2021-2022学年浙教版数学八下5.1 矩形 同步练习

2021-2022学年浙教版数学八下5.1 矩形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·长沙期末）下列四个命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
B、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，不符合题意；
D、 四个角都相等的四边形是矩形，原选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的定义、矩形的判定定理分别判断即可.
2．（2021八上·宜兴期中）如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图建立数学模型，
则 ， ，则 ，
两棵树的高度差 ，
间距 ，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 ，
即 .
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由题意可得：CD=19m，BE=10m，DE=12m，根据AC=CD-AD求出AC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求出BC的值即可.
3．如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∵O为AC的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=CD=6，
∴AC===10，
∴OB=AC=5.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，结合 OE∥AB和O为AC的中点，求出OE为△ACD的中位线，则可求出CD长，从而求出AB长，然后根据勾股定理求AC长，最后根据直角三角形斜边中线的性质求OB长即可.
4．（2021八上·深圳期末）如图，矩形的顶点坐标为，D是的中点，E为上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，
此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，
∴D（-2，0），
由对称可知A'（4，5），
设A'D的直线解析式为y=kx+b，
当x=0时，y=
故答案为：B
【分析】先求出D（-2，0），再利用待定系数法求出，最后求点的坐标即可。
5．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【分析】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
6．（2021八上·镇江月考）如图，已知长方形中，，，点E为AD的中点，若点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动.同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若与全等，则点Q的运动速度是（　　）
A．6或 B．2或6 C．2或 D．2或
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，
∴AE=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等.
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等.
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等.
故答案为：A.
【分析】设点Q的运动速度为x cm/s，分两种情况：①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，据此分别列出方程组并解之即可.
7．（2021八上·重庆月考）一长方形操场，其中一边长为 ，另一边长为 ，则该操场的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；矩形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得： .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得：操场的面积为(2a+b)·a，然后结合单项式与多项式的乘法法则进行计算即可.
8．（2021八上·温州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝ ＝4，
∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠EPF＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF＝CP，
PM＝ EF＝ PC，
当PC⊥AB时，PC＝ ，
∴PM的最小值为 .
故答案为：A.
【分析】首先由勾股定理求出BC的值，易得四边形CEPF是矩形，由矩形的性质可得EF＝CP，根据垂线段最短的性质可得当PC⊥AB时，PC取得最小值，即PM取得最小值，接下来根据三角形的面积公式求解即可.
9．（2021八上·西安开学考）图1是长为 ，宽为 的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为 ， ，若 ，且 为定值，则 ， 满足的关系是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ，
，
当 的长度变化时， 的值不变，
的取值与 无关，
，
即 .
故答案为：A.
【分析】设BC=n，则S1=a(n-4b)，S2=2b(n-a)，然后表示出S，由题意可得S的取值与n无关，据此可得a与b的关系.
10．（2021八上·江阴期中）如图，△ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD=DE，F是线段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．2.5 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图：
∵BD=DE，EF=FC，
∴BG=GE，EH=HC，
当DF⊥FH时，DF取得最小值，
此时，四边形DGHF为矩形，
∴DF=GH= BE+ EC= BC=2.
故答案为：B.
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，根据等腰三角形三线合一的性质得出BG=GE，EH=HC，根据直角三角形斜边大于直角边可知当DF⊥FH时，DF取得最小值，则由矩形的性质推出出DF= BC，即可解答.
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD=52°，则∠CAD=　 　.
【答案】26°
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴∠COD=2∠CAD，
∴∠CAD=26°.
故答案为：26°.
【分析】由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，则可得出∠CAD=∠ADO，然后由三角形外角的性质求∠CAD的度数即可.
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则CE的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE=90°，
设AE=x，
∴ED=AD-AE=3-x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC=x，
∴CD2+ED2=EC2，
∴22+（3-x）2=x2，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，设AE=x，则ED=3-x，根据垂直平分线的性质得出EA=EC=x，在Rt△CDE中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
13．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点。
（1）四边形EFGH的形状是　 　；
（2）若对角线AC⊥BD，垂足为点O，AC=8，BD=6，则四边形EFGH的周长为　 　。
【答案】（1）平行四边形
（2）14
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点，
∴HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴HE=AC，GF=AC，HE∥AC，GF∥AC，
∴HE∥GF，HE=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
（2）∵HE∥GF∥AC
∵AC⊥BD，
∴BD⊥HE，
同理可证BD⊥EF，
∴HE⊥EF，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵∴HE=AC=4，GH=BD=3，
∴四边形EFGH的周长为2（HE+GH）=2（4+3）=14.
