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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．已知三角形的面积一定，则底边a与其上的高h之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3
C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1
3．如图，在函数y=（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，点B，P在双曲线上，下列说法不正确的是（ ）
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标是（4，4）
C．图象关于过OB的直线对称
D．矩形FOEP与正方形COAB的面积相等
4．已知如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A，B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，AB+OC=OA，OD平分∠AOC交BC于点D．若四边形ABDO的面积为4，反比例函数y=的图象经过点D，点A，则k的值是（ ）
A．8 B．6 C．3 D．4
5．如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是( )
A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3）
C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
6．如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2= （x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论：
①当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
②k=4；
③当0＜x＜2时，y1＜y2；
④如图，当x=4时，EF=4．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接B0．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．如图，若反比例函数y1＝ 与一次函数y2＝ax＋b的图象交于A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则不等式ax＋b＞ 的解集为 .
10．小王驾车从甲地到乙地，他以70千米/时的平均速度4小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（x≠0）的函数关系式为 ．
11．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为 A．
12．直线 与双曲线 有两个交点，其中一交点坐标为(2,4)，则它们的另一交点坐标为 .
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝ （k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且 BOC的面积为2.则k= .
14．如图，直线y= x与双曲线y= （x＞0）交于点A，将直线y= x向下平移个6单位后，与双曲线y= （x＞0）交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为 ；若 =2，则k= ．
15．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为 ．
三、解答题
16．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一个动点，BF⊥AE于F，AB=2，BC=4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围．
17．如图1，已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．
（1）若OE CE=12，求k的值．
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的条件下，EF=，AB=2，P是x轴正半轴上的一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．
18．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）。现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是多少？
19．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于点A、B，与反比例函数 （ ）的图象分别交于点C、 D，且C点的坐标为（ ，2）.
⑴分别求出直线AB及反比例函数的表达式；
⑵求出点D的坐标；
⑶利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时， > .
20．如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1= 的图象上一点，直线y2=﹣ 与反比例函数y1= 的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
21．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6.3反比例函数的应用
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学霸夯基——浙教版数学八年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．已知三角形的面积一定，则底边a与其上的高h之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：已知三角形的面积s一定，
则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S= ah，即a= ；
是反比例函数，且2s＞0，h＞0，a＞0；
故其图象只在第一象限．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3
C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1
【答案】B
【解析】解：由图象可知，当x＜0或1＜x＜3时，y1＜y2．
3．如图，在函数y=（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，点B，P在双曲线上，下列说法不正确的是（ ）
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标是（4，4）
C．图象关于过OB的直线对称
D．矩形FOEP与正方形COAB的面积相等
【答案】B
【解析】解：A、∵点B，P在双曲线上，∴矩形FOEP与正方形COAB的面积相等，都是xy=4，∴长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等，正确；
B、∵正方形COAB的面积是4，∴点B的坐标是（2，2），错误；
C、∵点B的坐标是（2，2），∴y=（x＞0）的图象关于过OB的直线对称，正确；
D、∵点B，P在双曲线上，∴矩形FOEP与正方形COAB的面积相等，都是xy=4，正确．
4．已知如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A，B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，AB+OC=OA，OD平分∠AOC交BC于点D．若四边形ABDO的面积为4，反比例函数y=的图象经过点D，点A，则k的值是（ ）
A．8 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【解析】解：过点D作DE⊥AO于点E，连接AD，
∵梯形ABCD的顶点A，B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，
∴∠OCB=90°，
∵OD平分∠AOC交BC于点D，
∴DE=DC，
在Rt△ODE和Rt△ODC中，
，
∴Rt△ODE≌Rt△ODC（HL），
∴EO=CO，
又∵AB+OC=OA，
∴AE=AB，
在Rt△ADE和Rt△ADB中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADB（HL），
∴BD=ED，
∴BD=CD=ED，
∵反比例函数y=的图象过点D，点A，
∴设D点坐标为（a，b），则B（a，2b），
∴A（，2b），
即AB=AE=，CO=OE=a，
∵DE=b，则BD=b，
∴S四边形ABDO=S△ADO+S△ABD=b（a+a）+b×a=b×2a=ab=4，
∵D（a，b），
∴ab=k=4．
5．如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是( )
A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3）
C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
【答案】C
【解析】∵直线y=mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
∴其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）.
