AFD≌△DCE（AAS）.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再根据邻补角的性质求出∠AFD的度数，最后根据三角形内角和定理求∠DAF即可；
(2)根据平行线的性质 求出∠ADF=∠DEC ，结合邻补角的性质求出∠AFD=∠C ，最后利用AAS证明 △AFD≌△DCE 即可.
24．【答案】（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE.∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B，
DF=BF，
DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）DE+AC= DF
（3）4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(2) ∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE，∵DF∥AC，DF=AE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠ECD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴∠EDC=∠ECD，
EC=ED，
∴DF=AE=AC+CE=DE+AC.
（3）∵DF∥AC，DE∥AB，
四边形AEDF为平行四边形，
又∵AB=AC，∠ABC=∠DBF，
∠BDF=∠DBF=∠ABC=∠C，
BF=DF，∵AB+BF=DE，
AC+DF=DE，
DF=DE-AC=10-6=4.
【分析】(1)先求出四边形AFDE是平行四边形，得出AF=DE，DF∥AC，再根据平行线的性质得出∠FDB=∠B， 结合等腰三角形的性质得出 ∠FDB=∠B， 则可得出DF=BF， 最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(2)根据(1)的方法求出AE=FD和DE=CE，最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(3)根据(1)的方法求出BF=DF，最后根据线段的和差关系推出DF=DE-AC，最后代值计算即可.
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下第四章 平行四边形 单元检测卷
一、单选题
1．电动伸缩门是依据平行四边形的（ ）
A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形具有不稳定性，
∴电动伸缩门是利用了平行四边形的不稳定性.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的不稳定性回答即可.
2．已知在 ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．60°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠D=2∠B=200°，
∴∠B=100°.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠B=∠D，结合∠B+∠D=200°，即可解答.
3．（2021八上·杜尔伯特期末）如图下面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．（2021八下·上城期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”，第一步应先假设∠B≥90°；
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
5．如果一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的外角和为360 °
∴边数为
故答案为：B.
【分析】利用n边形的外角和为360 °，得出结果。
6．（2021八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，
∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等，即S1=S2．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
7．（2021八上·大庆期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定定理
8．（2021八下·南岸期末）如图，在 中，点E，F在对角线 上，连接 ，点E，F满足以下条件中的一个：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中，能使四边形 为平行四边形的条件个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
②由AE=AF无法证明四边形AECF是平行四边形；
③由AE=CF不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
⑤∵ ，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
综上可知，①④⑤符合题意，
故答案为：B.
【分析】 ①连接AC，交BD于点O，利用平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合BF=DE，得出OE=OF，则可判断四边形 为平行四边形；②③无法判断四边形 为平行四边形；④利用AAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，则可推出OE=OF，结合OA=OC，则可判断四边形 为平行四边形；⑤利用AAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，则可推出OE=OF，结合OA=OC，则可判断四边形 为平行四边形；即可得出结论.
9．（2021八下·驿城期末）在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，在下列条件中，① ， ，② ， ；③ ， ，④ ， ，⑤ ， 能够判定四边形 是平行四边形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：① ， ，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
② ， ，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③ ， ，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；
④ ， ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤由 ， 可得到 ，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 能判定四边形ABCD是平行四边形，故⑤正确；
所以，正确的结论有4个，
故答案为：C
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可.
10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应假设（ ）
A．三角形的两个内角小于60° B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的两个内角大于60° D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，
假设三角形的三个内角都小于60° .
故答案为：B.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
二、填空题
11．（2021八下·余姚期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 ．
【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设∠B=∠C
故答案为：∠B=∠C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
12．（2021八下·丹徒期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝8cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝ cm.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即点 为 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
故答案为：2.
【分析】首先由勾股定理求出AC的值，进而求得BD的值，由等腰三角形的性质可得CE=DE，推出EF为△CBD的中位线，然后结合中位线的性质进行求解.
13．如图，在 □ ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有 个。
【答案】9
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设EF和NH交于O，
在□ ABCD中， EF∥AD， HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形ABCD、AEOH、DHOF、 BEON、CFON、 AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共9个.
故答案为：9.
【分析】设EF和NH交于O，根据平行四边形的性质，结合EF∥AD，HN∥AB，得出AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，然后根据平行四边形的判定定理把平行四边形分别列出，即可解答.
14．（2020八下·舞钢期末）如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=2，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：
.
故答案为： .
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案.
15．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，AB=2，OA=，∠AOC=45°，则点B的坐标是 。
【答案】（-3，1）
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过B作BD⊥x轴于D点，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB=2，BC=OA=，
∴BD=CD=BC=1，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
∴点B的坐标为（-3，1）.
故答案为：（-3，1）.
【分析】过B作BD⊥x轴于D点，根据平行四边形的性质求出OC和BC长，然后根据等腰直角三角形的性质求出CD和BD长，即可求出点B的坐标.
