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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．一元二次方程x2﹣3x﹣8=0的两根分别为x1、x2，则x1x2=（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣8=0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2=﹣8．
2．方程x2﹣3x﹣4=0的两根之和为（ ）
A．-4 B．3 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】解：若方程的两根为x1，x2，
所以x1+x2=3．
3．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于（ ）
A．-1 B．1 C．±8﹣1 D．±8+1
【答案】A
【解析】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，
∴ab=﹣1，a+b=2，
∴（a﹣b）（a+b﹣2）+ab
=（a﹣b）（2﹣2）+ab
=0+ab
=﹣1，
4．方程3x2-x=2的两根之和与两根之积分别是（ ）
A．1和2 B．-1和-2 C．和 D．和
【答案】D
【解析】一元二次方程的两根之和为x1+x2=，两根积为x1x2=。
5．一元二次方程﹣x2+2x=﹣1的两个实数根为α，β，则α+β与α β的值分别为（ ）
A．2，﹣1 B．﹣2，﹣1 C．2，1 D．﹣2，1
【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程﹣x2+2x=﹣1的两个实数根为α，β，
整理此方程：x2﹣2x﹣1=0，
∴α+β=2，α β=﹣1，
6．已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：
m+3=5，
解之：m=2.
7．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则 的值为（ ）.
A．0或1 B．0 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴m=0.
8．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
【答案】B
【解析】由根与系数的关系知，x1+x2= ,x1 x2= ，
x1－x1x2＋x2＝1－a,
,
,
a= ,
代入原方程，a=1时，有两个相等的实数根.
所以a=-1.
二、填空题
9．设a、b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 .
【答案】-2018
【解析】解：∵a，b是方程x2+x 2020=0的两个实数根，
∴a+b= 1，ab= 2020，
∴(a 1)(b 1)=ab a b+1=ab (a+b)+1= 2020 ( 1)+1= 2018.
10．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2＝ ．
【答案】
【解析】解：x1+x2＝﹣ ＝ ．
11．设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为m，n，则mn=
【答案】﹣1
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为m，n，
∴mn=﹣1．
12．若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
【答案】2015
【解析】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，
∴α2+2α﹣2017=0，α+β=﹣2．
∴α2+2α=2017，
∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2017﹣2=2015．
13．已知x1、x2是方程x2﹣4x﹣12=0的解，则x1+x2= ．
【答案】4
【解析】∵x1、x2是方程x2﹣4x﹣12=0的解，
∴x1+x2=4．
三、计算题
14．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
（1）x12＋x22；
（2） ；
（3）x12＋x22－3x1x2.
【答案】（1）解：由题意得：x1＋x2＝ ，x1·x2＝- ；
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝( )2-2×（- ）＝
（2）解： = ＝ =-
（3）解：x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=( )2-5×（- ）=
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出x1＋x2和x1·x2的值
（1）将原式配方转化为(x1＋x2)2－2x1·x2，再代入求值。
（2）将原式通分转化为，再代入求值。
（3）将原式配方转化为（x1+x2）2-5x1x2，再代入求值。
四、解答题
15．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求 m的值．
【答案】（1）证明：∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）=36＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x==2m±3，
∴x1=2m﹣3，x2=2m+3，
∵2x1=x2+1，∴2（2m﹣3）=2m+3+1，
∴m=5．
【解析】（1）首先得到△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）=36＞0证得方程有两个不相等的实数根；
（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．
16．关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？
（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
【答案】解：（1）∵当△=[4（m﹣1）]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0时，方程有两个实数根，
即m≤，
∴当m≤时，方程有两个实数根；
（2）根据根与系数关系得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1 x2=，
∵x12+x22=17，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=17，
∴（1﹣m）2﹣=17＜
解得：m1=8，m2=﹣4，
∵当m≤时，方程有两个实数根，
∴m=﹣4；
（3）∵由（1）知当m≤时，方程有两个实数根，由（2）知，x1 x2=，
∴＞0，
∴当m≠0，且m≤时，x1和x2能同号，
即m的取值范围是：m≠0，且m≤．
【解析】（1）根据根的判别式，求出不等式[4（m﹣1）]2﹣4×4m2≥0的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣=1﹣m，x1 x2=，化成（x1+x2）2﹣2x1 x2=17代入求出即可；
（3）根据当m≤时，方程有两个实数根和x1+x2=﹣=1﹣m，x1 x2=，推出1﹣m＞0，＞0，即可得出答案．