故答案为：14.
【分析】（1）利用已知条件可证得HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得HE∥GF，HE=GF，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形EFGH是矩形；再利用三角形的中位线定理可求出HE，GH的长，然后求出此矩形的周长.
14．由10块相同的小长方形地砖拼成一个面积为3.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为　 　.
【答案】7.8m
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，根据题意，得4x2=3.6× ，
解得x1=0.3，x2=-0.3（负值舍去），
∴4x=1.2m，
∴长方形ABCD的长为(1.2+1.2)=2.4m，宽为0.3+1.2=1.5m，
∴长方形ABCD的周长为2×(2.4+1.5)=7.8m.
故答案为：7.8m.
【分析】设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，根据每块地砖的面积为3.6×m2可得4x2=3.6×，求出x的值，进而可得长方形ABCD的长与宽，据此不难求出周长.
15．（2021八上·佛山月考）如图，在矩形中，，，，数轴上点所表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形中，，，
∴AB=OC=1，∠OAB=90°
在Rt△OAB中，OB=
∴=
∴点所表示的数是．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，可得到=，即可得到点所表示的数是．
16．（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为　 　．
【答案】15或24或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①如图1中，
当NM=ND时，
∴∠NDM=∠NMD，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN==15；
②如图2中，
当DM=DN时，
此时M与B重合，
∴BC=CN=12，
∴BN=24；
③如图3中，
当MN=MD时，
∴∠NDM=∠MND，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠NDM=∠MND=∠CBD，
∴BN=DN，
设BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，
∴x2=（12-x）2+92，
∴x=，
综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或．
故答案为：15或24或．
【分析】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时，③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可.
三、解答题
17．（2021八上·营山月考）如图，已知长方形ABCD中，如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，当△DEG和△BFG全等时，求t的值和此时G点对应的速度.
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
有两种情形：①DE=BF，BG=DG=5，
∴2t=8-t，
∴ ，
∴点G的速度= ；
②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，
则有 ，
解得 ，
∴点G的速度= ，
综上所述：t的值为 或2时，点G的速度为 或2.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质可得到AD∥BC，利用平行线的性质可知∠ADB=∠DBC；再利用全等三角形的性质，分情况讨论：①DE=BF，BG=DG=5；②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，利用点的运动速度和方向，分别可得到关于t，y的方程或方程组，解方程组求出t的值即可.
18．（2021八下·双阳期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ABEC是平行四边形，再证明AE=BC，即可证明平行四边形ABEC是矩形。
19．（2021八下·高阳期末）如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE.求证：四边形BEDF是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE.
又∵DF＝BE，
∴四边形BEDF为平行四边形．
又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴四边形BEDF为矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得出DC∥AB，即DF∥BE，即得出四边形BEDF为平行四边形，再利用垂直的定义，即得出四边形BEDF为矩形。
20．（2021八下·北京期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB=DE，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先求出 CD∥AE，CD=AE， 再求出 ∠ADC=90°， 最后证明求解即可。
21．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①，②，③三块长方形区域，且这三块长方形区域的面积相等.设BC的长度为xm.
（1）用含x的代数式表示BE=　 　m，AE=　 　m；
（2）x为多少时，长方形ABCD区域的面积为225m2？
【答案】（1）；
（2）解：由题意得3· ·x=225，
∴x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30.
∵0答：当x为10m或30m时，长方形ABCD区域的面积为225m2.
【知识点】矩形的性质；用字母表示数；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）∵三块长方形区域的面积相等，
∴矩形AEFD的面积=2×矩形BCFE，
∴AE=2BE，
设BE=am，则AE=2a，
∵8a+2x=80
解之：a=BE=.
∴AE=.
故答案为：，.
【分析】（1）根据三块长方形区域的面积相等可得S长方形HGFD=S长方形AEGH，S长方形AEFD=2S长方形EBCF，可得到AE=2EB，FG=GE，设BE=am，则AE=2a，利用用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①，②，③三块长方形区域，可得到关于a，x的方程，解方程求出x的值，即可得到BE，AE的长.
（2）根据S长方形ABCD =AB·BC可得关于x的方程，求出x的值，然后结合x的范围进行取舍.
22．如图所示，某公司计划用32m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为x m.
（1）用含x的代数式表示长方形的长BC；
（2）能否建造成面积为120m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由.
（3）能否建造成面积为160m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：依题意，得BC=（32-2x）m.
（2）解：能由题知x（32-2x）=120，整理，得x2-16x+60=0，解得x1=6，x2=10.
