2022年初中数学浙教版八年级下册4.1多边形 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．如图，正六边形螺帽的边长是12mm，这个扳手的开口x为（ ）
A． B． C． D．24
2．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D等于（ ）
A．540° B．420° C．425° D．400°
3．（2021七上·榆林期末）下列说法中正确的是（ ）
A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线
B．已知C、D为线段AB上两点，若，则
C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”
D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”
4．在平面上将边长相等的四边形、五边形和六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（ ）
A．32° B．36° C．40° D．42°
5．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
二、填空题
6．从一个多边形的一个顶点出发可以引3条对角线，这个多边形的边数是 .
7．（2022九下·西安开学考）如图，正八边形的两条对角线AC、BE相交于点P，∠CPE的度数为 .
8．（2021八上·凉山期末）如图，小华从点A出发向前走10m，向右转15°，然后继续向前走10m，再向右转15°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到点A时共走了 m.
9．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P= 。
10．已知多边形的内角和与其某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形的边数为 ，其外角的度数为 °，这个多边形一共有 条对角线。
三、综合题
11．（2021八上·泗洪期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：
；
（3）求∠BAC的大小.
12．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
13．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，
∵ 正六边形螺帽的边长是12mm，
∴AB=BC=12mm，∠ABC=
=120°，
∴AD=CD，∠ABD=60°，
∴AD=AB·sin60°=12×
=6
，
∴AC=12
mm.
故答案为：C.
【分析】连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，根据正六边形的性质得出AB=BC=12mm，∠ABC=120°，再根据等腰三角形的性质得出AD=CD，∠ABD=60°，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而得出AC的长，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠AED=180°，
∴∠AED=180°-65°=115°；
∵∠A + ∠B + ∠C+∠D=（5-2）×180°-∠AED=540°-115°=425°.
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义可求出∠AED的度数；再利用多边形的内角和定理求出五边形的内角和度数，由此可求出∠A十∠B十∠C+∠D的值.
3．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；多边形的对角线
【解析】【解答】解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，原说法错误，不符合题意；
B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；
C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，原说法错误，不符合题意；
D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，原说法错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，可对A作出判断；C、D为线段AB上两点，若AC=BD，分情况画出图形，可证得AD=BC，可对B作出判断；利用线段公理，可对C作出判断；利用两点确定一条直线，可对D作出判断.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由n边形内角和为
∴四边形、五边形和六边形 内角和分别为
所以正四边形，正五边形，正六边形每个内角分别为
∴
故答案为：D.
【分析】利用多边形内角和公式，得到四边形、五边形和六边形的内角和，从而得到每个内角的度数，由一周360度，得到结果。
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：当只过一个顶点剪时，边数和内角和为720°的多边形的边数相同，
设一个多边形的内角和为720°的多边形的边数为n，根据题意得，
（n-2）×180°=720°，
解之：n=6；
不经过顶点剪时，则边数增加1，
∴原多边形的边数为1+6=7；
按照两顶点剪时，边数少1，
原多边形的边数为6-1=5；
∴原多边形的边数为5或6或7 .
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当只过一个顶点剪时，边数和内角和为720°的多边形的边数相同，设未知数，可求出其多边形的边数；不经过顶点剪时，则边数增加1；按照两顶点剪时，边数少1；由此可得答案.
6．【答案】6
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵n-3=3，
∴n=6.
故答案为：6.
【分析】过多边形的一个顶点能引n-3条对角线，依此建立方程求解，即可得出结果.
7．【答案】67.5°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 八边形ABCDEFGH是正八边形，
， ，
， ，
，
故答案为：67.5°.
【分析】由多边形内角和公式得∠ABC=∠BCD=135°，由正多边形的性质得AB=BC，CD∥BE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCA=∠BAC=22.5°，结合平行线的性质得∠CBE=45°，由外角的性质可得∠CPE=∠BCA+∠CBE，据此计算.
8．【答案】240
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形外角和是360°，
∴360°÷15°=24，
∴他需要转24次才会回到起点，
∴它需要经过10×24=240（m）才能回到原地，
故答案为：240.
【分析】由题意可知，小华实际上是沿边长为10，一个外角为15°的正多边形走了一圈，利用多边形的外角和除以15°求出边数，然后根据边长为10m即可求出共走的路程.