16．（2020八上·荣县月考）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上.比较大小，∠A＋∠C ∠1＋∠2.
【答案】=
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
在四边形ADCE中，
∴∠A＋∠C=∠1＋∠2
故答案为：=.
【分析】由平角的定义可得，根据四边形的内角和可求出，据此即可求解.
三、解答题
17．用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
【答案】证明：假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与“三角形内角和为180°”矛盾，
∴∠A=∠B=90°不成立，
∴一个三角形中不能有两个直角。
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，利用三角形的内角和定理进行分析，从而可推出矛盾，即可求证.
18．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度数。
【答案】解：连结BD.
点E，F分别是边AB，AD的中点，
BD=2EF=12，EF∥BD，
∠ADB=∠AFE=55°
BD2+CD2=225，BC2=225，BD2+CD2=BC2
∠BDC=90°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°。
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，利用已知可证得BD是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥BD，同时可求出BD的长；利用平行线的性质可求出∠ADB的度数，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入计算可求出结果.
19．如图所示，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的中点，连结AE并延长与DC的延长线相交于点F，连结BF，AC。
求证：四边形ABFC是平行四边形。
【答案】证明：∵点E是BC的中点，
CE=BE.
DC∥AB，
∴∠FCE=∠ABE
在△FCE和△ABE中，
△FCE≌△ABE（ASA），
AE=FE
又∵CE=BE，
∴四边形ABFC是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据中点的性质得出CE=BE，再根据平行四边形的性质得出∠FCE=∠ABE，利用ASA证明△FCE≌△ABE，得出AE=EF，则可证明四边形ABFC是平行四边形.
20．四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过O点作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F。
求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
△AEO≌△CFO，
EO=FO
∴四边形AECF为平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，再利用平行线的性质∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，利用AAS证明△AEO≌△CFO， 得出EO=FO，从而证明四边形AECF为平行四边形.
21．（2021八上·思南月考）如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F.
（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.
【答案】（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=16cm；
（2）解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1） 根据线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，根据AB=AM+MN+NB=
MC+MN+NC=△CMN的周长即可求解；
（2）由垂直的定义及四边形内角和求出∠ACB=110°，利用三角形的内角和求出∠A+∠B=70°， 由MA=MC，NB=NC得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，从而求出∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°.
22．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长至点F，使BF=BE，连结EC并延长至点G，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH，AF。
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数。
【答案】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC=FG
又∵H是FG的中点，
FH=FG，
∴BC=FH.
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理可证得BC∥FG，BC=FG，利用线段中点的定义可得到FH=FG，由此可推出BC=FH；利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD=BC，由此可推出AD∥FH，AD=FH；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得∠DAB=∠DCB，利用等边对等角可求出∠BEC的度数；再利用三角形的内角和定理可求出∠BCE的度数；再根据∠DCB=∠DCE+∠BCE，代入计算可求出∠DCB的度数，即可得到∠DAB的度数.
23．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，点F在线段DE上，且∠AFE=∠ADC
（1）若∠AFE=70°，∠DEC=40°，求∠DAF的大小；
（2）若DE=AD，求证：△AFD≌△DCE
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC=40°
∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFD=180°-∠AFE=110°，
∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=30°.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，
∠C+∠ADC=180°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，
∠AFD=∠C.
在△AFD和△DCE中
△AFD≌△DCE（AAS）.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再根据邻补角的性质求出∠AFD的度数，最后根据三角形内角和定理求∠DAF即可；
(2)根据平行线的性质 求出∠ADF=∠DEC ，结合邻补角的性质求出∠AFD=∠C ，最后利用AAS证明 △AFD≌△DCE 即可.
24．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E。
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：DE+DF=AC；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，DE，DF，AC之间的数量关系为 。
（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上时，若AC=6，DE=10，则DF= 。
【答案】（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE.∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B，
DF=BF，
DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）DE+AC= DF
（3）4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(2) ∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE，∵DF∥AC，DF=AE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠ECD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴∠EDC=∠ECD，
EC=ED，
∴DF=AE=AC+CE=DE+AC.
（3）∵DF∥AC，DE∥AB，
四边形AEDF为平行四边形，
又∵AB=AC，∠ABC=∠DBF，
∠BDF=∠DBF=∠ABC=∠C，
BF=DF，∵AB+BF=DE，
AC+DF=DE，
DF=DE-AC=10-6=4.
【分析】(1)先求出四边形AFDE是平行四边形，得出AF=DE，DF∥AC，再根据平行线的性质得出∠FDB=∠B， 结合等腰三角形的性质得出 ∠FDB=∠B， 则可得出DF=BF， 最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(2)根据(1)的方法求出AE=FD和DE=CE，最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(3)根据(1)的方法求出BF=DF，最后根据线段的和差关系推出DF=DE-AC，最后代值计算即可.
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