初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用 基础巩固训练
一、几何问题
1．（2019·保定模拟）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图8所示的三处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A．75m2 B． m2 C．48m2 D． m2
2．如图，AB＝5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是 ．
3．（2019·广州模拟）如图1是一块长为60cm的正方体薄铁片制作的一个长方体盒子，如果要做一个没有盖的长方体盒子，可先在薄铁片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图2），然后把四边折合起来．
（1）求做成的盒子底面积y（cm2）与截去小正方形边长x（cm2）之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900cm2时，试求该盒子的容积．
二、拱桥问题
4．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·南关模拟）如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为 ，两侧蹑地面 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个门洞的高度为 .（精确到 ）
6．（2019·新华模拟）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m），行车道最宽可以铺设多少米
三、抛球问题
7．（2018九上·黄石期中）把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是（ ）
A．1.05米 B．－1.05米 C．0.95米 D．－0.95米
8．（2019八上·昭通期末）为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年 11 月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h(m)可用公式 h＝﹣5t2+v0t
表示，其中 t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v0(m/s)是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到 20m，那么足球被踢出时的速度应达到 m/s．
9．（2019九下·温州模拟）如图是一个倾斜角为a 的斜坡，将一个小球从斜坡的坡脚 O 点处抛出，落在 A点处，小球的运动路线可以用抛物线 来刻画，已知 tan a = .
（1）求抛物线表达式及点
A 的坐标.
（2）求小球在运动过程中离斜坡坡面 OA 的最大距离.
四、销售问题
10．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
11．（2019九下·温州竞赛）某商户购进某种商品的进价是50元／个，根据市场调研发现售价是80元／个时，每月可卖出200个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个，同样若销售单价每增加1元，则每月可少卖出10个．若计划下月该商品的销售利润不低于5760元，则该商品的销售单价x(元)的取值范围是 ．
12．（2019·苍南模拟）一连锁店销售某品牌商品，该商品的进价是60元．因为是新店开业，所以连锁店决定当月前10天进行试营业活动，活动期间该商品的售价为每件80元，据调查研究发现：当天销售件数 （件）和时间第x（天）的关系式为 ( )，已知第4天销售件数是40件，第6天销售件数是44件．活动结束后，连锁店重新制定该商品的销售价格为每件100元，每天销售的件数也发生变化：当天销售数量 （件）与时间第x（天）的关系为： （ ）．
（1）
求 关于x的函数关系式；
（2）若某天的日毛利润是1120元，求x的值；
（3）
因为该连锁店是新店开业，所以试营业结束后，厂家给这个连锁店相应的优惠政策：当这个连锁店日销售量达到60件后（不含60），每多销售1件产品，当日销售的所有商品进价减少2元，设该店日销售量超过60件的毛利润总额为W，请直接写出W关于x的函数解析式，及自变量x的取值范围： ．
五、求近似解
13．（2017九下·滨海开学考）二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19
y －0.03 －0.01 0.02
A．－0.03＜x＜－0.01 B．－0.01＜x＜0.02
C．6.18＜x＜6.19 D．6.17＜x＜6.18
14．（2019·秀洲模拟）如图，抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(－2，4),B(1,1), 则关于x的方程ax2=bx+c的解为 .
六、动态几何问题
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
16．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
17．（2019八下·杭州期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 在 的左侧），与 轴交于点 .
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3） 为第二象限抛物线上的一个动点，求 面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料为27+3-3x=30-3x米，饲养室的面积为Sm2,
∴S=（30-3x）x=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,
∴饲养室面积最大75平方米.
故答案为：A.
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料为27+3-3x=30-3x米，饲养室的面积为Sm2,利用矩形的面积公式可得S=-3x2+30x，将其化为顶点式，从而求出最大值.