6．如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵函数 与 的图象交于点P( ， )，
∴ ， ，即 ， ，
∴ .
7．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2= （x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA=AD，则以下结论：
①当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；
②k=4；
③当0＜x＜2时，y1＜y2；
④如图，当x=4时，EF=4．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：对于直线y1=2x﹣2，
令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，
∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，
在△OBA和△CDA中， ，
∴△OBA≌△CDA（AAS），
∴CD=OB=2，OA=AD=1，
∴C（2，2），
当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；故①正确；
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，故②正确；
由函数图象得：
当0＜x＜2时，y1＜y2，选项③正确；
当x=4时，y1=6，y2=1，即EF=6﹣1=5，选项④错误；
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接B0．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】∵直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵S△OBC=1，
∴BD=1，
∵tan∠BOC=，
∴=，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×3=3．
二、填空题
9．如图，若反比例函数y1＝ 与一次函数y2＝ax＋b的图象交于A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则不等式ax＋b＞ 的解集为 .
【答案】-1＜x≤0或x＞2
【解析】解：由函数图象可知不等式 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴不等式 的解集为-1＜x≤0或x＞2，
10．小王驾车从甲地到乙地，他以70千米/时的平均速度4小时到达目的地，当他按原路匀速返回甲地时，汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（x≠0）的函数关系式为 ．
【答案】（x＞0）
【解析】解：由已知得：甲地去乙地的路程=70×4=280，则
汽车的速度y（千米/时）与时间x（时）（x≠0）的函数关系式为（x＞0）．
11．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为 A．
【答案】1
【解析】解：解：设I= ，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，
∴I= ．
令R=6，
解得：I= =1．
12．直线 与双曲线 有两个交点，其中一交点坐标为(2,4)，则它们的另一交点坐标为 .
【答案】(-2,-4)
【解析】解：由题意得：k=xy=2×4=8，
∴y=,
由y=ax得：4=2a,
∴a=2,
∴y=2x,
∴2x=,
∴2x2=8,
解得x=±2，
当x=-2, y=2x=-4,
∴另一点坐标为（-2，-4）.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝ （k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且 BOC的面积为2.则k= .
【答案】3
【解析】解：一次函数y＝﹣x+4中，令y＝0，解得x＝4，
∴C（4，0），∴OC＝4，
作BD⊥OC于D，如图.
∵△BOC的面积为2，
∴ OC BD＝2，即 ×4×BD＝2，∴BD＝1，
∴点B的纵坐标为1，代入y＝﹣x+4中，可得x＝3，
∴B（3，1），
∵反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过B点，
∴k＝3×1＝3.
14．如图，直线y= x与双曲线y= （x＞0）交于点A，将直线y= x向下平移个6单位后，与双曲线y= （x＞0）交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为 ；若 =2，则k= ．
【答案】（ ，0）；12
【解析】解：∵将直线y= x向下平移个6单位后得到直线BC，
∴直线BC解析式为：y= x﹣6，
令y=0，得 x﹣6=0，
∴C点坐标为（ ，0）；
∵直线y= x与双曲线y= （x＞0）交于点A，
∴A（ ， ），
又∵直线y= x﹣6与双曲线y= （x＞0）交于点B，且 =2，
∴B（ + ， ），将B的坐标代入y= 中，得
（ + ） =k，
解得k=12．
15．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为 ．
【答案】3
【解析】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴，
∴2=3，
∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=×|xy|=，
∴S△EOC=，即×OE×CE=，
∴k=OE×CE=3，
三、解答题
16．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一个动点，BF⊥AE于F，AB=2，BC=4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围．
【答案】解：如图，连接AC．
∵BF⊥AE于F，四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠AFB=∠BAD=90°，AD=BC=4，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAE=90°，AC==2，
∴∠ABF=∠DAE，
∴cos∠ABF=，cos∠DAE=，
∴=，
y=（4≤x≤2）．
【解析】易得∠ABF=∠DAE，进而表示出各个角的余弦值，让其相等可得关系式，AE的长度应在AD和AC之间．
17．如图1，已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．
（1）若OE CE=12，求k的值．
