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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．已知平行四边形 周长为 ，对角线 、 相交于点 ，已知 的周长比 的周长多 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．在□ ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ）
A．2:1:2:1 B．1:2:2:1 C．1:1:2:2 D．1:2:3:4
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
4．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC．若AD＝5，AB＝3，则对角线BD的长为（ ）
A． B．2 C．9 D．8
5．如图，过 的对角线 上一点 作 分别交 于点 分别交 于点 ，那么图中四边形 的面积 与四边形 的面积 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．如图， ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为5，△FCB的周长为9，则FC的长为 （）
A．7 B．6 C．2 D．8
7．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若 ， ，则 为
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是边 上任意一点，沿 剪开，将 沿 方向平移到 的位置，得到四边形 ，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．30 D．28
9．如图，已知平行四边形ABCD的面积为100，P为边CD上的任意一点，E，F分别是线段PA，PB的中点，则图中阴影部分的总面积为( )
A．30 B．25 C．22.5 D．50
二、填空题
10．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE= ∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是 ．
11．如图，平行四边形ABCD，将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN，已知 ，则 .
12．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，EO⊥BD于O交BC于E，若△DEC的周长为8，则平行四边形ABCD的周长为 ．
13．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图BD是平行四边形ABCD的对角线，点E在BD上，DC＝DE＝AE，∠1＝25°，则∠C的大小是 .
14．如图①是长方形纸带， ，将纸带沿 折叠成图②，再沿 折叠成图③，则图③中的 的度数是 度．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，AF平分∠BAD交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AF于点G，BG=4 ，EF= AE，则△CEF的周长为 ．
三、解答题
16．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，求线段EC的长．
17．如图， ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE=BF。
求证：∠DAE=∠BCF。
18．如图，已知 ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF．
19．如图，C为AB的中点．四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F．
求证：EF=BF．
20．问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论．
（2）【类比引申】
如图2，四边形ABCD中∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD
（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成的ABCD，已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）．
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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．已知平行四边形 周长为 ，对角线 、 相交于点 ，已知 的周长比 的周长多 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+BC=13cm，OA=OC，
∵△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OB+OC+BC）-（OA+OB+AB）=BC-AB=3cm，
∴AB=5cm，BC=8cm．
2．在□ ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ）
A．2:1:2:1 B．1:2:2:1 C．1:1:2:2 D．1:2:3:4
【答案】A
【解析】解：∵ 如图，□ ABCD ，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．
4．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC．若AD＝5，AB＝3，则对角线BD的长为（ ）
A． B．2 C．9 D．8
【答案】B
【解析】∵ 的对角线AC与BD相交于点O
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，
5．如图，过 的对角线 上一点 作 分别交 于点 分别交 于点 ，那么图中四边形 的面积 与四边形 的面积 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
又MN∥BC，PQ∥AB，
∴四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形，
∴S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，
∴S1＝S2，
6．如图， ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为5，△FCB的周长为9，则FC的长为 （）
A．7 B．6 C．2 D．8
【答案】C
【解析】由折叠的性质可得：EF=AE，BF=BA；由已知可得：（DE+DF+EF)+（FC+BF+BC)，即可得AD+AB+BC+CD的值；根据平行四边形的对边相等，可得AB+BC的值，通过△FCB的周长为9，即可求得FC的长．
7．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若 ， ，则 为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解： ，
，
由折叠可得 ，
，
又 ，
，
又 ，
中， ，
，
8．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是边 上任意一点，沿 剪开，将 沿 方向平移到 的位置，得到四边形 ，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．30 D．28
【答案】A
【解析】解：由平移性质可得AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD为平行四边形，其周长为2（AD+AE），
又∵AD长为定值9，所以当AE最短时其周长最小，
即当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°．
∴在Rt△ABE中，BE= ，AE= ，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=9，
∴四边形AEFD周长的最小值为：2（AD+AE）=2×（9+3）=24，
9．如图，已知平行四边形ABCD的面积为100，P为边CD上的任意一点，E，F分别是线段PA，PB的中点，则图中阴影部分的总面积为( )
A．30 B．25 C．22.5 D．50
【答案】B
【解析】解：过P作PG⊥AB于G，
∵S平行四边形ABCD＝AB×PG＝100，
S△ABP＝AB×PG＝50，
∴S△ADP+S△BCP=100 50＝50，
∵E、F分别是线段PA、PB的中点，
∴△ADE的面积为△ADP面积的一半，△BCF的面积为△BCP面积的一半，
∴图中阴影部分的总面积=（S△ADP+S△BCP）=×50=25.