经检验，x1=6，x2=10都是原方程的解，但x1=6不符合题意，舍去.
答：能建造成面积为120m2的长方形仓库，此时长为12m，宽为10m.
（3）解：不能由题知若x（32-2x）=160，整理，得x2-16x+80=0此时b2-4ac=（-16）2-4×1×80=-64<0，此方程无解，所以不能建造成面积为160m2的长方形仓库.
【知识点】矩形的性质；用字母表示数；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据材料的总长-AB-CD可得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（3）同理根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可.
23．（2021八上·通榆期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____。
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是____。
A．6<8 B．6AD8 C．1<7 D．1≤AD≤7
（3）解题时，条件中若出现中点"中点"“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
问题解决：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF。
【答案】（1）B
（2）C
（3）证明：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
CD=BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB
∴BM=AC，∠CAD=∠M，
AE=EF.
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠AFE=∠BFD，
∠BFD=∠CAD=∠M
BF=BM=AC，
即AC=BF
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据推出 △ADC≌△EDB 即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形的三边关系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即可；
（3） 延长AD到M，使AD=DM，连接BM， 证明 △ADC≌△MDB ，推出 BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，得∠CAD=∠AFE=∠BFD，
求出∠BFD=∠CAD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可。
24．（2021八上·宽城期末）如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，．
（1）求证：△ABC≌△DEB．
（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．
【答案】（1）解：∵AC∥BE，∴∠C＋∠DBE＝180°．
∴∠DBE＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．
∴△ABC和△DEB都是直角三角形．
∵点D为BC的中点，，∴AC＝DB．
∵AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEB（HL）．
（2）解：．
过程如下：连接AE、过A点作AH⊥BE，
∵∠C＝90°，∠DBE＝90°．
∴，，
∴AH=BC=4， ，
∴，
在中，．
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1） 根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DEB ；
（2） 连接AE，过A点作AH⊥BE， 可证四边形ACBH为矩形，得AH=BC=4，
， 在中 利用勾股定理求出AE即可.
1 / 12021-2022学年浙教版数学八下5.1 矩形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·长沙期末）下列四个命题中，正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
2．（2021八上·宜兴期中）如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米.若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　）
A．10米 B．15米 C．16米 D．20米
3．如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
4．（2021八上·深圳期末）如图，矩形的顶点坐标为，D是的中点，E为上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021八上·诸暨期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（　　）
A． B．4 C． D．5
6．（2021八上·镇江月考）如图，已知长方形中，，，点E为AD的中点，若点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动.同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若与全等，则点Q的运动速度是（　　）
A．6或 B．2或6 C．2或 D．2或
7．（2021八上·重庆月考）一长方形操场，其中一边长为 ，另一边长为 ，则该操场的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021八上·温州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021八上·西安开学考）图1是长为 ，宽为 的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为 ， ，若 ，且 为定值，则 ， 满足的关系是
A． B． C． D．
10．（2021八上·江阴期中）如图，△ABC中，BC＝4，D、E 分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD=DE，F是线段AC上一点，且EF=FC，则DF的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．2.5 D．4
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD=52°，则∠CAD=　 　.
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则CE的长为　 　.
13．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点。
（1）四边形EFGH的形状是　 　；
（2）若对角线AC⊥BD，垂足为点O，AC=8，BD=6，则四边形EFGH的周长为　 　。
14．由10块相同的小长方形地砖拼成一个面积为3.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为　 　.
15．（2021八上·佛山月考）如图，在矩形中，，，，数轴上点所表示的数是　 　．
16．（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为　 　．
三、解答题
17．（2021八上·营山月考）如图，已知长方形ABCD中，如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当E点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，当△DEG和△BFG全等时，求t的值和此时G点对应的速度.
18．（2021八下·双阳期末）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
19．（2021八下·高阳期末）如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE.求证：四边形BEDF是矩形．
20．（2021八下·北京期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
21．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①，②，③三块长方形区域，且这三块长方形区域的面积相等.设BC的长度为xm.
（1）用含x的代数式表示BE=　 　m，AE=　 　m；
（2）x为多少时，长方形ABCD区域的面积为225m2？
22．如图所示，某公司计划用32m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为x m.
（1）用含x的代数式表示长方形的长BC；
（2）能否建造成面积为120m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由.
（3）能否建造成面积为160m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由.
