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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．， B．
C． ， ， D． ，
2．如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，则∠AFE的度数为（ ）
A．65° B．70° C．60° D．80°
3．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．﹣4+4 B．4 +4 C．8﹣4 D． +1
4．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平行 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对边相等
5．如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形.现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．③④
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )
A． B．
C． D．
7．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（ ）
A．6 B．24 C．26 D．12
8．如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合），∠PBQ=45°，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BP BE=2 B．BP BE=4 C． = D． =
二、填空题
9．如图正方形ABCD分割成为七巧板迷宫，点E，F分别是CD，BC的中点，一只蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，若AB=2，则它爬行的最短路径长为 .
10．如图，延长正方形 的边 到 ，使 ，则 度.
11．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋ .其中正确的序号是_ .(把你认为正确的都填上)
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为32，CE=6，则线段BE的长为 ．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是 。
14．如图点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接DE、AF相交于P点，作PN⊥CD于N点，PM⊥BC于M点，连接MN，则MN长的最小值为
三、解答题
15．已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是边AD，CD上的点，且∠MBN=45°，连接MN。
求证：MN＝AM+CN.
16．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN.
17．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，
（1）求EF的长．
（2）求正方形ABCD的面积．
18．正方形ABCD中，AB=4，对角线交于点O，F是BO的中点，连接AF，求AF的长度．
19．在正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接BP、DP.
（1）求证：BP=DP；
（2）如果AB=AP，求∠ABP的度数.
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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．， B．
C． ， ， D． ，
【答案】A
【解析】A∵ ，∴四边形ABCD为矩形，
由 ，所以矩形ABCD为正方形，
B. ，四边形ABCD为菱形；
C. ， ， ，四边形ABCD为菱形；
D. ， ，不能判定四边形ABCD为正方形,
2．如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，则∠AFE的度数为（ ）
A．65° B．70° C．60° D．80°
【答案】A
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
∵∠DEB=140°，
∴∠DEC=∠BEC=70°，
∴∠AEF=∠BEC=70°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°，
3．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．﹣4+4 B．4 +4 C．8﹣4 D． +1
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，
则S△ACD= AD CD= ×2×2=2；
AC= AD=2 ，
则EC=2 ﹣2，
∵△MEC是等腰直角三角形，
∴S△MEC= ME EC= （2 ﹣2）2=6﹣4 ，
∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4 ）=4 ﹣4．
4．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平行 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等 D．对边相等
【答案】C
【解析】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
5．如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形.现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当③AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意.
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可得
A. =①, 故本选项不符合题意；
B. = =①, 故本选项不符合题意；
C. = =①, 故本选项不符合题意；
D. = + =2①, 故本选项符符合题意.
7．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（ ）
A．6 B．24 C．26 D．12
【答案】D
【解析】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则
，得 ，
∴图1中菱形的面积为： ，
8．如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合），∠PBQ=45°，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．BP BE=2 B．BP BE=4 C． = D． =
【答案】B
【解析】解：如图，连接AP，作EM⊥PB于M．
∵AE∥PB，
∴S△PBE=S△ABP= S正方形ABCD=2，
∴ PB EM=2，
∵∠EBM=45°，∠EMB=90°，
∴EM= BE，
∴ PB BE=2，
∴PB BE=4 ．
二、填空题
9．如图正方形ABCD分割成为七巧板迷宫，点E，F分别是CD，BC的中点，一只蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，若AB=2，则它爬行的最短路径长为 .
【答案】
【解析】解： 正方形ABCD，点E，F分别是CD，BC的中点，AB=2，
CE=DE=CF=1， ，
，
蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，最短路径应是DE+EF的长，即为 ；
10．如图，延长正方形 的边 到 ，使 ，则 度.
【答案】22.5
【解析】解：连接BD，如图所示：
则BD=AC
∵BE=AC
∴BE=BD
∴∠E= （180°-90°-45）°=22.5°.