2．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设AP=x，则BP=5－x，所以EF=BP=5－x，EC=5－x－x=5－2x，
在直角三角形EFC中，根据勾股定理可得： ，
当x=3时，CF有最小值，CF最小值为 ，
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质，设AP=x，可表示出FE、CE的长，再利用勾股定理得出CF2与x的函数解析式，再利用二次函数的性质，可解答。
3．【答案】（1）解：由题意可得y＝（60﹣2x）2＝4x2﹣240x+3600（0＜x＜30）；
（2）解：当y＝900时，（60﹣2x）2＝900，解得x＝15，x＝45（不合题意舍去）．
因此盒子的容积应该是900×15＝13500（立方厘米）．
答：该盒子的容积是13500立方厘米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意知盒子底面是一个边长为（60-2x）cm的正方形，根据正方形面积公式计算即得；
（2）依据题意，可列方程（60﹣2x）2＝900，解出符合题意的x值即可得到剪掉的小正方形的边长，再根据正方体的体积公式即可求出盒子的容积。
4．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a= ，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为 ，
故答案为：B.
【分析】二次函数图象与拱桥问题的联合应用。根据所建的直角坐标系，以及图像特点，设函数图象为y=ax2，将已知点代入函数图象，求解a，即可求解函数解析式。
5．【答案】9.1
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图，
以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系
由题意可知各点坐标为A（-4，0）B（4，0）D（-3，4）
设抛物线解析式为y=ax2+c（a≠0）把B、D两点代入解析式
解得解析式为 ，则C（0， ）
所以门洞高度为 m≈9.1m
【分析】如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，从而可得A（-4，0）B（4，0）D（-3，4）设抛物线解析式为y=ax2+c（a≠0）把B、D两点代入解析式，求出a、c的值，即得抛物线解析式，从而求出门洞的高度.
6．【答案】（1）解：根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为： ，
∵相邻两支柱间的距离均为5m，
∴OA=4×5m=20m，
∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，
∴ ，解得
∴ .
（2）解：设点F的坐标为（15，y），
∴ ．
∴EF=8m m= m=3.5m．
（3）解：当y=3+0.3=3.3（m）时，有 ，
化简，得 ，
解得 ， ， ，
∴ ．
答：行车道最宽可以铺设13.4米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据所建的直角坐标系表示出抛物线上的点的坐标，用待定系数法求得抛物线解析式；
（2）将F的横坐标代入抛物线解析式，即可求得点F的纵坐标，然后求EF的长度。
（3）把y=3+0.3=3.3代入抛物线的解析式，求得对应的x的值，则两个横坐标之间的距离即为行车道的最宽距离。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】把t=2.1代入h＝v0t－ gt2得，
h＝10×2.1－ ×10×2.12=-1.05（米），
-1.05+2=0.95（米）.
故答案为：C.
【分析】将t=2.1，v0=10，g=10代入函数解析式即可算出h的值，再用h的值加上小明开始距地面的高度即可得出答案。
8．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】h＝﹣5t2+v0 t，其对称轴为t＝ ，
当t＝ 时，h最大＝﹣5×（ ）2+v0 ＝20，
解得：v0＝20，v0＝﹣20（不合题意舍去），
即足球被踢出时的速度应达到20m/s，
故答案为：20.
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式x=-求出该函数的对称轴直线是t＝ ，然后将t＝ ，代入抛物线的解析式，由该函数的最值为20列出方程求解并检验即可算出v0的值，即足球被踢出时的速度。
9．【答案】（1）解：由抛物线经过原点，代入抛物线求得：
y （x﹣3）2 x2+3x，设A（2a，a）代入抛物线得：a ，∴A（5， ）；
（2）解：利用待定系数法求出直线OA的解析式为y=，设小球在运动过程中离斜坡坡面OA的距离为S： ∵0≤x≤5，∴最大距离为：。
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将点（0，0）代入 抛物线 即可算出m的值，从而求出抛物线的解析式；根据正切函数的定义， 设A（2a，a）代入抛物线 即可算出a的值，从而求出点A的坐标；
（2） 设小球在运动过程中离斜坡坡面OA的距离为S ，利用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两点间的距离公式，由S=，进而再根据该二次函数的性质就可算出答案。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：
W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，
∴最大利润为： = =46（万元），
故答案为：D．
【分析】设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，设总利润为w，由题意可得：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，然后利用二次函数的最值公式代入求解即可。
11．【答案】74≤x≤76或80≤x≤82
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 解：设下月该商品的销售单价减低y元（当y为负数时，为加价），则售价为x=80-y，利润为w，依题可得：
w=（80-y）（200+10y）-50（200+10y）
=16000+800y-200y-10y2-1000-500y
=-10y2+100y+6000
=-10（y-5）2+6250
当w=5760时
解得y1=-2，y2=12
w=-10（y-5）2+6250可知，
当y≤5时，w随y的增大而增大；当y＞5时，w随y的增大而减小
要使商品的销售利润不低于5760元，则-2≤y≤12
∴68≤x≤82
即当该商品的销售单价的取值范围是68≤x≤82， 该商品的销售利润不低于5760元；
故答案为：68≤x≤82.