9．【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠E=300°
∴∠EDC+∠BCD=540°-（∠A+∠B+∠E）=240°
∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD
∴∠PDC+∠PCD=∠EDC+∠BCD=（∠EDC+∠BCD）=120°
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=60°
故答案为：60°
【分析】利用五边形内角和为540°，得出∠EDC+∠BCD=240°，利用角平分线的定义，得出∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，得出∠PDC+∠PCD=120°，再利用三角形内角和为180°，得出结果。
10．【答案】9；90；27
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】设边数为n
则
∴
∵n为正整数
∴n=9
∴其外角为
这个多边形一共有条对角线
故答案为：9；90；27.
【分析】利用外角大于0度，小于180度的范围，得到，由n是正整数，得出n的值，再由题意得出外角的度数，然后利用多边形对角线公式得出结果。
11．【答案】（1）解：如图即为所画.
（2）证明： 在四边形 中， ，
，
，
，
在 和 中
∴ （ ）；
（3）解：由（2）得： ，
，
，
，
，
又
【知识点】多边形内角与外角；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】【分析】（1）延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）由四边形的内角和得∠ABC+∠ADC=180°，由邻补角的性质得∠ADC+∠EDC=180°，根据同角的补角相等推出∠ABC=∠EDC，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（3）由全等三角形的性质可得AC=EC，∠ACB=∠DCE，易得∠ACE=90°，∠CAE=45°，然后根据∠BAC=∠BAD-∠CAE进行计算.
12．【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出结果。
（2）利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，得出 ∠BEC=∠D ， ∠ABE=180°-∠A ，再利用角平分线的定义，得出 ∠EBC=∠ABE ，然后利用三角形内角和为180°，得出结果。
（3）利用四边形内角和为360度，角平分线得出∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，得出∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD） ，从而得出结果。
13．【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形和三角形外角，得出 ∠C+∠B+∠D+∠2=360° ， ∠1+∠3+∠E+∠F=360° ，从而得出结果。
（2）利用三角形外角，得到 ∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，从而得出结果。
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册4.1多边形 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．如图，正六边形螺帽的边长是12mm，这个扳手的开口x为（ ）
A． B． C． D．24
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，
∵ 正六边形螺帽的边长是12mm，
∴AB=BC=12mm，∠ABC=
=120°，
∴AD=CD，∠ABD=60°，
∴AD=AB·sin60°=12×
=6
，
∴AC=12
mm.
故答案为：C.
【分析】连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，根据正六边形的性质得出AB=BC=12mm，∠ABC=120°，再根据等腰三角形的性质得出AD=CD，∠ABD=60°，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而得出AC的长，即可得出答案.
2．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D等于（ ）
A．540° B．420° C．425° D．400°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠AED=180°，
∴∠AED=180°-65°=115°；
∵∠A + ∠B + ∠C+∠D=（5-2）×180°-∠AED=540°-115°=425°.
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义可求出∠AED的度数；再利用多边形的内角和定理求出五边形的内角和度数，由此可求出∠A十∠B十∠C+∠D的值.
3．（2021七上·榆林期末）下列说法中正确的是（ ）
A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线
B．已知C、D为线段AB上两点，若，则
C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”
D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；多边形的对角线
【解析】【解答】解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，原说法错误，不符合题意；
B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；
C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，原说法错误，不符合题意；
D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，原说法错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，可对A作出判断；C、D为线段AB上两点，若AC=BD，分情况画出图形，可证得AD=BC，可对B作出判断；利用线段公理，可对C作出判断；利用两点确定一条直线，可对D作出判断.
4．在平面上将边长相等的四边形、五边形和六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（ ）
A．32° B．36° C．40° D．42°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由n边形内角和为
∴四边形、五边形和六边形 内角和分别为
所以正四边形，正五边形，正六边形每个内角分别为
∴
故答案为：D.
【分析】利用多边形内角和公式，得到四边形、五边形和六边形的内角和，从而得到每个内角的度数，由一周360度，得到结果。
5．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：当只过一个顶点剪时，边数和内角和为720°的多边形的边数相同，
设一个多边形的内角和为720°的多边形的边数为n，根据题意得，
（n-2）×180°=720°，
解之：n=6；
不经过顶点剪时，则边数增加1，
∴原多边形的边数为1+6=7；
按照两顶点剪时，边数少1，
原多边形的边数为6-1=5；
∴原多边形的边数为5或6或7 .