11．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋ .其中正确的序号是_ .(把你认为正确的都填上)
【答案】①②④
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC BE=CD DF，
∴CE=CF，
故①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45 ，
∵∠AEF=60 ，
∴∠AEB=180°-60°-45°=75 ，
故②说法正确；
如图,连接AC,交EF于G点,
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
故③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF=，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+(a )2=4，
解得a=，
则a2=2+，
故④说法正确，
故正确的有①②④。
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为32，CE=6，则线段BE的长为 ．
【答案】10
【解析】解：设正方形边长为a，
∵S△ABE=32，
∴S正方形ABCD=2S△ABE=64，
∴a2=64，
∵a＞0，
∴a=8，
在RT△BCE中，∵BC=8，CE=6，∠C=90°，
∴BE= =10．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是 。
【答案】15°
【解析】解：如图，连接AE、BF
∵正方形ABCD，正三角形OEF
∴OA=OB，OE=OF，∠AOB=90°，∠EOF=60°
在△OAE和△OBF中
∴△OAE≌△OBF（SSS）
∴∠AOE=∠BOF
∴∠AOE==15°
14．如图点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接DE、AF相交于P点，作PN⊥CD于N点，PM⊥BC于M点，连接MN，则MN长的最小值为
【答案】
【解析】连接CP，
∵∠PNC=∠PMC=∠C=90°，∴四边形PMCN是矩形，∴PC=MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC=CD，
又∵BE=CF，∴EC=FD，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAP=∠EDC，
∵∠EDC+∠ADP=∠ADC=90°，∴∠DAP+∠ADP=90°，∴∠APD=90°，
∵在运动过程中∠APD=90°保持不变，
∴点P的路径是一段以AD为直径的圆弧，
设AD的中点为O，连接CO交弧于点P，此时CP的长度最小，即MN长度的最小值，
∵∠APD=90°，O为AD中点，∴PO=OD= AD=1，
在Rt△COD中，CO= ，
∴CP=CO-OP= -1，
即MN长的最小值是 -1，
三、解答题
15．已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是边AD，CD上的点，且∠MBN=45°，连接MN。
求证：MN＝AM+CN.
【答案】证明: 延长DC到E使CE=AM，连结BE∵正方形ABCD，∴AB= BC，∠A=∠ABC=∠BCD=90。∴∠BCE=∠A=90。∴△ABM≌△CBE，∴∠1=∠2，BM=BE，∵∠MBN=45。∴∠1+∠3=45。∴∠2+∠3=45。即∠EBN=∠MBN∴△MBN≌△EBN，∴MN=EN，∴MN=AM+CN.
【解析】根据正方形的性质和ASA，得到△ABM≌△CBE，由角的和差得到△MBN≌△EBN，得到对应边MN=EN，得到MN=AM+CN.
16．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN.
【答案】证明：如图，连结PB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°.
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）.
∴DP＝BP.
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形.
∴BP＝MN.
∴DP＝MN.
【解析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案.
17．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，
（1）求EF的长．
（2）求正方形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠DEA=∠AFB=90°，
∴∠EDA+∠AED=90°，∠EAD+∠FAB=90°，
∴∠EDA=∠FAB，
在△AED和△BFA中
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE=BF，AF=DE，
∵DE=8，BF=5，
∴AE=5，AF=8，
∴EF=AE+AF=8
（2）解：在Rt△AFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2=82+52=89，
即正方形ABCD的面积为89
【解析】（1）根据正方形的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，根据垂直得出∠DEA=∠AFB=90°，求出∠EDA=∠FAB，根据AAS推出△AED≌△BFA，根据全等三角形的性质得出AE=BF=5，AF=DE=8，即可求出答案；（2）根据勾股定理求出AB2=AF2+BF2=89，即可得出答案．
18．正方形ABCD中，AB=4，对角线交于点O，F是BO的中点，连接AF，求AF的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OD=AO=CO，BD⊥AC，
∵AB=4，
∴AO2+BO2=42，
∴OA=OB=2 ，
∵F是BO的中点，
∴OF= ，
∴AF= = ．
【解析】首先根据勾股定理可求出BO和AO的长，因为正方形的对角线互相垂直，所以再利用勾股定理即可求出AF的长．
19．在正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接BP、DP.
（1）求证：BP=DP；
（2）如果AB=AP，求∠ABP的度数.
【答案】证明：∵四边形ABC是正方形，
∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=45°，
在△ABP和△ADP中
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，
⑵如果AB=AP，求∠ABP的度数.
解：∵AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
又∵∠BAP=45°，
∴∠ABP=67.5°．
（1）证明：∵四边形ABC是正方形，
∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=45°，
在△ABP和△ADP中
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP，
（2）解：∵AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
又∵∠BAP=45°，
∴∠ABP=67.5°．
【解析】（1）证明△ABP≌△ADP，可得BP=DP；（2）证得∠ABP=∠APB，由∠BAP=45°可得出∠ABP=67.5°．
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