2021-2022学年浙教版八年级数学下册2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习题（word版 含解析）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《2-4一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）
A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1
2．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
3．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
4．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
5．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．12
6．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
8．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021
9．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
11．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4
12．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
二．填空题
13．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
14．已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝　 　．
15．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　 　．
16．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　 　．
17．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　 　．
18．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　 　．
19．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　 　．
三．解答题
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
22．已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，
所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．
故选：D．
2．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
3．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴＝，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣9a ＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
4．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
5．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9，
∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．
故选：C．
6．解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,
∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
故选：D．
7．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
8．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，
∴x12﹣2021x1＝﹣1，
∴x12﹣＝x12﹣
＝x12﹣2021x1
＝﹣1．
故选：B．
9．解：由题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
11．解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
当k＝2时，原方程为x2﹣x＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，k＝2符合题意；
当k＝﹣2时，原方程为x2+3x+4＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程无解，k＝﹣2不合题意，舍去．
∴k＝2．
故选：D．
二．填空题
13．解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m+2＝﹣1，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
14．解：∵方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，
∴α+β＝﹣＝2，αβ＝＝﹣8，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣8）＝20．
故答案为：20．
15．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3，
故答案为3．
16．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
17．解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
18．解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝4k，
∴+＝＝＝3．
解得k＝．
经检验，k＝是原方程的解．
故答案为：．
19．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
三．解答题
20．解：（1）由题意可知，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
21．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a b＝﹣k，
﹣＝＝＝1．
22．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣2，
∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1 x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，
解得：m＝9．
23．解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．