圆的切线--中考复习教案
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文档简介
辅导：圆的切线
（一）学习要求：
【学习目标】
1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．
3．会过圆上点画圆的切线．
【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．
（二）知识要点：
1． 直线是圆的切线．
2．直线与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线与半径OA位置关系如何？
圆的切线 经过 的半径.
（三）例题展现：
问题1：（2012?衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
问题2：(2012?丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
（四）自我体会：
1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
2、(2012?扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．
3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.
4、（2012?黄石）如图（4）所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为（ ）
A. ° B. ° C. ° D. °
5、（2012山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A． 40° B． 50° C．60° D．70°
6、（2012?嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
7、(2012?扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．
8、(2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．
10、(2012?扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标： ．
②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
问题1：
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质。
分析：
（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．
解答：
（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），
∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．
点评：
本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
问题2：
考点：
切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。
分析：
(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．
解答：
(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝．
点评：
本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．
（四）自我体会：
1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°，
【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
2、
考点：
切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。
专题：
计算题。
分析：
连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：连接OA，OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°
点评：
此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
3、【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。
当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。
∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。
当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。
∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。
∵OP=3，∴OO1=5。
综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。
4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)
5、【解析】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，
∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
则∠E=90°﹣40°=50°．故选B
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．
6、
考点：
切线的性质。
分析：
由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．
解答：
解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．
点评：
此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
7、
考点：
切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，
可得AC平分∠BAD．
(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．
解答：
解：(1)如图：连接OC，
∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．
(2)连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴，
在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．
8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=(AD+BC) ?AB=(AD+BC) ?OA=2(AD?OA+BC?OB)
=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴AD?OA+BC?OA=CD·OE
∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 …………5分
（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD= …………5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB∴AD2=AE?AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．
10、
考点：
切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
解答：
(1)①解：E的坐标是：(1，)，
②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．
(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，
∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2
即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，得：k＝－，b＝，
∴直线GH的函数关系式为y＝－．
(3)解：连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，21世纪教育网
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，
过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，
设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．
点评：
本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．
辅导：圆的切线
（一）学习要求：
【学习目标】
1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．
3．会过圆上点画圆的切线．
【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．
（二）知识要点：
1． 直线是圆的切线．
2．直线与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线与半径OA位置关系如何？
圆的切线 经过 的半径.
（三）例题展现：
问题1：（2012?衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
问题2：(2012?丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
（四）自我体会：
1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
2、(2012?扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．
3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.
4、（2012?黄石）如图（4）所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为（ ）
A. ° B. ° C. ° D. °
5、（2012山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A． 40° B． 50° C．60° D．70°
6、（2012?嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
7、(2012?扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．
8、(2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．
10、(2012?扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标： ．
②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
问题1：
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质。
分析：
（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．
解答：
（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），
∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．
点评：
本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
问题2：
考点：
切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。
分析：
(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．
解答：
(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝．
点评：
本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．
（四）自我体会：
1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°，
【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
2、
考点：
切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。
专题：
计算题。
分析：
连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：连接OA，OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°
点评：
此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
3、【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。
当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。
∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。
当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。
∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。
∵OP=3，∴OO1=5。
综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。
4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)
5、【解析】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，
∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
则∠E=90°﹣40°=50°．故选B
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．
6、
考点：
切线的性质。
分析：
由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．
解答：
解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．
点评：
此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
7、
考点：
切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，
可得AC平分∠BAD．
(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．
解答：
解：(1)如图：连接OC，
∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．
(2)连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴，
在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．
8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=(AD+BC) ?AB=(AD+BC) ?OA=2(AD?OA+BC?OB)
=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴AD?OA+BC?OA=CD·OE
∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 …………5分
（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD= …………5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB∴AD2=AE?AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．
10、
考点：
切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
解答：
(1)①解：E的坐标是：(1，)，
②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．
(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，
∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2
即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，得：k＝－，b＝，
∴直线GH的函数关系式为y＝－．
(3)解：连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，21世纪教育网
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，
过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，
设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．
点评：
本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．
（一）学习要求：
【学习目标】
1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．
3．会过圆上点画圆的切线．
【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．
（二）知识要点：
1． 直线是圆的切线．
2．直线与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线与半径OA位置关系如何？
圆的切线 经过 的半径.
