圆的对称性的中考复习
图片预览
文档简介
辅导：圆的对称性
主要内容：
1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
?????? 经过圆心的直线是对称轴。
?????? 圆心是它的对称中心。
2. 圆心角、弧、弦之间的关系
?????? 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
?????? 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
?????? 如图，用几何语言表示如下：⊙O中，
（1）∵∠AOB＝∠A'OB'
（3）∵AB＝A'B'
? 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）
?????? 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
?????? 如图：几何语言
??????
【典型例题】
?例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：
例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：
?
例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：
??????
【模拟试题】一. 选择题。
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（??? ）
?????? A. ?????????????????? B. 1?????????????? C. ??????????????? D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（??? ）
?????? A. 2????????????????????? B. 3????????????????????? C. 4????????????????????? D. 5
3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（??? ）
?????? A. ?? ?B. C. ????D.
4. 下列命题中正确的是（??? ）
?????? A. 圆只有一条对称轴?????? B. 平分弦的直径垂直于弦
?????? C. 垂直于弦的直径平分这条弦?????? D. 相等的圆心角所对的弧相等
5. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（??? ）
?????? A. AB＞CD?????????????B. AB＝CD C. AB＜CD?????????????D. 不能确定
二. 填空题。
6. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。
7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．
8. 如图，∠A＝30°，则B＝___________。
9. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。
10. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。
11. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。
三. 解答题。
?12. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。
13. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。
?????? 求证：
14. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长是怎么变化的？请说明理由。
15. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。
?
16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。
?
17. （2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【试题答案】
一. 选择题。
? 1. B??????????? 2. A??????????????????????? 3 D???????????? 4. C?????????????? 5. B
二. 填空题。
? 6. 4????????????????????????????????7. 10
8. 75°??????????????????????????? 9.
? 10. 2cm或14cm
? 11. cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题。
? 12 解：过点O作OC⊥AB于C，则
?????? 又
??????
?????? ∴∠OAB＝30°
? 13 证明：连结BC
?????? ∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径 ∴BC＝AC
?????? ∴∠CAB＝∠CBA
?????? 又EA＝EC∴∠CAB＝∠ECA∴∠CBA＝∠ECA
?????? ∴△AEC∽△ACB? ? 即
? 14. 解：略
? 15 解：连OA
?????? ∵AB＝AC，? ∴OA⊥BC于D又∠BAC＝120°
?????? ∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°
??????
?????? 设⊙O的半径为r，则 ∴r＝6
? 16. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G
?????? 则G为CD的中点
?????? 又EC⊥CD，FD⊥CD∴EC∥OG∥FD∴O为EF的中点，即OE＝OF
?????? 又AB为⊙O的直径 ∴OA＝OB ∴AE＝BF（等式性质）
?????? （2）解：四边形CDFE面积是定值
?????? 证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变
?????? ∴CE∥DF不变 ∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线
?????? ∴S＝OG·CD
?????? 连OC，由勾股定理有：
??????
?????? 又CD＝9cm是定值
17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E是中点，∴DE=AB=；
（3）如图（3），
∵BD=x，∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=，EF=x，∴y=DF?OE=（0＜x＜）．
主要内容：
1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
?????? 经过圆心的直线是对称轴。
?????? 圆心是它的对称中心。
2. 圆心角、弧、弦之间的关系
?????? 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
?????? 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
?????? 如图，用几何语言表示如下：⊙O中，
（1）∵∠AOB＝∠A'OB'
（3）∵AB＝A'B'
? 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）
?????? 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
?????? 如图：几何语言
??????
【典型例题】
?例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：
例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：
?
例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：
??????
【模拟试题】一. 选择题。
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（??? ）
?????? A. ?????????????????? B. 1?????????????? C. ??????????????? D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（??? ）
?????? A. 2????????????????????? B. 3????????????????????? C. 4????????????????????? D. 5
3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（??? ）
?????? A. ?? ?B. C. ????D.
4. 下列命题中正确的是（??? ）
?????? A. 圆只有一条对称轴?????? B. 平分弦的直径垂直于弦
?????? C. 垂直于弦的直径平分这条弦?????? D. 相等的圆心角所对的弧相等
5. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（??? ）
?????? A. AB＞CD?????????????B. AB＝CD C. AB＜CD?????????????D. 不能确定
二. 填空题。
6. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。
7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．
8. 如图，∠A＝30°，则B＝___________。
9. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。
10. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。
11. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。
三. 解答题。
?12. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。
13. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。
?????? 求证：
14. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长是怎么变化的？请说明理由。
15. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。
?
16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。
?
17. （2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【试题答案】
一. 选择题。
? 1. B??????????? 2. A??????????????????????? 3 D???????????? 4. C?????????????? 5. B
二. 填空题。
? 6. 4????????????????????????????????7. 10
8. 75°??????????????????????????? 9.
? 10. 2cm或14cm
? 11. cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题。
? 12 解：过点O作OC⊥AB于C，则
?????? 又
??????
?????? ∴∠OAB＝30°
? 13 证明：连结BC
?????? ∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径 ∴BC＝AC
?????? ∴∠CAB＝∠CBA
?????? 又EA＝EC∴∠CAB＝∠ECA∴∠CBA＝∠ECA
?????? ∴△AEC∽△ACB? ? 即
? 14. 解：略
? 15 解：连OA
?????? ∵AB＝AC，? ∴OA⊥BC于D又∠BAC＝120°
?????? ∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°
??????
?????? 设⊙O的半径为r，则 ∴r＝6
? 16. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G
?????? 则G为CD的中点
?????? 又EC⊥CD，FD⊥CD∴EC∥OG∥FD∴O为EF的中点，即OE＝OF
?????? 又AB为⊙O的直径 ∴OA＝OB ∴AE＝BF（等式性质）
?????? （2）解：四边形CDFE面积是定值
?????? 证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变
?????? ∴CE∥DF不变 ∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线
?????? ∴S＝OG·CD
?????? 连OC，由勾股定理有：
??????
?????? 又CD＝9cm是定值
17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E是中点，∴DE=AB=；
（3）如图（3），
∵BD=x，∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=，EF=x，∴y=DF?OE=（0＜x＜）．
同课章节目录