2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册3.3 方差和标准差 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·扬州期中）某校九年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
中位数 众数 平均数 方差
9.2 9.3 9.1 0.3
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
2．（2018·滨州）如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2018·南京）某排球队 名场上队员的身高（单位： ）是： ， ， ， ， ， .现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
4．（2018·大庆）已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a，方差为b，则a+b=（ ）
A．98 B．99 C．100 D．102
5．（2018九上·桥东期中）若一组数据2、4、6、8、x的方差比另一组数据5、7、9、11、13的方差大，则 x 的值可以是（ ）
A．12 B．10 C．2 D．0
6．（2018·锦州）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2018·梧州）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.8 D．3
8．（2018·凉州）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数 与方差 如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数 （米） 11.1 11.1 10.9 10.9
方差 1.1 1.2 1.3 1.4
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2018·安徽）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
类于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
10．以下说法中，①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零；③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的标准差不变，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2018·巴中）甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S甲2=3.7，S乙2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 ．
12．（2018九上·泰州期中）实数x，y满足|x﹣y|=7，则实数x，y的方差为 ．
13．（2018九上·兴化期中）已知一组数据为：12，9，10，8，1l，则这组数据的方差是 .
14．（2018九上·南京期中）小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 （填“不变”“增大”或“减小”）．
15．（2018九上·东台期中）为了比较甲、乙两种水稻秧苗哪种出苗更整齐，各随机抽取50株，量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5，10.9，则出苗更整齐的是 （填“甲”或“乙”）．
16．（2018·青岛）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）
三、解答题
17．（2018九上·桥东期中）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）写出表格中a，b，c的值；
（2）分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
18．（2018·柳州模拟）甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家销售的产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由.
19．（2018·亭湖模拟）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
20．甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
（3）这两位同学的成绩各有什么特点？
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？
21．某班实行小组量化考核制，为了了解同学们的学习情况，王老师对甲、乙两个小组连续六周的综合评价得分进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表：
（1）请根据上表中的数据完成下表（注：方差的计算结果精确到0.1）
（2）根据综合评价得分统计表中的数据，请在下图中画出乙组综合评价得分的折线统计图．
（3）根据折线统计图中的信息，请你分别对甲、乙两个小组连续六周的学习情况作出简要评价．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．
故答案为：A．
【分析】中位数是把已知的数据从小到大排列，如果有偶数个数据，取中间两个数的平均数；如果有奇数个数据，取中间的数据即为这组数据的中位数。则由题意知，去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数。
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意，得： =2x
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为 [（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，
故答案为：A．
【分析】根据这组数据的平均数，列出方程，求解得出x的值，进而得出这组数据的平均数，再根据方差公式即可得出这组数据的方差。
3．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：换人前6名队员身高的平均数为 = =188，
方差为S2= = ；
换人后6名队员身高的平均数为 = =187，
方差为S2= =
∵188＞187， ＞ ，
∴平均数变小，方差变小，
故答案为：A.
【分析】观察四个答案，都是围着平均数和方差进行的，所以分别算出换人前后的平均数和方差，再比较即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为91，92，94，95，98，
∴中位数是a=94；
平均数为 ，
方差为 ，
则 .
故答案为：C．
【分析】由中位数的定义，将这组数据从小到大（或从大到小）排列，这组数据的个数是5个，是奇数个，则中位数是第排列好后的第3个数；根据方差公式 代入计算即可．
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为S12= ×（42+22+0+22+42）=8；
数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12=8，
当x=12时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为 ×（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62）=11.84，满足题意，
故答案为：A
【分析】首先算出5，7，9，11，13，这组数据的平均数及方差，然后根据数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12=8，然后将四个答案分别替换x算出其方差，再比较即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
故答案为：D．
【分析】根据方差反映数据的波动情况，可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】∵一组数据 3，4，5，x，8 的众数是 5，
∴x=5，
∴这组数据的平均数为 ×（3+4+5+5+8）=5，
则这组数据的方差为 ×[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣4）2+（8﹣5）2]=2.8，
故答案为：C．
【分析】根据众数的概念得出x=5，然后算出这组数据的平均数，再算出各个数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数即可得出这组数据的方差。
8．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看，甲、乙中，甲方差小，甲发挥稳定.