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当只过一个顶点剪时，边数和内角和为720°的多边形的边数相同，设未知数，可求出其多边形的边数；不经过顶点剪时，则边数增加1；按照两顶点剪时，边数少1；由此可得答案.
二、填空题
6．从一个多边形的一个顶点出发可以引3条对角线，这个多边形的边数是 .
【答案】6
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵n-3=3，
∴n=6.
故答案为：6.
【分析】过多边形的一个顶点能引n-3条对角线，依此建立方程求解，即可得出结果.
7．（2022九下·西安开学考）如图，正八边形的两条对角线AC、BE相交于点P，∠CPE的度数为 .
【答案】67.5°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 八边形ABCDEFGH是正八边形，
， ，
， ，
，
故答案为：67.5°.
【分析】由多边形内角和公式得∠ABC=∠BCD=135°，由正多边形的性质得AB=BC，CD∥BE，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCA=∠BAC=22.5°，结合平行线的性质得∠CBE=45°，由外角的性质可得∠CPE=∠BCA+∠CBE，据此计算.
8．（2021八上·凉山期末）如图，小华从点A出发向前走10m，向右转15°，然后继续向前走10m，再向右转15°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到点A时共走了 m.
【答案】240
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形外角和是360°，
∴360°÷15°=24，
∴他需要转24次才会回到起点，
∴它需要经过10×24=240（m）才能回到原地，
故答案为：240.
【分析】由题意可知，小华实际上是沿边长为10，一个外角为15°的正多边形走了一圈，利用多边形的外角和除以15°求出边数，然后根据边长为10m即可求出共走的路程.
9．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P= 。
【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠E=300°
∴∠EDC+∠BCD=540°-（∠A+∠B+∠E）=240°
∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD
∴∠PDC+∠PCD=∠EDC+∠BCD=（∠EDC+∠BCD）=120°
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=60°
故答案为：60°
【分析】利用五边形内角和为540°，得出∠EDC+∠BCD=240°，利用角平分线的定义，得出∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，得出∠PDC+∠PCD=120°，再利用三角形内角和为180°，得出结果。
10．已知多边形的内角和与其某一个外角的度数总和为1350°，则这个多边形的边数为 ，其外角的度数为 °，这个多边形一共有 条对角线。
【答案】9；90；27
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】设边数为n
则
∴
∵n为正整数
∴n=9
∴其外角为
这个多边形一共有条对角线
故答案为：9；90；27.
【分析】利用外角大于0度，小于180度的范围，得到，由n是正整数，得出n的值，再由题意得出外角的度数，然后利用多边形对角线公式得出结果。
三、综合题
11．（2021八上·泗洪期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝CD.
（1）作图：延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）求证：
；
（3）求∠BAC的大小.
【答案】（1）解：如图即为所画.
（2）证明： 在四边形 中， ，
，
，
，
在 和 中
∴ （ ）；
（3）解：由（2）得： ，
，
，
，
，
又
【知识点】多边形内角与外角；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；邻补角
【解析】【分析】（1）延长线段AD到点E，使线段DE＝AB，连接CE、AC；
（2）由四边形的内角和得∠ABC+∠ADC=180°，由邻补角的性质得∠ADC+∠EDC=180°，根据同角的补角相等推出∠ABC=∠EDC，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（3）由全等三角形的性质可得AC=EC，∠ACB=∠DCE，易得∠ACE=90°，∠CAE=45°，然后根据∠BAC=∠BAD-∠CAE进行计算.
12．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，试求出∠BEC的度数。
【答案】（1）解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=∠C，
∠B=∠C=（360°-∠A-∠D）÷2=70°
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE+∠A=180°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°
（3）解：∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°
∵∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，
∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得出结果。
（2）利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，得出 ∠BEC=∠D ， ∠ABE=180°-∠A ，再利用角平分线的定义，得出 ∠EBC=∠ABE ，然后利用三角形内角和为180°，得出结果。
（3）利用四边形内角和为360度，角平分线得出∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，得出∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD） ，从而得出结果。
13．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形和三角形外角，得出 ∠C+∠B+∠D+∠2=360° ， ∠1+∠3+∠E+∠F=360° ，从而得出结果。
（2）利用三角形外角，得到 ∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，从而得出结果。
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