2021-2022学年浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程单元达标测试 (word版含答案)

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名称 2021-2022学年浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程单元达标测试 (word版含答案)
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资源类型 教案
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2022-03-19 18:58:37

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2021-2022学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》单元达标测试(附答案)
一.选择题(共10小题,满分30分)
1.下列一元二次方程中,无实数根的是(  )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.x2+3x+2=0 C.x2﹣2x+1=0 D.x2+2x+3=0
2.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是﹣3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,﹣4,则原来的方程是(  )
A.x2+2x﹣3=0 B.x2+2x﹣20=0 C.x2﹣2x﹣20=0 D.x2﹣2x﹣3=0
3.若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8=0的两根,则该菱形的边长为(  )
A. B.4 C.2 D.5
4.关于x的方程(k﹣1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根,则k的取值范围是(  )
A.k且k≠1 B.k≥且k≠1 C.k D.k≥
5.已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(  )
A.a≥﹣4 B.a>﹣4 C.a≥﹣4且a≠0 D.a>﹣4且a≠0
6.已知关于x的一元二次方程:x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则(  )
A.x1+x2<0 B.x1x2<0 C.x1x2>﹣1 D.x1x2<1
7.若实数k、b是一元二次方程(x+3)(x﹣1)=0的两个根,且k<b,则一次函数y=kx+b的图象不经过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2,若x2=2x1,则4b﹣9ac的最大值是(  )
A.1 B. C. D.2
9.已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1,x2,则x12﹣5x1﹣2x2的值为(  )
A.﹣7 B.﹣3 C.2 D.5
10.已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是(  )
A.﹣2<x1<﹣1 B.﹣3<x1<﹣2 C.2<x1<3 D.﹣1<x1<0
二.填空题(共10小题,满分30分)
11.关于x的一元二次方程x2+x﹣a=0的一个根是2,则另一个根是    .
12.若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n=0的两个根,则n的值为    .
13.若一元二次方程2x2﹣3x+c=0无实数根,则c的取值范围为    .
14.已知一元二次方程x2+x﹣2021=0的两根分别为m,n,则+的值为    .
15.方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,则方程a(x+m+2)2+b=0的解是   .
16.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2﹣b2,根据这个规则,方程(x+1)*3=0的解为   .
17.若(x2+y2﹣1)2=4,则x2+y2=   .
18.将方程3x2﹣6x﹣8=0配方为a(x﹣h)2=k,其结果是    .
19.已知方程x2﹣2021x+1=0的两根分别为x1,x2,则x12﹣的值为    .
20.一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2﹣8x+12=0的两根,则该等腰三角形的周长是   .
三.解答题(共8小题,满分60分)
21.按要求解方程:
(1)x2+4x+2=0(配方法);
(2)3x2﹣1=﹣2x(公式法).
22.解方程(x2﹣1)2﹣3(x2﹣1)=0时,我们将x2﹣1作为一个整体,设x2﹣1=y,则原方程化为y2﹣3y=0.解得y1=0,y2=3.当y=0时,x2﹣1=0,解得x=1或x=﹣1.当y=3时,x2﹣1=3,解得x=2或x=﹣2.所以,原方程的解为x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
模仿材料中解方程的方法,求方程(x2+2x)2﹣2(x2+2x)﹣3=0的解.
23.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有x1,x2两实数根.
(1)若x1=1,求x2及m的值;
(2)是否存在实数m,满足(x1﹣1)(x2﹣1)=?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
24.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0.
(1)若方程有两个相等的实数根,用含m的代数式表示n;
(2)若方程有两个不相等的实数根,且m=﹣4.
①求n的取值范围;
②写出一个满足条件的n的值,并求此时方程的根.
25.如图,在△ABC中,∠C=90.,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.将形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”.
(1)请直接写出一个“直系一元二次方程”;
(2)求证:关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根;
(3)若x=﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根,且S△ABC=3,求的值.
26.2020年1月底,武汉爆发“新冠”疫情后,口罩成为家庭必需品,某口罩经销商批发了一批口罩,进货单价为每盒50元,若按每盒60元出售,则可销售80盒.现准备提价销售,经市场调研发现:每盒每提价1元,销量就会减少2盒,为保护消费者利益,物价部门规定,销售利润不能超过50%,设该口罩售价为每盒x(x>60)元.
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为    盒;
(2)现在预算要获得1200元利润,应按每盒多少元销售?
27.用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园,菜园的一边靠长为am的墙,另三边用竹栅栏围成,且在与墙平行的一边开两扇门,宽度都是1m,设与墙垂直的一边长为xm.
(1)当a=41时,矩形菜园面积是320m2,求x;
(2)当a足够大时,问矩形菜园的面积能否达到400m2?
(3)若矩形菜园的面积是320m2,x的值只能取一个,试写出a的取值范围.