故答案为：A.
【分析】观察表中的相关数据，平均数看，成绩好的同学有甲、乙，再从方差分析，可得出甲发挥稳定.。
9．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可对A作出判断；根据中位数的定义，分别求出甲乙两组数据的中位数，可对B作出判断；利用平均数公式分别计算出甲乙的平均数，可对C作出判断；分别求出甲乙两组数据的方差，比较大小，可对D作出判断；从而可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】方差；标准差
【解析】【解答】解：①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等，正确；
②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零错误，如2和-2的平均数是0，每一个数减去平均数，再将所得的差相加和为零，而标准差是2，错误；
③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变，正确；
④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，平均数不变，则各数与平均数的差的平方和不变，但数据的个数少了一个，所以数据的标准差改变，错误．
故答案为：B．
【分析】方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，在实际问题中，方差是偏离程度的大小；标准差是方差的算术平方根；标准差能反映一个数据集的离散程度；如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加，若和为零，则标准差不一定为零；在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；在一组数据中去掉一个等于平均数的数，平均数不变，则各数与平均数的差的平方和不变，但数据的个数少了一个，所以数据的标准差改变.
11．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵S甲2=3.7，S乙2=6.25，
∴S甲2＜S乙2，
∴两人中成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的意义，方差越小，成绩越稳定，可求解。
12．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设x，y的平均数为t= ，
则x，y的方差：
s2= [(x t)2+(y t)2]= [x2+y2 2(x+y)t+2t2],将t= ，代入上式，整理得：
s2= (x2+y2 2xy)= (x y)2= |x y|2= ，所以方差为 .
故答案为： .
【分析】设x，y的平均数为t= ，根据方差的定义可得s2= [(x t)2+(y t)2]= [x2+y2 2(x+y)t+2t2],将t= ，代入上式，整理后把已知条件整体代入即可得到答案。
13．【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】平均数为：（12+9+10+8+11）÷5=10，
S 2= [（10-12）2+（10-9）2+（10-10）2+（10-8） 2+（10-11）2 ]
= ×（4+1+0+4+1），
=2，
故答案为：2．
【分析】先算出这组数据的平均数，再用这组数据中的每一个数据分别减去这组数据平均数差的平方和的平均数即可。
14．【答案】不变
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设小明及其他四名同学的年龄分别为x1，x2，x3，x4，x5，平均年龄为 ，
方差S12= ，
10年后年五名同学的年龄分别为x1+10，x2+10，x3+10，x4+10，x5+10，平均年龄为 +10；
方差S22=
= S12，
∴10年后小明等五位同学年龄的方差不变；
故答案为：不变.
【分析】设小明及其他四名同学的年龄分别为x1，x2，x3，x4，x5，平均年龄为 ，10年后年五名同学的年龄分别为x1+10，x2+10，x3+10，x4+10，x5+10，平均年龄为 +10；用各个同学的年龄分别减去他们年龄的平均数就会发现结果是一样的，根据方差的计算方法，从而得出答案。
15．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵甲、乙方差分别是3.5、10.9，
∴S2甲∴甲秧苗出苗更整齐；
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小越稳定可得答案.
16．【答案】＞
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S甲2＞S乙2．
故答案为：＞．
【分析】从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，可得出答案。
17．【答案】（1）解：甲的平均成绩 (环)， 甲的方差为： ； ∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数 (环) 故答案为： ， ，
（2）解：从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据条形统计图提供的数据，利用加权平均数的计算方法计算出 甲的平均成绩 a的值；然后用甲的每次射击成绩分别减去其平均成绩的差的和的平均数即可算出其方差，即C的值；将 乙射击的成绩从小到大从新排列 ，由于折线统计图中给出了10次射击成绩，故找出处于最中间位置的5，6 两个位置的数的平均数即可得出 乙射击成绩的中位数 ，即b的值；
（2）可以比较两人的平均成绩，中位数，众数，方差，然后综合各个方面的因素即可得出答案。
18．【答案】（1）解：x甲= ×（3＋4＋5＋6＋7）=5，
甲= ×[（3－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]=2，
x乙= ×（4＋4＋5＋6＋6）=5，
乙= ×[（4－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（6－5）2]=0.8.