【分析】设下月该商品的销售单价降低y元（当y为负数时，为加价），根据利润=商品的售价-商品进价，列出二次函数，根据题意求得当W=5760元时y的值，从而得出该商品的销售单价x.
12．【答案】（1）解： 由题意可知：x=4时，y=40，x=6时，y=44解之：∴y1=x2-8x+56
（2）解： 当1≤x≤10时
（80-60）（x2-8x+56）=1120
解之：x1=0，x2=8
当11≤x≤31时
（100-60）（2x+8）=1120
解之：x=10（不符合题意，舍去）
二次函数具有对称性
∴若某天的日毛利润是1120元，x的值为8或12
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3） ∵这个连锁店日销售量达到60件后（不含60）
∴2x+8＞60
解之：x＞26
由题意可知：销售量超过60件：每一件的进件为：60-2（2x+8-60）=-4x+164
每一件的利润为：100-（-4x+164）=4x-64
∴W=（4x-64）（2x+8）
=8x2-96x-512
∵11≤x≤31，x＞26
∴自变量x的取值范围26＜x≤31。
∴ W关于x的函数解析式为：w=8x2-96x-512，自变量x的取值范围26＜x≤31。
【分析】（1）将x=4，y=40，x=6，y=44分别代入y1中，建立关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，就可得到函数解析式。
（2）根据某天的日毛利润=1120 ，分别利用函数解析式，建立关于x的方程，求出方程的解，再利用二次函数的对称性可求出结果。
（3）由这个连锁店日销售量达到60件后（不含60）可求出自变量x取值范围，再分别求出销售量超过60件：每一件的进件，从而可求出每一件的利润，然后根据W=每一件的利润×销售量y2，列出函数解析式即可。
13．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.01答案为：C.
【分析】方程的解就是y=0时的函数值，观察y=0界于-0.01与0.02之间，对应的x值界于6.18与6.19之间。故答案C符合题意。
14．【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(－2，4),B(1,1),
∴ 关于x的方程ax2=bx+c的解 为： ；
故答案为： 。
【分析】求关于x的方程ax2=bx+c的解 就是抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点的横坐标。
15．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC= =6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ= AC BC﹣ PC CQ= ×6×8﹣ （6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故答案为：C
【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，根据S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ列出S与t之间的函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
16．【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB BQ= PB （BE+EQ）
= （6﹣t）（6+t）
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18（0≤t＜6）．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】由题意可得，
PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，所以S= PB BQ= PB （BE+EQ） ，将相关式子代入计算即可。
17．【答案】（1）解：设 ，则
，
，
（2）解：令 ，可得
，
（3）解：如图：作 交 于
设 解析式
解得：
解析式
设 则
当 时， 最大面积4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，即可求出点A,B的坐标；
（2）根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，求出点C的坐标，从而利用三角形的面积计算方法由S△ABC=即可算出答案；
（3） 如图：作 交 于 ，利用待定系数法求出直线AC的解析式；根据点的坐标与图形的性质设出点P的坐标，进而得出点D的坐标，根据两点间的距离公式表示出PD的长，从而根据根据△APC的面积=△APD的面积+△PCD的面积=建立出函数关系式，根据函数性质即可得出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用 基础巩固训练
一、几何问题
1．（2019·保定模拟）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图8所示的三处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A．75m2 B． m2 C．48m2 D． m2
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料为27+3-3x=30-3x米，饲养室的面积为Sm2,
∴S=（30-3x）x=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,
∴饲养室面积最大75平方米.
