2021-2022学年浙教版八年级数学下册 2.3 一元二次方程的应用专题训练 (word版含答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《2-3一元二次方程的应用之图形面积问题》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．
（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝　 　，其中x的取值范围是 　 　；
（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；
（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．
2．如图，要设计一幅宽20cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1：2．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，则每个横彩条的宽度应是多少cm？
3．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
4．如图，在一块长10米，宽8米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积63平方米，求道路的宽．
5．我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
6．《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问阔及长各几步？”大意是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问宽和长各几步？
7．某老旧小区为了解决停车难问题，把一正方形绿化区域一边减少1m，相邻一边减少2m，剩余的绿化区域面积为20m2，原正方形绿化区域的边长是多少米？
8．如图，一个正方形花圃ABCD，在一次绿化改造中，该花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用了1米后，变成一个面积为21平方米的矩形花圃．求原来花圃的边长．
9．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
10．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
11．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（2）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
12．如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm．
（1）图中阴影部分的面积为 　 　cm2．
（2）若空白部分面积与阴影部分面积一样大，求矩形ABCD边长．
13．用总长680cm的木板制作矩形置物架ABCD（如图），已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG．已知DG＝60cm，设正方形的边长AB＝x（cm）．
（1）当x＝72时，EG的长为 　 　cm；
（2）置物架ABCD的高AD的长为 　 　cm（用含x的代数式表示）；
（3）为了便于置放物品，EG的高度不小于22cm，若矩形ABCD的面积为12000（cm2），求x的值．
14．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形庭院，如图所示，现在已备足可以砌12米长的墙的材料．
（1）如果想围成面积为16m2的矩形庭院，你能够教他们怎么围吗？
（2）如果想围成尽可能大得面积，能围多大？并给出设计方案．
15．利用25米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形菜地，并在中间用篱笆分割成三个面积相等的小长方形，总共用去篱笆48米．如果围成的菜地面积是128米2，求菜地的宽AB．
16．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为32米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长是宽2倍，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
17．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
18．如图①，一张长方形纸板的长为24cm，宽为12cm，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32cm2，求该长方体盒子的高．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是10cm时，求四边形APQD的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为ts（0＜t＜8）．
（1）用含t的代数式表示S1，S2；
（2）当t为多少时，S1＝2S2？
参考答案
1．解：（1）∵AD＝BC＝x，
∴AB＝20﹣2x．
又∵墙长10米，
∴，
∴5≤x＜10．
∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（5≤x＜10）．
故答案为：﹣2x2+20x，5≤x＜10；
（2）当矩形场地的面积为42m2时，﹣2x2+20x＝42，
解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝7，
∴20﹣2x＝6．
答：矩形的长为7米，宽为6米；
（3）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，S最大是50，
此时20﹣2x＝10，
答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．
2．解：设每个横彩条的宽度是xcm，则每个竖彩条的宽度是2xcm，
根据题意，得（40﹣2×2x）（20﹣2x）＝40×20×（1﹣）．
整理，得 （10﹣x）2＝52×3．
解得 x1＝，x2＝（不合题意，舍去）．
答：每个横彩条的宽度是（）cm．
3．解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x ＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y ＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
4．解：设道路的宽为x米，
根据题意，得（10﹣x）（8﹣x）＝63．
整理，得 x2﹣18x+17＝0．
解得x1＝17（不符合题意舍去），x2＝1．
答：道路宽为1米．
5．解：设扩充后广场的长为4xm，宽为3xm，
依题意得：4x 3x 100+30（4x 3x﹣30×20）＝606000．
解得x1＝20，x2＝﹣20（舍去）．
所以4x＝80，3x＝60，
答：扩充后广场的长为80m，宽为60m．
6．解：设长为x步，则宽为（20﹣x）步，
依题意得：x（20﹣x）＝96，
整理得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝12，x2＝8．