参考答案
一.选择题(共10小题,满分30分)
1.解:在x2﹣2x﹣3=0中,Δ=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣3)=16>0,即该方程有两个不等实数根,故选项A不符合题意;
在x2+3x+2=0中,Δ=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1>0,即该方程有两个不等实数根,故选项B不符合题意;
在x2﹣2x+1=0中,Δ=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×1=0,即该方程有两个相等实数根,故选项C不符合题意;
在x2+2x+3=0中,Δ=b2﹣4ac=22﹣4×1×3=﹣8<0,即该方程无实数根,故选项D符合题意;
故选:D.
2.解:设此方程的两个根是α、β,根据题意得:α+β=﹣p=﹣2,αβ=q=﹣20,
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20=0.
故选:B.
3.解:解方程x2﹣6x+8=0得:x=4或2,
即AC=4,BD=2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AOD=90°,AO=OC=2,BO=DO=1,
由勾股定理得:AD==,
故选:A.
4.解:当k﹣1≠0,即k≠1时,此方程为一元二次方程.
∵关于x的方程(k﹣1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根,
∴Δ=(2k+1)2﹣4×(k﹣1)2×1=12k﹣3≥0,
解得k≥;
当k﹣1=0,即k=1时,方程为3x+1=0,显然有解;
综上,k的取值范围是k≥,
故选:D.
5.解:根据题意得a≠0且Δ=(﹣4)2﹣4a×(﹣1)>0,
解得a>﹣4且a≠0,
故选:D.
6.解:根据题意得Δ=(﹣2)2﹣4m>0,解得m<1,
所以x1+x2=2,x1x2=m<1.
故选:D.
7.解:∵实数k、b是一元二次方程(x+3)(x﹣1)=0的两个根,且k<b,
∴k=﹣3,b=1,
∴函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
故选:C.
8.解:∵关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,
∵x2=2x1,
∴3x1=﹣,即x1=﹣,
∴x2=﹣,
∴=,
∴9ac=2b2,
∴4b﹣9ac=4b﹣9a =4b﹣2b2=﹣2(b﹣1)2+2,
∵﹣2<0,
∴4b﹣9ac的最大值是2,
故选:D.
9.解:∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1,x2,
∴x12﹣3x1=﹣1,x1+x2=3,
∴x12﹣5x1﹣2x2=x12﹣3x1﹣2(x1+x2)=﹣1﹣2×3=﹣7.
故选:A.
10.解:x2﹣x﹣3=0,
b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×(﹣3)=13,
x=,
方程的最小值是,
∵3<<4,
∴﹣3>﹣>﹣4,
∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣1>>﹣
故选:A.
二.填空题(共10小题,满分30分)
11.解:设另一个根为m,由根与系数之间的关系得,
m+2=﹣1,
∴m=﹣3,
故答案为﹣3,
12.解:当4为腰长时,将x=4代入x2﹣6x+n=0,得:42﹣6×4+n=0,
解得:n=8,
当n=8时,原方程为x2﹣6x+8=0,
解得:x1=2,x2=4,
∵2+4>4,
∴n=8符合题意;
当4为底边长时,关于x的方程x2﹣6x+n=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(﹣6)2﹣4×1×n=0,
解得:n=9,
当n=9时,原方程为x2﹣6x+9=0,
解得:x1=x2=3,
∵3+3=6>4,
∴n=9符合题意.
∴n的值为8或9.
故答案为:8或9.
13.解:∵一元二次方程2x2﹣3x+c=0无实数根,
Δ=(﹣3)2﹣4×2×c<0,
解得c>,
∴c的取值范围是c>.
故答案为:c>.
14.解:∵一元二次方程x2+x﹣2021=0的两根分别为m,n,
∴m+n=﹣1,mn=﹣2021,
∴+===,
故答案为:.
15.解:∵方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,
∴方程a(x+m+2)2+b=0的两个解是x3=﹣2﹣2=﹣4,x4=1﹣2=﹣1,
故答案为:x3=﹣4,x4=﹣1.
16.解:∵(x+1)*3=0,
∴(x+1)2﹣32=0,
∴(x+1)2=9,
x+1=±3,
所以x1=2,x2=﹣4.
故答案为x1=2,x2=﹣4.
17.解:两边开方得x2+y2﹣1=±2,
∴x2+y2=3或x2+y2=﹣1,
∵x2+y2≥0,
∴x2+y2=3.
故答案为3.
18.解:3x2﹣6x﹣8=0,
∴3(x2﹣2x+1)=8+3,
∴3(x﹣1)2=11,
故答案为:3(x﹣1)2=11.