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的条件下，EF=，AB=2，P是x轴正半轴上的一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．
【答案】解：（1）设OE=a，则A（a，﹣a+m），∵点A在反比例函数图象上，∴a（﹣a+m）=k，即k=﹣a2+am，由一次函数解析式可得C（2m，0），∴CE=2m﹣a，∴OE．CE=a（2m﹣a）=﹣a2+2am=12，∴k=（﹣a2+2am）=×12=6．（2）证明：连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，∴FM∥EN，∵AE⊥x轴，BF⊥y轴，∴AE⊥BF，S△AEF=AE OE=，S△BEF=BF OF=，∴S△AEF=S△BEF，∴FM=EN，∴四边形EFMN是矩形，∴EF∥CD；（3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=，∴CD=4，由直线解析式可得OD=m，OC=2m，∴OD=4，又EF∥CD，∴OE=2OF，∴OF=1，0E=2，∴DF=3，∴AE=DF=3，∵AB=2，∴AP=，∴EP=1，∴P（3，0）．
【解析】（1）分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可得出各解析式．
（2）连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，得出FM∥EN，再根据AE⊥x轴，BF⊥y轴，得出AE⊥BF，由此得出S△AEF=S△BEF，最后证出FM=EN，得出四边形EFMN是矩形，由此证出EF∥CD；
（3）由（2）得出EF=AD=BC和CD的值，再由直线解析式可得OD=m，OC=2m，得出OD=4，再根据EF∥CD，得出OF和0E、DF的值，最后根据EF=，AB=2得出EP的值，即可求出P点的坐标；
18．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）。现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是多少？
【答案】解：设药物燃烧时 关于 的函数关系式为 代入(8，6)为 ，
；设药物燃烧后 关于 的函数关系式为 代入(8，6)为 ，
∴药物燃烧时 关于 的函数关系式为 (0≤x≤8)；药物燃烧后 关于 的函数关系式为 (x＞8)，把 代入 ，得： ，把 代入 ，得： 分钟.
此次消毒的有效时间为12分钟.
【解析】根据函数图象，含药量y与时间x先成正比例再成反比例，是一个分段函数，分别设出函数解析式，这两个函数都经过点(8，6)，将这一个点代入可以分别求出正比例函数和放比例函数的解析式。根据空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，将y=3代入函数解析式，求出消毒的有效时间即可。
19．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于点A、B，与反比例函数 （ ）的图象分别交于点C、 D，且C点的坐标为（ ，2）.
⑴分别求出直线AB及反比例函数的表达式；
⑵求出点D的坐标；
⑶利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时， > .
【答案】解：⑴将C点坐标（ ，2）代入 ，得 ，所以 ；将C点坐标（ ，2）代入 ，得 .所以 .⑵由方程组 解得 所以D点的坐标为（－2，1）.⑶当 > 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，此时x的取值范围是 .
【解析】（1）将点C的坐标代入 ，取出m的值，从而求出一次函数的解析式；将点C的坐标代入 即可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）解联立两函数的解析式组成的方程组，即可求出D点的坐标；
（3）求 > 相应的自变量的取值范围，就是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方的时候相应的自变量的取值范围，根据图象，即可直接得出答案。
20．如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1= 的图象上一点，直线y2=﹣ 与反比例函数y1= 的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）∵B（3，﹣1）在反比例函数 的图象上，
∴-1= ，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为 ；
（Ⅱ） ，
∴ = ，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y= ，
∴D（－2， ）；
y1＞y2时x的取值范围是-2 ；
（Ⅲ）∵A（1，a）是反比例函数 的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴ ，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
【解析】（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数 中，即可求得k的值；（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；（3）把A（1，a）是反比例函数 的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
21．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入y=k1x+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=2x﹣2；
把M（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，
解得m=3，
则M点坐标为（3，4），
把M（3，4）代入y=得k2=3×4=12，
所以反比例函数解析式为y=；
（2）存在．
∵A（0，﹣2），B（1，0），M（3，4），
∴AB=，BM==2，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP=90°，
∵∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴=，即=，
∴PB=10，
∴OP=11，
∴P点坐标为（11，0）．
【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
先利用两点间的距离公式计算出AB=，BM=2，再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB=10，则OP=11，于是可得到P点坐标．
6.3反比例函数的应用
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