故答案为：A.
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料为27+3-3x=30-3x米，饲养室的面积为Sm2,利用矩形的面积公式可得S=-3x2+30x，将其化为顶点式，从而求出最大值.
2．如图，AB＝5，P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边，在线段AB的同侧作正方形APCD和正方形BPEF，连接CF，则CF的最小值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设AP=x，则BP=5－x，所以EF=BP=5－x，EC=5－x－x=5－2x，
在直角三角形EFC中，根据勾股定理可得： ，
当x=3时，CF有最小值，CF最小值为 ，
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质，设AP=x，可表示出FE、CE的长，再利用勾股定理得出CF2与x的函数解析式，再利用二次函数的性质，可解答。
3．（2019·广州模拟）如图1是一块长为60cm的正方体薄铁片制作的一个长方体盒子，如果要做一个没有盖的长方体盒子，可先在薄铁片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图2），然后把四边折合起来．
（1）求做成的盒子底面积y（cm2）与截去小正方形边长x（cm2）之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900cm2时，试求该盒子的容积．
【答案】（1）解：由题意可得y＝（60﹣2x）2＝4x2﹣240x+3600（0＜x＜30）；
（2）解：当y＝900时，（60﹣2x）2＝900，解得x＝15，x＝45（不合题意舍去）．
因此盒子的容积应该是900×15＝13500（立方厘米）．
答：该盒子的容积是13500立方厘米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意知盒子底面是一个边长为（60-2x）cm的正方形，根据正方形面积公式计算即得；
（2）依据题意，可列方程（60﹣2x）2＝900，解出符合题意的x值即可得到剪掉的小正方形的边长，再根据正方体的体积公式即可求出盒子的容积。
二、拱桥问题
4．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a= ，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为 ，
故答案为：B.
【分析】二次函数图象与拱桥问题的联合应用。根据所建的直角坐标系，以及图像特点，设函数图象为y=ax2，将已知点代入函数图象，求解a，即可求解函数解析式。
5．（2019·南关模拟）如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为 ，两侧蹑地面 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个门洞的高度为 .（精确到 ）
【答案】9.1
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图，
以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系
由题意可知各点坐标为A（-4，0）B（4，0）D（-3，4）
设抛物线解析式为y=ax2+c（a≠0）把B、D两点代入解析式
解得解析式为 ，则C（0， ）
所以门洞高度为 m≈9.1m
【分析】如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，从而可得A（-4，0）B（4，0）D（-3，4）设抛物线解析式为y=ax2+c（a≠0）把B、D两点代入解析式，求出a、c的值，即得抛物线解析式，从而求出门洞的高度.
6．（2019·新华模拟）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m），行车道最宽可以铺设多少米
【答案】（1）解：根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为： ，
∵相邻两支柱间的距离均为5m，
∴OA=4×5m=20m，
∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，
∴ ，解得
∴ .
（2）解：设点F的坐标为（15，y），
∴ ．
∴EF=8m m= m=3.5m．
（3）解：当y=3+0.3=3.3（m）时，有 ，
化简，得 ，
解得 ， ， ，
∴ ．
答：行车道最宽可以铺设13.4米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据所建的直角坐标系表示出抛物线上的点的坐标，用待定系数法求得抛物线解析式；
（2）将F的横坐标代入抛物线解析式，即可求得点F的纵坐标，然后求EF的长度。
（3）把y=3+0.3=3.3代入抛物线的解析式，求得对应的x的值，则两个横坐标之间的距离即为行车道的最宽距离。
三、抛球问题
7．（2018九上·黄石期中）把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是（ ）
A．1.05米 B．－1.05米 C．0.95米 D．－0.95米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】把t=2.1代入h＝v0t－ gt2得，
h＝10×2.1－ ×10×2.12=-1.05（米），
-1.05+2=0.95（米）.
