二次函数图象与性质期末复习课件
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二次函数的图像与性质1.若（m，a），（n，a）是抛物线上不同的两点，
则抛物线的对称轴为：直线2.抛物线与x轴两个交点
之间的距离 3、系数a的作用：
决定开口方向与开口大
小以及函数最值情况注意：
|a|越大，抛物线的张口越小；
|a|越小，抛物线的张口越大，
|a|相同的抛物线通过平移
（或旋转）一定能重合。y4、系数b的作用：
和抛物线的对称轴有关。
当ab>0时，对称轴在y轴左侧
当ab<0时，对称轴在y轴右侧
当b=0时，对称轴即为y轴。
以上结论反之也成立。5、系数c的作用：
和y轴交点的纵坐标，
任何抛物线和y轴必有一个
交点（0，c）。
当c＜0时，交y轴于负半轴；
当c＞0时，交y轴于正半轴；
当c=0时，图象必经过原点。x6.二次函数的解析式有三种形式：
一般式：
顶点式：
两根式：例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有（ ）
A.abc>0
B.b2-4ac>0
C.2a+b>0
D.4a-2b+c<0-11xyo二、典型例题举例：D例2 （1）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像经过原点，求m的值
（2）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称，求m的值
2m-m2=0,m=2或m=0（3）二次函数y=(x-a)2+(x-b)2,其中a,b为常数，当y达到最小值时x的值为_______
（4）直线x=2是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴，当x1=0,x2=1.5,x3=3时，
对应的y值依次是
y1,y2,y3,则它们之
间的大小关系是_____例3.求满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0),
B(4,0),且图像过点C(1,6)
（2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时
y=0
（3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像
向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3)
（4）图象在x轴上截得的线段长为4，图象
的顶点坐标为P（3，-2）。（5）已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称，求抛物线C 的解析式。xyO(1,3)Y=2(x-1)2+3(1,-3)y=2(x-1)2-3思考：若把抛物线y=2x2-4x+5绕着顶点旋转1800（6）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为
-2.5，积为-6，且过点(0,-6)A(x1,0),B(x2,0)
x1+x2=-2.5, x1x2=-6
∴ x1,x2是方程x2+2.5x-6=0的两根
∴所求的抛物线解析式是
Y=a(x2+2.5x-6)（7）抛物线的顶点是直线y=2x与y=-2x+4的交点，且经过直线y=-2x+4与y轴的交点
（8）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位，再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且a+b+c=9，求原抛物线解析式例4已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件：
（1）图象与x轴两个交点间的距离为
（2）当x＞1时，y随x增大而减小。
求m的值。变式：已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与X轴交于A，B两点,与y轴交于点C,且同时满足下列条件:
(1)当x＜-2时,y随x的增大而增大;
(2)当x＞1时,y随x的增大而减小.
如果O是坐标原点,M是AB中点,问是否存在这样的m值,使△COM的面积等于2或6?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由?