19.解:方法一:∵方程x2﹣2021x+1=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2021,x12﹣2021x1+1=0,x22﹣2021x2+1=0,
∵x2≠0,
∴x2﹣2021+=0,
∴﹣=x2﹣2021,
∴﹣,
∴x12﹣=2021x1﹣1+2021x2﹣20212
=2021(x1+x2)﹣1﹣20212
=20212﹣1﹣20212
=﹣1.
方法二:∵方程x2﹣2021x+1=0的两根分别为x1,x2,
∴x1 x2=1,x12﹣2021x1+1=0,
∴x12﹣2021x1=﹣1,
∴x12﹣=x12﹣=x12﹣2021x1=﹣1.
20.解:∵x2﹣8x+12=0,
∴(x﹣2)(x﹣6)=0,
∴x1=2,x2=6.
∵三角形是等腰三角形,必须满足三角形三边的关系,
∴腰长是6,底边是2,
周长为:6+6+2=14,
故答案为:14.
三.解答题(共7小题,满分60分)
21.解:(1)∵x2+4x+2=0,
∴x2+4x=﹣2,
∴x2+4x+22=﹣2+22,
∴(x+2)2=2,
∴x+2=,
∴x=﹣2,
∴x1=﹣2,x2=﹣﹣2;
(2)∵3x2﹣1=﹣2x,
∴3x2+2x﹣1=0,
∴a=3,b=2,c=﹣1,
∴Δ=b2﹣4ac=22﹣4×3×(﹣1)=16>0,
∴该方程有两个不相等的实数根,
∴x====,
∴x1=﹣1,x2=.
22.解:设x2+2x=m,
则m2﹣2m﹣3=0,
∴(m﹣3)(m+1)=0,
∴m﹣3=0或m+1=0,
解得m=3或m=﹣1,
当m=3时,x2+2x=3,即x2+2x﹣3=0,
∴(x+3)(x﹣1)=0,
则x+3=0或x﹣1=0,
解得x1=﹣3,x2=1;
当m=﹣1时,x2+2x=﹣1,即x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,
解得x3=x4=﹣1;
综上,原方程的解为x1=﹣3,x2=1,x3=x4=﹣1.
23.解:(1)根据题意得Δ=(﹣6)2﹣4(2m﹣1)≥0,解得m≤5,
x1+x2=6,x1x2=2m﹣1,
∵x1=1,
∴1+x2=6,x2=2m﹣1,
∴x2=5,m=3;
(2)存在.
∵(x1﹣1)(x2﹣1)=,
∴x1x2﹣(x1+x2)+1=,
即2m﹣1﹣6+1=,
整理得m2﹣8m+12=0,解得m1=2,m2=6,
经检验m1=2,m2=6为原方程的解,
∵m≤5且m≠5,
∴m=2.
24.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根,
∴Δ=m2﹣4n=0,
∴n=m2;
(2)①∵方程有两个不相等的实数根,且m=﹣4.
∴Δ=(﹣4)2﹣4n>0,
解得n<4;
∴n的取值范围为n<4.
②∵n<4,
∴n可以是3,
此时方程为x2﹣4x+3=0,
(x﹣3)(x﹣1)=0,
解得x1=3,x2=1.
25.解:(1)如;
(2)由,
又∵c2=a2+b2,
∴Δ=2(a2+b2)﹣4ab=2(a﹣b)2≥0,
∴该一元二次方程必有实数根;
(3)∵x=﹣1是方程的一个根,
∴,
∴,
∴(a﹣b)2=0,
即a=b,
由S△ABC=3,得:ab=6,
∴,
∴.
26.解:(1)根据题意,提价后平均每天的销售量为:80﹣2(x﹣60)=200﹣2x.
故答案是:(200﹣2x);
(2)根据题意得:(x﹣50)(200﹣2x)=1200,
整理得:x2﹣150x+5600=0.
解得:x1=70,x2=80.
当x=70时,利润率=,符合题意;
当x=80时,利润率=,不合题意,舍去.
所以要获得1200元利润,应按70元每盒销售.
27.解:设与墙垂直的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(54﹣2x+2)m.
(1)依题意得:x(54﹣2x+2)=320,
整理得:x2﹣28x+160=0,
解得:x1=8,x2=20.
当x=8时,56﹣2x=40<41,符合题意;
当x=20时,56﹣2x=16<41,符合题意.
答:x的值为8或20.
(2)令x(54﹣2x+2)=400①,
整理得:x2﹣28x+200=0.
∵Δ=(﹣28)2﹣4×1×200=﹣16<0,
∴方程①无实数根,
∴矩形菜园的面积不能达到400m2.
(3)令x(54﹣2x+2)=320,
整理得:x2﹣28x+160=0,
解得:x1=8,x2=20.
当x=8时,56﹣2x=40;
当x=20时,56﹣2x=16.
∵x的值只能取一个,
∴16≤a<40.