23．（2021八上·通榆期末）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____。
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是____。
A．6<8 B．6AD8 C．1<7 D．1≤AD≤7
（3）解题时，条件中若出现中点"中点"“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
问题解决：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF。
24．（2021八上·宽城期末）如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，．
（1）求证：△ABC≌△DEB．
（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
B、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，不符合题意；
D、 四个角都相等的四边形是矩形，原选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的定义、矩形的判定定理分别判断即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图建立数学模型，
则 ， ，则 ，
两棵树的高度差 ，
间距 ，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 ，
即 .
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由题意可得：CD=19m，BE=10m，DE=12m，根据AC=CD-AD求出AC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求出BC的值即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∵O为AC的中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=CD=6，
∴AC===10，
∴OB=AC=5.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，结合 OE∥AB和O为AC的中点，求出OE为△ACD的中位线，则可求出CD长，从而求出AB长，然后根据勾股定理求AC长，最后根据直角三角形斜边中线的性质求OB长即可.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，
此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，
∴D（-2，0），
由对称可知A'（4，5），
设A'D的直线解析式为y=kx+b，
当x=0时，y=
故答案为：B
【分析】先求出D（-2，0），再利用待定系数法求出，最后求点的坐标即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【分析】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，
∴AE=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等.
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等.
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等.
故答案为：A.
【分析】设点Q的运动速度为x cm/s，分两种情况：①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，据此分别列出方程组并解之即可.
7．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；矩形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得： .
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得：操场的面积为(2a+b)·a，然后结合单项式与多项式的乘法法则进行计算即可.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝ ＝4，
∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠EPF＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF＝CP，
PM＝ EF＝ PC，
当PC⊥AB时，PC＝ ，
∴PM的最小值为 .
故答案为：A.
【分析】首先由勾股定理求出BC的值，易得四边形CEPF是矩形，由矩形的性质可得EF＝CP，根据垂线段最短的性质可得当PC⊥AB时，PC取得最小值，即PM取得最小值，接下来根据三角形的面积公式求解即可.
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ，
，
当 的长度变化时， 的值不变，
的取值与 无关，
，
即 .
故答案为：A.
【分析】设BC=n，则S1=a(n-4b)，S2=2b(n-a)，然后表示出S，由题意可得S的取值与n无关，据此可得a与b的关系.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图：
∵BD=DE，EF=FC，
∴BG=GE，EH=HC，
当DF⊥FH时，DF取得最小值，
此时，四边形DGHF为矩形，
∴DF=GH= BE+ EC= BC=2.
故答案为：B.
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，根据等腰三角形三线合一的性质得出BG=GE，EH=HC，根据直角三角形斜边大于直角边可知当DF⊥FH时，DF取得最小值，则由矩形的性质推出出DF= BC，即可解答.
11．【答案】26°
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴∠COD=2∠CAD，
∴∠CAD=26°.
故答案为：26°.
【分析】由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，则可得出∠CAD=∠ADO，然后由三角形外角的性质求∠CAD的度数即可.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE=90°，
设AE=x，
∴ED=AD-AE=3-x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC=x，
∴CD2+ED2=EC2，
∴22+（3-x）2=x2，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，设AE=x，则ED=3-x，根据垂直平分线的性质得出EA=EC=x，在Rt△CDE中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
13．【答案】（1）平行四边形
（2）14
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点，
∴HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴HE=AC，GF=AC，HE∥AC，GF∥AC，
∴HE∥GF，HE=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
（2）∵HE∥GF∥AC
∵AC⊥BD，
∴BD⊥HE，
同理可证BD⊥EF，
∴HE⊥EF，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵∴HE=AC=4，GH=BD=3，
∴四边形EFGH的周长为2（HE+GH）=2（4+3）=14.
故答案为：14.
【分析】（1）利用已知条件可证得HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得HE∥GF，HE=GF，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形EFGH是矩形；再利用三角形的中位线定理可求出HE，GH的长，然后求出此矩形的周长.
14．【答案】7.8m
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，根据题意，得4x2=3.6× ，
解得x1=0.3，x2=-0.3（负值舍去），
∴4x=1.2m，
∴长方形ABCD的长为(1.2+1.2)=2.4m，宽为0.3+1.2=1.5m，
∴长方形ABCD的周长为2×(2.4+1.5)=7.8m.
故答案为：7.8m.