二、填空题
10．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE= ∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是 ．
【答案】①②③
【解析】①②③解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，DO=BO= BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE= ∠OBC，
∴∠OBE= ∠ADO，故①正确；
②∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG= AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF= CD
∴EG=EF，故②正确；
③∵，E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥DC，
∵DC∥AB，
∴EF∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠AGF，
∴GF平分∠AGE，故③正确；
11．如图，平行四边形ABCD，将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN，已知 ，则 .
【答案】44°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵将四边形CDMN沿线段MN折叠，得到四边形QPMN
∴
∴
12．如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，EO⊥BD于O交BC于E，若△DEC的周长为8，则平行四边形ABCD的周长为 ．
【答案】16
【解析】∵EO⊥BD于O交BC于E，
∴BE=DE，
∴DE+DC+EC=BE+DC+EC=BC+DC=8．
∴平行四边形的周长为16．
13．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图BD是平行四边形ABCD的对角线，点E在BD上，DC＝DE＝AE，∠1＝25°，则∠C的大小是 .
【答案】105°
【解析】解：∵DE＝AE，∠1＝25°，
∴∠ADE＝∠1＝25°，
∴∠AEB＝∠1+∠ADE＝50°，
又∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝50°，
∴∠BAE＝80°，∠BAD＝80°+25°＝105°，
又∵∠BAD＝∠C，
∴∠C＝105°，
14．如图①是长方形纸带， ，将纸带沿 折叠成图②，再沿 折叠成图③，则图③中的 的度数是 度．
【答案】
【解析】∵AD//BC， ，
∴∠EFB ，
在图②中，∠CFG＝180゜－2∠EFB=180゜ ，
在图③中，∠CFE=∠GFC-∠EFB＝180゜ ，
又∵在图③中，∠CFG＝∠CFE+∠EFB，
∴∠CFG＝180゜ +∠ ＝ ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，AF平分∠BAD交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AF于点G，BG=4 ，EF= AE，则△CEF的周长为 ．
【答案】8
【解析】解：∵在 ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG= ，
∴AG= =2，
∴AE=2AG=4，
又∵ ，
∴EF=2,
∴△CEF的周长为EF+CE+CF=2+3+3=8．
三、解答题
16．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，求线段EC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=3，
∴EC=DC﹣DE=AB﹣AD=5﹣3=2
【解析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证得∠DAE=∠DEA，依据等角对等边，即可求得DE的长，则EC即可求得．
17．如图， ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE=BF。
求证：∠DAE=∠BCF。
【答案】解：证明：在 ABCD中
∴∠D＝∠B
AD=BC
在△ADE和△CBF中，
AD＝BC
∠D＝∠B
DE＝BF
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴∠DAE＝∠BCF．
【解析】根据平行四边形的性质，证明得到△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质，求出对应角相等即可得到答案。
18．如图，已知 ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠DEA=∠BFC
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF
【解析】利用平行四边形的性质得出AD=BC，∠DAE=∠BCA，进而利用全等三角形的判定得出即可．
19．如图，C为AB的中点．四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F．
求证：EF=BF．
【答案】证明：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴ED=AC，ED∥AC．
∴∠D=∠FCB，∠DEF=∠B．
又∵C为AB的中点，
∴AC=BC．
∴ED=BC．
在△DEF和△CBF中， ，
∴△DEF≌△CBF．
∴EF=BF
【解析】将线段EF和BF分别放到△DEF和△CBF，通过证明这两个三角形全等，即可得出EF=BF．
20．问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论．
（2）【类比引申】
如图2，四边形ABCD中∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD
（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成的ABCD，已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）．
【答案】（1）证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
（2）理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
（3）如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在 CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80× =40 ，HF=HD+DF=40+40（ ﹣1）=40 ，
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109（米），
即这条道路EF的长约为109米．
【解析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．
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