（2）解：由（1）知，甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命平均数都是5年，
则甲厂方差>乙厂方差，选方差小的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）平均数=，方差，代入公式即可求解；
（2）由（1）知，两家的平均数相同，根据方差越小越稳定可知，应选乙厂的产品。
19．【答案】（1）3400；3000
（2）解：本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势
【知识点】中位数；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】（1）共有25名员工，中位数是第13个数，则中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000.
【分析】（1）把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；出现的次数最多的数是众数，根据概念即可求解。
（2）根据平均数、众数、中位数的意义分析即可。
20．【答案】（1）解：甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
（2）解：s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
（3）解：乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀
（4）解：选甲去，甲比乙更有可能达到98分
【知识点】加权平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【分析】(1)平均数=(++),分别将甲、乙两组数据代入计算即可求解；
（2）标准差即为方差的算术平方根，所以先求出甲、乙两位同学的方差，再求算术平方根即可。
(3)由（2）知，甲的方差大于乙的方差，所以乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀；
（4）从众数来看，甲的众数是100，根据题意甲比乙更有可能达到98分，所以选甲去。
21．【答案】（1）解：
平均数 中位数 方差
甲组 14 14 1.7
乙组 14 15 11.7
（2）解：
（3）解：从折线图可看出：甲组成绩相对稳定，但进步不大，且略有下降趋势；乙组成绩不够稳定，但进步较快，呈上升趋势．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）甲组的平均数==14;甲组的中位数，先将这组数据从小到大排列：12、13、14、14、15、16，共有偶数个数据，所以甲组的中位数==14；
甲组的方差==；
乙组的平均数==14；
组的中位数，先将这组数据从小到大排列：9、10、14、16、17、18，共有偶数个数据，所以乙组的中位数==15；
乙组的的方差==；
（2）以时间作为横坐标，综合评价得分作为纵坐标描点，再用折线连接即可；
（3）从折线图可看出：甲组成绩相对稳定，但进步不大，且略有下降趋势；乙组成绩不够稳定，但进步较快，呈上升趋势．
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册3.3 方差和标准差 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·扬州期中）某校九年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
中位数 众数 平均数 方差
9.2 9.3 9.1 0.3
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．
故答案为：A．
【分析】中位数是把已知的数据从小到大排列，如果有偶数个数据，取中间两个数的平均数；如果有奇数个数据，取中间的数据即为这组数据的中位数。则由题意知，去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数。
2．（2018·滨州）如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意，得： =2x
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为 [（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，
故答案为：A．
【分析】根据这组数据的平均数，列出方程，求解得出x的值，进而得出这组数据的平均数，再根据方差公式即可得出这组数据的方差。
3．（2018·南京）某排球队 名场上队员的身高（单位： ）是： ， ， ， ， ， .现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：换人前6名队员身高的平均数为 = =188，
方差为S2= = ；
换人后6名队员身高的平均数为 = =187，
方差为S2= =
∵188＞187， ＞ ，
∴平均数变小，方差变小，
故答案为：A.
【分析】观察四个答案，都是围着平均数和方差进行的，所以分别算出换人前后的平均数和方差，再比较即可得出答案。
4．（2018·大庆）已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a，方差为b，则a+b=（ ）
A．98 B．99 C．100 D．102
【答案】C
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为91，92，94，95，98，
∴中位数是a=94；
平均数为 ，
方差为 ，
则 .
故答案为：C．
【分析】由中位数的定义，将这组数据从小到大（或从大到小）排列，这组数据的个数是5个，是奇数个，则中位数是第排列好后的第3个数；根据方差公式 代入计算即可．
5．（2018九上·桥东期中）若一组数据2、4、6、8、x的方差比另一组数据5、7、9、11、13的方差大，则 x 的值可以是（ ）
A．12 B．10 C．2 D．0
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为S12= ×（42+22+0+22+42）=8；
数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12=8，
当x=12时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为 ×（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62）=11.84，满足题意，
故答案为：A
【分析】首先算出5，7，9，11，13，这组数据的平均数及方差，然后根据数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12=8，然后将四个答案分别替换x算出其方差，再比较即可得出答案。
6．（2018·锦州）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
故答案为：D．
【分析】根据方差反映数据的波动情况，可得出答案。
7．（2018·梧州）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.8 D．3
【答案】C
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】∵一组数据 3，4，5，x，8 的众数是 5，
∴x=5，
∴这组数据的平均数为 ×（3+4+5+5+8）=5，
则这组数据的方差为 ×[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣4）2+（8﹣5）2]=2.8，
故答案为：C．
【分析】根据众数的概念得出x=5，然后算出这组数据的平均数，再算出各个数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数即可得出这组数据的方差。
8．（2018·凉州）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数 与方差 如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数 （米） 11.1 11.1 10.9 10.9
方差 1.1 1.2 1.3 1.4
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看，甲、乙中，甲方差小，甲发挥稳定.