故答案为：C.
【分析】将t=2.1，v0=10，g=10代入函数解析式即可算出h的值，再用h的值加上小明开始距地面的高度即可得出答案。
8．（2019八上·昭通期末）为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年 11 月份组织了“县长杯”校园足球比赛．在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h(m)可用公式 h＝﹣5t2+v0t
表示，其中 t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v0(m/s)是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到 20m，那么足球被踢出时的速度应达到 m/s．
【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】h＝﹣5t2+v0 t，其对称轴为t＝ ，
当t＝ 时，h最大＝﹣5×（ ）2+v0 ＝20，
解得：v0＝20，v0＝﹣20（不合题意舍去），
即足球被踢出时的速度应达到20m/s，
故答案为：20.
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式x=-求出该函数的对称轴直线是t＝ ，然后将t＝ ，代入抛物线的解析式，由该函数的最值为20列出方程求解并检验即可算出v0的值，即足球被踢出时的速度。
9．（2019九下·温州模拟）如图是一个倾斜角为a 的斜坡，将一个小球从斜坡的坡脚 O 点处抛出，落在 A点处，小球的运动路线可以用抛物线 来刻画，已知 tan a = .
（1）求抛物线表达式及点
A 的坐标.
（2）求小球在运动过程中离斜坡坡面 OA 的最大距离.
【答案】（1）解：由抛物线经过原点，代入抛物线求得：
y （x﹣3）2 x2+3x，设A（2a，a）代入抛物线得：a ，∴A（5， ）；
（2）解：利用待定系数法求出直线OA的解析式为y=，设小球在运动过程中离斜坡坡面OA的距离为S： ∵0≤x≤5，∴最大距离为：。
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将点（0，0）代入 抛物线 即可算出m的值，从而求出抛物线的解析式；根据正切函数的定义， 设A（2a，a）代入抛物线 即可算出a的值，从而求出点A的坐标；
（2） 设小球在运动过程中离斜坡坡面OA的距离为S ，利用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两点间的距离公式，由S=，进而再根据该二次函数的性质就可算出答案。
四、销售问题
10．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：
W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，
∴最大利润为： = =46（万元），
故答案为：D．
【分析】设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，设总利润为w，由题意可得：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，然后利用二次函数的最值公式代入求解即可。
11．（2019九下·温州竞赛）某商户购进某种商品的进价是50元／个，根据市场调研发现售价是80元／个时，每月可卖出200个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个，同样若销售单价每增加1元，则每月可少卖出10个．若计划下月该商品的销售利润不低于5760元，则该商品的销售单价x(元)的取值范围是 ．
【答案】74≤x≤76或80≤x≤82
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 解：设下月该商品的销售单价减低y元（当y为负数时，为加价），则售价为x=80-y，利润为w，依题可得：
w=（80-y）（200+10y）-50（200+10y）
=16000+800y-200y-10y2-1000-500y
=-10y2+100y+6000
=-10（y-5）2+6250
当w=5760时
解得y1=-2，y2=12
w=-10（y-5）2+6250可知，
当y≤5时，w随y的增大而增大；当y＞5时，w随y的增大而减小
要使商品的销售利润不低于5760元，则-2≤y≤12
∴68≤x≤82
即当该商品的销售单价的取值范围是68≤x≤82， 该商品的销售利润不低于5760元；
故答案为：68≤x≤82.
【分析】设下月该商品的销售单价降低y元（当y为负数时，为加价），根据利润=商品的售价-商品进价，列出二次函数，根据题意求得当W=5760元时y的值，从而得出该商品的销售单价x.