【分析】设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，根据每块地砖的面积为3.6×m2可得4x2=3.6×，求出x的值，进而可得长方形ABCD的长与宽，据此不难求出周长.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形中，，，
∴AB=OC=1，∠OAB=90°
在Rt△OAB中，OB=
∴=
∴点所表示的数是．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，可得到=，即可得到点所表示的数是．
16．【答案】15或24或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①如图1中，
当NM=ND时，
∴∠NDM=∠NMD，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN==15；
②如图2中，
当DM=DN时，
此时M与B重合，
∴BC=CN=12，
∴BN=24；
③如图3中，
当MN=MD时，
∴∠NDM=∠MND，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠NDM=∠MND=∠CBD，
∴BN=DN，
设BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，
∴x2=（12-x）2+92，
∴x=，
综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或．
故答案为：15或24或．
【分析】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时，③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可.
17．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
有两种情形：①DE=BF，BG=DG=5，
∴2t=8-t，
∴ ，
∴点G的速度= ；
②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，
则有 ，
解得 ，
∴点G的速度= ，
综上所述：t的值为 或2时，点G的速度为 或2.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质可得到AD∥BC，利用平行线的性质可知∠ADB=∠DBC；再利用全等三角形的性质，分情况讨论：①DE=BF，BG=DG=5；②当DE=BG，DG=BF时，设BG=y，利用点的运动速度和方向，分别可得到关于t，y的方程或方程组，解方程组求出t的值即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ABEC是平行四边形，再证明AE=BC，即可证明平行四边形ABEC是矩形。
19．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE.
又∵DF＝BE，
∴四边形BEDF为平行四边形．
又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴四边形BEDF为矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得出DC∥AB，即DF∥BE，即得出四边形BEDF为平行四边形，再利用垂直的定义，即得出四边形BEDF为矩形。
20．【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB=DE，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先求出 CD∥AE，CD=AE， 再求出 ∠ADC=90°， 最后证明求解即可。
21．【答案】（1）；
（2）解：由题意得3· ·x=225，
∴x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30.
∵0答：当x为10m或30m时，长方形ABCD区域的面积为225m2.
【知识点】矩形的性质；用字母表示数；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）∵三块长方形区域的面积相等，
∴矩形AEFD的面积=2×矩形BCFE，
∴AE=2BE，
设BE=am，则AE=2a，
∵8a+2x=80
解之：a=BE=.
∴AE=.
故答案为：，.
【分析】（1）根据三块长方形区域的面积相等可得S长方形HGFD=S长方形AEGH，S长方形AEFD=2S长方形EBCF，可得到AE=2EB，FG=GE，设BE=am，则AE=2a，利用用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①，②，③三块长方形区域，可得到关于a，x的方程，解方程求出x的值，即可得到BE，AE的长.
（2）根据S长方形ABCD =AB·BC可得关于x的方程，求出x的值，然后结合x的范围进行取舍.
22．【答案】（1）解：依题意，得BC=（32-2x）m.
（2）解：能由题知x（32-2x）=120，整理，得x2-16x+60=0，解得x1=6，x2=10.
经检验，x1=6，x2=10都是原方程的解，但x1=6不符合题意，舍去.
答：能建造成面积为120m2的长方形仓库，此时长为12m，宽为10m.
（3）解：不能由题知若x（32-2x）=160，整理，得x2-16x+80=0此时b2-4ac=（-16）2-4×1×80=-64<0，此方程无解，所以不能建造成面积为160m2的长方形仓库.
【知识点】矩形的性质；用字母表示数；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据材料的总长-AB-CD可得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（3）同理根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可.
23．【答案】（1）B
（2）C
（3）证明：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
CD=BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB
∴BM=AC，∠CAD=∠M，
AE=EF.
∴∠CAD=∠AFE，
∵∠AFE=∠BFD，
∠BFD=∠CAD=∠M
BF=BM=AC，
即AC=BF
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据推出 △ADC≌△EDB 即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形的三边关系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即可；
（3） 延长AD到M，使AD=DM，连接BM， 证明 △ADC≌△MDB ，推出 BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，得∠CAD=∠AFE=∠BFD，
求出∠BFD=∠CAD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可。
24．【答案】（1）解：∵AC∥BE，∴∠C＋∠DBE＝180°．
∴∠DBE＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．
∴△ABC和△DEB都是直角三角形．
∵点D为BC的中点，，∴AC＝DB．
∵AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEB（HL）．
（2）解：．
过程如下：连接AE、过A点作AH⊥BE，
∵∠C＝90°，∠DBE＝90°．
∴，，
∴AH=BC=4， ，
∴，
在中，．
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1） 根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DEB ；
（2） 连接AE，过A点作AH⊥BE， 可证四边形ACBH为矩形，得AH=BC=4，
， 在中 利用勾股定理求出AE即可.
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