2021-2022学年浙教版八年级数学下册第2章一元二次方程单元达标测试 （word版含答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》单元达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列一元二次方程中，无实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0
2．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
3．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
4．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
5．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0
6．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
7．若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
9．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
10．已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
12．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 　 　．
13．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为 　 　．
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　 　．
15．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　 　．
17．若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝　 　．
18．将方程3x2﹣6x﹣8＝0配方为a（x﹣h）2＝k，其结果是 　 　．
19．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为 　 　．
20．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．按要求解方程：
（1）x2+4x+2＝0（配方法）；
（2）3x2﹣1＝﹣2x（公式法）．
22．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
24．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
①求n的取值范围；
②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90．，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）请直接写出一个“直系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且S△ABC＝3，求的值．
26．2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情后，口罩成为家庭必需品，某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元．
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 　 　盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
27．用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；
在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；
在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；
在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
2．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
3．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
4．解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
故选：D．
5．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
6．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．
故选：D．
7．解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，
∴k＝﹣3，b＝1，
∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
8．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴＝，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣9a ＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
9．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
10．解：x2﹣x﹣3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
x＝，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2＝﹣1，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
12．解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，
解得：n＝8，
当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+4＞4，
∴n＝8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，
解得：n＝9，
当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合题意．
∴n的值为8或9．
故答案为：8或9．
13．解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
故答案为：c＞．
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：x3＝﹣4，x4＝﹣1．
16．解：∵（x+1）*3＝0，
∴（x+1）2﹣32＝0，
∴（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为x1＝2，x2＝﹣4．
17．解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2，
∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．
故答案为3．
18．解：3x2﹣6x﹣8＝0，
∴3（x2﹣2x+1）＝8+3，
∴3（x﹣1）2＝11，
故答案为：3（x﹣1）2＝11．
19．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，
∴x12﹣2021x1＝﹣1，
∴x12﹣＝x12﹣＝x12﹣2021x1＝﹣1．
20．解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是6，底边是2，
周长为：6+6+2＝14，
故答案为：14．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：（1）∵x2+4x+2＝0，
∴x2+4x＝﹣2，
∴x2+4x+22＝﹣2+22，
∴（x+2）2＝2，
∴x+2＝，
∴x＝﹣2，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；
（2）∵3x2﹣1＝﹣2x，
∴3x2+2x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝＝＝，
∴x1＝﹣1，x2＝．
22．解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
23．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6+1＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
24．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2；
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
∴n的取值范围为n＜4．
②∵n＜4，
∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
25．解：（1）如；
（2）由，
又∵c2＝a2+b2，
∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴该一元二次方程必有实数根；
（3）∵x＝﹣1是方程的一个根，
∴，
∴，
∴（a﹣b）2＝0，
即a＝b，
由S△ABC＝3，得：ab＝6，
∴，
∴．
26．解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：80﹣2（x﹣60）＝200﹣2x．
故答案是：（200﹣2x）；
（2）根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x1＝70，x2＝80．
当x＝70时，利润率＝，符合题意；
当x＝80时，利润率＝，不合题意，舍去．
所以要获得1200元利润，应按70元每盒销售．
27．解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）依题意得：x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40＜41，符合题意；
当x＝20时，56﹣2x＝16＜41，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
（3）令x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40；
当x＝20时，56﹣2x＝16．
∵x的值只能取一个，
∴16≤a＜40．