（三）例题展现：
问题1：（2012?衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
问题2：(2012?丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
（四）自我体会：
1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
2、(2012?扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．
3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.
4、（2012?黄石）如图（4）所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为（ ）
A. ° B. ° C. ° D. °
5、（2012山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A． 40° B． 50° C．60° D．70°
6、（2012?嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
7、(2012?扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．
8、(2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．
10、(2012?扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标： ．
②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
问题1：
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质。
分析：
（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．
解答：
（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），
∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．
点评：
本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
问题2：
考点：
切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。
分析：
(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．
解答：
(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝．
点评：
本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．
（四）自我体会：
1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°，
【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
2、
考点：
切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。
专题：
计算题。
分析：
连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：连接OA，OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°
点评：
此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
3、【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。
当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。
∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。
当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。
∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。
∵OP=3，∴OO1=5。
综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。
4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)
5、【解析】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，
∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
则∠E=90°﹣40°=50°．故选B
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．
6、
考点：
切线的性质。
分析：
由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．
解答：
解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．
点评：
此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
7、
考点：
切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，
可得AC平分∠BAD．
(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．
解答：
解：(1)如图：连接OC，
∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．
(2)连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴，
在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．
8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=(AD+BC) ?AB=(AD+BC) ?OA=2(AD?OA+BC?OB)
=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴AD?OA+BC?OA=CD·OE
∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 …………5分
（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD= …………5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB∴AD2=AE?AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．
10、
考点：
切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
解答：
(1)①解：E的坐标是：(1，)，
②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．
(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，
∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2
即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，得：k＝－，b＝，
∴直线GH的函数关系式为y＝－．
(3)解：连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，21世纪教育网
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，
过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，
设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．
点评：
本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．
辅导：圆的切线
（一）学习要求：
【学习目标】
1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．
3．会过圆上点画圆的切线．
【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．
（二）知识要点：
1． 直线是圆的切线．
2．直线与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线与半径OA位置关系如何？
圆的切线 经过 的半径.
（三）例题展现：
问题1：（2012?衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
问题2：(2012?丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
（四）自我体会：
1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
2、(2012?扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．
3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.
4、（2012?黄石）如图（4）所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为（ ）
A. ° B. ° C. ° D. °
5、（2012山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A． 40° B． 50° C．60° D．70°
6、（2012?嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
7、(2012?扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．
8、(2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．
10、(2012?扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标： ．
②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
问题1：
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质。
分析：
（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．
解答：
（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），
∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．
点评：
本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
问题2：
考点：
切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。
分析：
(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．
解答：
(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝．
点评：
本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．
（四）自我体会：
1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°，
【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
2、
考点：
切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。
专题：
计算题。
分析：
连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：连接OA，OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°
点评：
此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
3、【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。
当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。
∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。
当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。
∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。
∵OP=3，∴OO1=5。
综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。
4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)
5、【解析】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，
∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
则∠E=90°﹣40°=50°．故选B
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．
6、
考点：
切线的性质。
分析：
由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．
解答：
解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．
点评：
此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
7、
考点：
切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，
可得AC平分∠BAD．
(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．
解答：
解：(1)如图：连接OC，
∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．
(2)连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴，
在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．
8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=(AD+BC) ?AB=(AD+BC) ?OA=2(AD?OA+BC?OB)
=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴AD?OA+BC?OA=CD·OE
∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 …………5分
（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD= …………5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB∴AD2=AE?AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．
10、
考点：
切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
解答：
(1)①解：E的坐标是：(1，)，
②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．
(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，
∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2
即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，得：k＝－，b＝，
∴直线GH的函数关系式为y＝－．
(3)解：连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，21世纪教育网
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，
过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，
设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．
点评：
本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．
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