∵x≥20﹣x，
∴x≥10，
∴x＝12，
∴20﹣x＝20﹣12＝8．
答：长为12步，宽为8步．
7．解：设原正方形的边长为xm，
依题意有：（x﹣2）（x﹣1）＝20，
解得：x1＝6，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
答：原正方形绿化区域的边长是6米．
8．解：如图，
设原来花圃的边长为x米，由题意得，AD＝（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，
∴（x﹣1）（x+3）＝21，
解得x1＝4，x2＝﹣6（舍去），
∴原来花圃的边长为6米，
答：原来花圃的边长为6米．
9．解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，
依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，
依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，
整理得：y2﹣59y+58＝0，
解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
10．解：设道路的宽为xm，
根据题意，列方程 （30﹣x）（20﹣x）＝551．
解得：x1＝1，x2＝49（不合题意舍去）．
答：道路的宽为1m．
11．解：若设BC＝x米，则AB＝（49+1+1﹣3x）＝（51﹣3x）米．
（1）依题意得：x（51﹣3x）＝210，
整理得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，51﹣3x＝51﹣3×7＝30＞25，不合题意，舍去；
当x＝10时，51﹣3x＝51﹣3×10＝21＜25，符合题意．
答：栅栏BC的长为10米．
（2）矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米，理由如下：
依题意得：x（51﹣3x）＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0．
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴原方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．
12．解：（1）∵矩形AEGF的周长为20cm，
∴AF+AE＝10cm，
∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，
∴阴影部分的面积＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），
故答案为：24；
（2）设矩形的AEGF一边长为xcm，得
x（10﹣x）＝24．
解之得x1＝4，x2＝6．
4+2＝6或6+2＝8．
答：矩形的ABCD边长为6cm和8cm．
13．解：∵矩形DGMN和矩形CNMH全等，
∴MN＝CH＝DG＝60cm．
若AB＝x（cm），则AE＝BF＝EF＝CD＝GH＝x（cm），
∴EG＝（cm）．
（1）当x＝72时，EG＝250﹣3x＝250﹣3×72＝34（cm）．
故答案是：34；
（2）依题意得：AD＝（cm）；
故答案是：（310﹣2x）；
（3）依题意得：x（310﹣2x）＝12000．
整理得：x2﹣155x+6000＝0，
解得：x1＝75，x2＝80．
∵EG的高度不小于22cm，即250﹣3x≥22，
∴x≤76，
∴x2＝80不合题意，舍去．
答：x的值为75cm．
14．解：（1）设垂直于墙的边长为xm，
则x（12﹣2x）＝16，
解得x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，12﹣2x＝8，
当x＝4时，12﹣2x＝4，
所以垂直于墙的边长为2米或4米；
（2）函数可化为：y＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
因此当x＝3时，最大面积为18（米2）．
15．解：设菜地的宽为x米，则长度为（48﹣4x）米
由题意得x（48﹣4x）＝128
解得x1＝4，x2＝8
当x＝4时，48﹣4x＝32＞25不符题意舍去；
当x＝8时，48﹣4x＝16＜25符合题意．
答：菜地的宽度为8米．
16．解：设这种箱子底部宽为x米，则长为2x米，
依题意，得x×2x×1＝32，
x＝4米．
∴2x＝8米
∴这种箱子底部长为8米、宽为4米．
由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为60（米2）．
∴做一个这样的箱子要花1200元钱．
17．解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2＝17，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
（x﹣4）（x﹣1）＝0，
解方程得x1＝1，x2＝4，
1×4＝4cm，20﹣4＝16cm；
或4×4＝16cm，20﹣16＝4cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∵a＝2＞0，
∴当x＝时，y的最小值＝12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（另解：由（1）可知x2+（5﹣x）2＝12，
化简后得2x2﹣10x+13＝0，
∵△＝（﹣10）2﹣4×2×13＝﹣4＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
18．解：设该长方体盒子的高为xcm，则该长方形盒子的底面为长＝（12﹣x）cm，宽（12﹣2x）cm的长方形，
依题意得：（12﹣x）（12﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣18x+56＝0，
解得：x1＝4，x2＝14．
又∵12﹣2x＞0，
∴x＜6，
∴x＝4．
答：该长方体盒子的高为4cm．
19．解：过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝6，如图所示.
设运动时间为ts，则AP＝3tcm，DQ＝（16﹣2t）cm，EQ＝|16﹣2t﹣3t|＝|16﹣5t|cm．
依题意得：62+|16﹣5t|2＝102，
解得：t1＝，t2＝．
当t＝时，四边形APQD的面积＝[3t+（16﹣2t）]×6＝×[3×+（16﹣2×）]×6＝；
当t＝时，四边形APQD的面积＝[3t+（16﹣2t）]×6＝×[3×+（16﹣2×）]×6＝．
答：四边形APQD的面积为cm2或cm2．
20．解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝16cm，
又∵AP＝2t，
∴S1＝AP BD＝×16×2t＝16t，PD＝16﹣2t，
∵PE∥BC，
∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴PE＝AP＝2t，
∴S2＝PD PE＝（16﹣2t） 2t＝﹣4t2+32t；
（2）由（1）知，S1＝16t，S2＝﹣4t2+32t，
∵S1＝2S2，
∴16t＝2×（﹣4t2+32t），
解得：t1＝6，t2＝0（不合题意，舍弃），
故t为6时，S1＝2S2．