故答案为：A.
【分析】观察表中的相关数据，平均数看，成绩好的同学有甲、乙，再从方差分析，可得出甲发挥稳定.。
9．（2018·安徽）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
类于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可对A作出判断；根据中位数的定义，分别求出甲乙两组数据的中位数，可对B作出判断；利用平均数公式分别计算出甲乙的平均数，可对C作出判断；分别求出甲乙两组数据的方差，比较大小，可对D作出判断；从而可得出答案。
10．以下说法中，①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零；③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的标准差不变，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】方差；标准差
【解析】【解答】解：①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等，正确；
②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零错误，如2和-2的平均数是0，每一个数减去平均数，再将所得的差相加和为零，而标准差是2，错误；
③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变，正确；
④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，平均数不变，则各数与平均数的差的平方和不变，但数据的个数少了一个，所以数据的标准差改变，错误．
故答案为：B．
【分析】方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，在实际问题中，方差是偏离程度的大小；标准差是方差的算术平方根；标准差能反映一个数据集的离散程度；如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加，若和为零，则标准差不一定为零；在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；在一组数据中去掉一个等于平均数的数，平均数不变，则各数与平均数的差的平方和不变，但数据的个数少了一个，所以数据的标准差改变.
二、填空题
11．（2018·巴中）甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S甲2=3.7，S乙2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 ．
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵S甲2=3.7，S乙2=6.25，
∴S甲2＜S乙2，
∴两人中成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的意义，方差越小，成绩越稳定，可求解。
12．（2018九上·泰州期中）实数x，y满足|x﹣y|=7，则实数x，y的方差为 ．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设x，y的平均数为t= ，
则x，y的方差：
s2= [(x t)2+(y t)2]= [x2+y2 2(x+y)t+2t2],将t= ，代入上式，整理得：
s2= (x2+y2 2xy)= (x y)2= |x y|2= ，所以方差为 .
故答案为： .
【分析】设x，y的平均数为t= ，根据方差的定义可得s2= [(x t)2+(y t)2]= [x2+y2 2(x+y)t+2t2],将t= ，代入上式，整理后把已知条件整体代入即可得到答案。
13．（2018九上·兴化期中）已知一组数据为：12，9，10，8，1l，则这组数据的方差是 .
【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】平均数为：（12+9+10+8+11）÷5=10，
S 2= [（10-12）2+（10-9）2+（10-10）2+（10-8） 2+（10-11）2 ]
= ×（4+1+0+4+1），
=2，
故答案为：2．
【分析】先算出这组数据的平均数，再用这组数据中的每一个数据分别减去这组数据平均数差的平方和的平均数即可。
14．（2018九上·南京期中）小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 （填“不变”“增大”或“减小”）．
【答案】不变
【知识点】方差
【解析】【解答】解：设小明及其他四名同学的年龄分别为x1，x2，x3，x4，x5，平均年龄为 ，
方差S12= ，
10年后年五名同学的年龄分别为x1+10，x2+10，x3+10，x4+10，x5+10，平均年龄为 +10；
方差S22=
= S12，
∴10年后小明等五位同学年龄的方差不变；
故答案为：不变.
【分析】设小明及其他四名同学的年龄分别为x1，x2，x3，x4，x5，平均年龄为 ，10年后年五名同学的年龄分别为x1+10，x2+10，x3+10，x4+10，x5+10，平均年龄为 +10；用各个同学的年龄分别减去他们年龄的平均数就会发现结果是一样的，根据方差的计算方法，从而得出答案。
15．（2018九上·东台期中）为了比较甲、乙两种水稻秧苗哪种出苗更整齐，各随机抽取50株，量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5，10.9，则出苗更整齐的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】∵甲、乙方差分别是3.5、10.9，
∴S2甲∴甲秧苗出苗更整齐；
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小越稳定可得答案.