17．已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值．
【答案】解：①根据题意得：
，
解得： ，
②根据题意得：
， ，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴m的值为 ．
【解析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案
18．已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0（m为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．
【答案】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0，
∴此方程为x2﹣（m+3）x+m﹣4=0，
∴△=[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣4）=m2+2m+25=（m+1）2+24，
∴△＞0，
∴关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=﹣=m+3，x1 x2==m﹣4，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1 x2﹣（x1+x2）+1=（m﹣4）﹣（m+3）+1=﹣6．
【解析】（1）将原方程变形为一般式，代入系数求出△=（m+1）2+24＞0，由此即可证出结论；
（2）由根与系数的关系得出“x1+x2=m+3，x1 x2=m﹣4”，再将（x1﹣1）（x2﹣1）变形成含x1+x2和x1 x2的形式，代入数据即可得出结论．
19．已知关于 的方程 ，当 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解.
【答案】解：∵关于 的方程 两根相互为相反数，
∴ ，
解得 ，
∴方程变形为 ，
解得
【解析】先由两根互为相反数得出两根之和为0，即 ，据此可得m的值，代入方程，求变形方程的根即可.
20．阅读材料：已知方程a2 2a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求 的值.
解：由a2 2a 1=0及1 2b b2=0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1， .
1 2b b2=0可变形为
，
根据a2 2a 1=0和 的特征.
、 是方程x2 2x 1=0的两个不相等的实数根，
则 ，即 .
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.
已知：3m2 7m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求 的值.
【答案】解：由3m2 7m 2=0及2n2+7n 3=0可知m≠0，m≠0，又∵mn≠1， .2n2+7n 3=0可变形为 ，根据3m2 7m 2=0和 的特征.∴m、 是方程3x2 7x 2=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得 ， ，∴ .∴ ， ∴ .
【解析】阅读理解题，根据题目提供的方法判断出 m、 是方程3x2 7x 2=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得出 根据根与系数的关系可得 ， ， 整体代入求出 求 的倒数的值，从而即可得出答案。
2.4一元二次方程根与系数的关系
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一、单选题
1．一元二次方程x2﹣3x﹣8=0的两根分别为x1、x2，则x1x2=（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．方程x2﹣3x﹣4=0的两根之和为（ ）
A．-4 B．3 C．-3 D．4
3．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于（ ）
A．-1 B．1 C．±8﹣1 D．±8+1
4．方程3x2-x=2的两根之和与两根之积分别是（ ）
A．1和2 B．-1和-2 C．和 D．和
5．一元二次方程﹣x2+2x=﹣1的两个实数根为α，β，则α+β与α β的值分别为（ ）
A．2，﹣1 B．﹣2，﹣1 C．2，1 D．﹣2，1
6．已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．5 D．6
7．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根且 ，则 的值为（ ）.
A．0或1 B．0 C．1 D．-1
8．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
二、填空题
9．设a、b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 .
10．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2＝ ．
11．设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为m，n，则mn=
12．若α、β是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
13．已知x1、x2是方程x2﹣4x﹣12=0的解，则x1+x2= ．
三、计算题
14．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
（1）x12＋x22；
（2） ；
（3）x12＋x22－3x1x2.
四、解答题
15．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求 m的值．
16．关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？
（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
17．已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值．
18．已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4=0（m为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．
19．已知关于 的方程 ，当 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解.
20．阅读材料：已知方程a2 2a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求 的值.
解：由a2 2a 1=0及1 2b b2=0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1， .
1 2b b2=0可变形为
，
根据a2 2a 1=0和 的特征.
、 是方程x2 2x 1=0的两个不相等的实数根，
则 ，即 .
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.
已知：3m2 7m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求 的值.
2.4一元二次方程根与系数的关系
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