12．（2019·苍南模拟）一连锁店销售某品牌商品，该商品的进价是60元．因为是新店开业，所以连锁店决定当月前10天进行试营业活动，活动期间该商品的售价为每件80元，据调查研究发现：当天销售件数 （件）和时间第x（天）的关系式为 ( )，已知第4天销售件数是40件，第6天销售件数是44件．活动结束后，连锁店重新制定该商品的销售价格为每件100元，每天销售的件数也发生变化：当天销售数量 （件）与时间第x（天）的关系为： （ ）．
（1）
求 关于x的函数关系式；
（2）若某天的日毛利润是1120元，求x的值；
（3）
因为该连锁店是新店开业，所以试营业结束后，厂家给这个连锁店相应的优惠政策：当这个连锁店日销售量达到60件后（不含60），每多销售1件产品，当日销售的所有商品进价减少2元，设该店日销售量超过60件的毛利润总额为W，请直接写出W关于x的函数解析式，及自变量x的取值范围： ．
【答案】（1）解： 由题意可知：x=4时，y=40，x=6时，y=44解之：∴y1=x2-8x+56
（2）解： 当1≤x≤10时
（80-60）（x2-8x+56）=1120
解之：x1=0，x2=8
当11≤x≤31时
（100-60）（2x+8）=1120
解之：x=10（不符合题意，舍去）
二次函数具有对称性
∴若某天的日毛利润是1120元，x的值为8或12
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3） ∵这个连锁店日销售量达到60件后（不含60）
∴2x+8＞60
解之：x＞26
由题意可知：销售量超过60件：每一件的进件为：60-2（2x+8-60）=-4x+164
每一件的利润为：100-（-4x+164）=4x-64
∴W=（4x-64）（2x+8）
=8x2-96x-512
∵11≤x≤31，x＞26
∴自变量x的取值范围26＜x≤31。
∴ W关于x的函数解析式为：w=8x2-96x-512，自变量x的取值范围26＜x≤31。
【分析】（1）将x=4，y=40，x=6，y=44分别代入y1中，建立关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，就可得到函数解析式。
（2）根据某天的日毛利润=1120 ，分别利用函数解析式，建立关于x的方程，求出方程的解，再利用二次函数的对称性可求出结果。
（3）由这个连锁店日销售量达到60件后（不含60）可求出自变量x取值范围，再分别求出销售量超过60件：每一件的进件，从而可求出每一件的利润，然后根据W=每一件的利润×销售量y2，列出函数解析式即可。
五、求近似解
13．（2017九下·滨海开学考）二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19
y －0.03 －0.01 0.02
A．－0.03＜x＜－0.01 B．－0.01＜x＜0.02
C．6.18＜x＜6.19 D．6.17＜x＜6.18
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.01答案为：C.
【分析】方程的解就是y=0时的函数值，观察y=0界于-0.01与0.02之间，对应的x值界于6.18与6.19之间。故答案C符合题意。
14．（2019·秀洲模拟）如图，抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(－2，4),B(1,1), 则关于x的方程ax2=bx+c的解为 .
【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(－2，4),B(1,1),
∴ 关于x的方程ax2=bx+c的解 为： ；
故答案为： 。
【分析】求关于x的方程ax2=bx+c的解 就是抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点的横坐标。
六、动态几何问题
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC= =6cm．
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，
∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ= AC BC﹣ PC CQ= ×6×8﹣ （6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，
∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．
故答案为：C
【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，根据S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ列出S与t之间的函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
16．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB BQ= PB （BE+EQ）
= （6﹣t）（6+t）
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18（0≤t＜6）．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】由题意可得，
PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，所以S= PB BQ= PB （BE+EQ） ，将相关式子代入计算即可。
17．（2019八下·杭州期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点 在 的左侧），与 轴交于点 .
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3） 为第二象限抛物线上的一个动点，求 面积的最大值.
【答案】（1）解：设 ，则
，
，
（2）解：令 ，可得
，
（3）解：如图：作 交 于
设 解析式
解得：
解析式
设 则
当 时， 最大面积4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，即可求出点A,B的坐标；
（2）根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，求出点C的坐标，从而利用三角形的面积计算方法由S△ABC=即可算出答案；
（3） 如图：作 交 于 ，利用待定系数法求出直线AC的解析式；根据点的坐标与图形的性质设出点P的坐标，进而得出点D的坐标，根据两点间的距离公式表示出PD的长，从而根据根据△APC的面积=△APD的面积+△PCD的面积=建立出函数关系式，根据函数性质即可得出答案。
1 / 1