16．（2018·青岛）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S甲2＞S乙2．
故答案为：＞．
【分析】从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，可得出答案。
三、解答题
17．（2018九上·桥东期中）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）写出表格中a，b，c的值；
（2）分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
【答案】（1）解：甲的平均成绩 (环)， 甲的方差为： ； ∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数 (环) 故答案为： ， ，
（2）解：从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据条形统计图提供的数据，利用加权平均数的计算方法计算出 甲的平均成绩 a的值；然后用甲的每次射击成绩分别减去其平均成绩的差的和的平均数即可算出其方差，即C的值；将 乙射击的成绩从小到大从新排列 ，由于折线统计图中给出了10次射击成绩，故找出处于最中间位置的5，6 两个位置的数的平均数即可得出 乙射击成绩的中位数 ，即b的值；
（2）可以比较两人的平均成绩，中位数，众数，方差，然后综合各个方面的因素即可得出答案。
18．（2018·柳州模拟）甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家销售的产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由.
【答案】（1）解：x甲= ×（3＋4＋5＋6＋7）=5，
甲= ×[（3－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]=2，
x乙= ×（4＋4＋5＋6＋6）=5，
乙= ×[（4－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（6－5）2]=0.8.
（2）解：由（1）知，甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命平均数都是5年，
则甲厂方差>乙厂方差，选方差小的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）平均数=，方差，代入公式即可求解；
（2）由（1）知，两家的平均数相同，根据方差越小越稳定可知，应选乙厂的产品。
19．（2018·亭湖模拟）某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 3000 2200
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元．
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
【答案】（1）3400；3000
（2）解：本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势
【知识点】中位数；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】（1）共有25名员工，中位数是第13个数，则中位数是3400元；3000出现了11次，出现的次数最多，则众数是3000.
【分析】（1）把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；出现的次数最多的数是众数，根据概念即可求解。
（2）根据平均数、众数、中位数的意义分析即可。
20．甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
（3）这两位同学的成绩各有什么特点？
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？
【答案】（1）解：甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
（2）解：s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
（3）解：乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀
（4）解：选甲去，甲比乙更有可能达到98分
【知识点】加权平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【分析】(1)平均数=(++),分别将甲、乙两组数据代入计算即可求解；
（2）标准差即为方差的算术平方根，所以先求出甲、乙两位同学的方差，再求算术平方根即可。
(3)由（2）知，甲的方差大于乙的方差，所以乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀；
（4）从众数来看，甲的众数是100，根据题意甲比乙更有可能达到98分，所以选甲去。
21．某班实行小组量化考核制，为了了解同学们的学习情况，王老师对甲、乙两个小组连续六周的综合评价得分进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表：
（1）请根据上表中的数据完成下表（注：方差的计算结果精确到0.1）
（2）根据综合评价得分统计表中的数据，请在下图中画出乙组综合评价得分的折线统计图．
（3）根据折线统计图中的信息，请你分别对甲、乙两个小组连续六周的学习情况作出简要评价．
【答案】（1）解：
平均数 中位数 方差
甲组 14 14 1.7
乙组 14 15 11.7
（2）解：
（3）解：从折线图可看出：甲组成绩相对稳定，但进步不大，且略有下降趋势；乙组成绩不够稳定，但进步较快，呈上升趋势．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）甲组的平均数==14;甲组的中位数，先将这组数据从小到大排列：12、13、14、14、15、16，共有偶数个数据，所以甲组的中位数==14；
甲组的方差==；
乙组的平均数==14；
组的中位数，先将这组数据从小到大排列：9、10、14、16、17、18，共有偶数个数据，所以乙组的中位数==15；
乙组的的方差==；
（2）以时间作为横坐标，综合评价得分作为纵坐标描点，再用折线连接即可；
（3）从折线图可看出：甲组成绩相对稳定，但进步不大，且略有下降趋势；乙组成绩不够稳定，但进步较快，呈上升趋势．
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