例5.已知点A（-1，-1）在抛物线
y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，
问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？
如果存在，求符合条件的直线；如果不存
在，说明理由。
解（2）∵ B点与A点关于抛物线的对称轴对称∴B点坐标为（x,-1），又B点在抛物线
上，解得B点坐标为K=-3,y=8x2+10x+1①当直线过点B，且与y轴平行时，满足条件，此时直线为假设存在直线y=mx+n与抛物线只交于一点B本节内容主要复习了二次函数的图象和性质，围绕解析式、图象、性质三方面展开。
（1）研究二次函数图象的关键是将函数式转换为顶点式，理解二次函数性质的关键是：充分理解图象的直观性。归纳到“三点（顶点、与坐标轴交点）一开口”。
（2）用待定系数法求二次函数的解析式，三种表达形式在不同条件下，应选择计算量少的那一种形式，通常还用到抛物线截X轴所得线段长，面积等求法。小结：例6. 已知二次函数y=x2+ax+a-2
（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴下方。
（2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一交点为D,问：△ACD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由。
（3）在（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使△ACD的面积等于0.25的抛物线有几条？请证明的结论。7.二次函数与方程、不等式的关系思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于0？恒小于0？
二次函数的图像与性质1.若（m，a），（n，a）是抛物线上不同的两点，
则抛物线的对称轴为：直线2.抛物线与x轴两个交点
之间的距离 3、系数a的作用：
决定开口方向与开口大
小以及函数最值情况注意：
|a|越大，抛物线的张口越小；
|a|越小，抛物线的张口越大，
|a|相同的抛物线通过平移
（或旋转）一定能重合。y4、系数b的作用：
和抛物线的对称轴有关。
当ab>0时，对称轴在y轴左侧
当ab<0时，对称轴在y轴右侧
当b=0时，对称轴即为y轴。
以上结论反之也成立。5、系数c的作用：
和y轴交点的纵坐标，
任何抛物线和y轴必有一个
交点（0，c）。
当c＜0时，交y轴于负半轴；
当c＞0时，交y轴于正半轴；
当c=0时，图象必经过原点。x6.二次函数的解析式有三种形式：
一般式：
顶点式：
两根式：例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有（ ）
A.abc>0
B.b2-4ac>0
C.2a+b>0
D.4a-2b+c<0-11xyo二、典型例题举例：D例2 （1）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像经过原点，求m的值
（2）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称，求m的值
2m-m2=0,m=2或m=0（3）二次函数y=(x-a)2+(x-b)2,其中a,b为常数，当y达到最小值时x的值为_______
（4）直线x=2是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴，当x1=0,x2=1.5,x3=3时，
对应的y值依次是
y1,y2,y3,则它们之
间的大小关系是_____例3.求满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0),
B(4,0),且图像过点C(1,6)
（2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时
y=0
（3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像
向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3)
（4）图象在x轴上截得的线段长为4，图象
的顶点坐标为P（3，-2）。（5）已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称，求抛物线C 的解析式。xyO(1,3)Y=2(x-1)2+3(1,-3)y=2(x-1)2-3思考：若把抛物线y=2x2-4x+5绕着顶点旋转1800（6）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为
-2.5，积为-6，且过点(0,-6)A(x1,0),B(x2,0)
x1+x2=-2.5, x1x2=-6
∴ x1,x2是方程x2+2.5x-6=0的两根
∴所求的抛物线解析式是
Y=a(x2+2.5x-6)（7）抛物线的顶点是直线y=2x与y=-2x+4的交点，且经过直线y=-2x+4与y轴的交点
（8）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位，再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且a+b+c=9，求原抛物线解析式例4已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件：
（1）图象与x轴两个交点间的距离为
（2）当x＞1时，y随x增大而减小。
求m的值。变式：已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与X轴交于A，B两点,与y轴交于点C,且同时满足下列条件:
(1)当x＜-2时,y随x的增大而增大;
(2)当x＞1时,y随x的增大而减小.
如果O是坐标原点,M是AB中点,问是否存在这样的m值,使△COM的面积等于2或6?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由?
例5.已知点A（-1，-1）在抛物线
y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，
问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？
如果存在，求符合条件的直线；如果不存
在，说明理由。
解（2）∵ B点与A点关于抛物线的对称轴对称∴B点坐标为（x,-1），又B点在抛物线
上，解得B点坐标为K=-3,y=8x2+10x+1①当直线过点B，且与y轴平行时，满足条件，此时直线为假设存在直线y=mx+n与抛物线只交于一点B本节内容主要复习了二次函数的图象和性质，围绕解析式、图象、性质三方面展开。
（1）研究二次函数图象的关键是将函数式转换为顶点式，理解二次函数性质的关键是：充分理解图象的直观性。归纳到“三点（顶点、与坐标轴交点）一开口”。
（2）用待定系数法求二次函数的解析式，三种表达形式在不同条件下，应选择计算量少的那一种形式，通常还用到抛物线截X轴所得线段长，面积等求法。小结：例6. 已知二次函数y=x2+ax+a-2
（1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴下方。
（2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一交点为D,问：△ACD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由。
（3）在（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使△ACD的面积等于0.25的抛物线有几条？请证明的结论。7.二次函数与方程、不等式的关系思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于0？恒小于0？
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