华东师大版数学九年级下册 26.2.2.1二次函数y=ax2+k的图象与性质 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
26.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章 二次函数
学习目标
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）
3.理解y=ax 与 y=ax +k之间的联系.（重点）
已知二次函数
① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2;
④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).
②③⑥
⑤
①④⑤
导入新课
复习引入
这个函数的图象是如何画出来的？
情境引入
x
y
讲授新课
二次函数y=ax2+k的图象与性质
一
探究归纳
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
观察与思考
抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
二
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
(5)顶点都是最____点，函数都有
最____值，从上而下最大值分别
为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同：
____________________________
_____________________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)
( 0，2)
( 0,-2)
高
大
y=0
y= -2
y=2
y
-2
-2
2
2
-4
x
0
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
知识要点
例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
方法总结： 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
二次函数y=ax2+c的图象及平移
三
探究归纳
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2 x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
4
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y =2 x2 向上 (0,0) y轴
y =2 x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
4
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
解析式
y=2x2
2x2+1
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
二次函数y=ax2+k的图象及平移
三
可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度得到 抛物线y=2x2+1
5
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
4
o
-1
可以看出，y=2x2 向___ 平移一个单位长度 得到抛物线y=2x2-1
x
y
从形的角度探究
上
下
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识要点
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
练一练
D
想一想
1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.
例2：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
当堂练习
1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
2、填表：
y = 2x2－４
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；
当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
能力提升
6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是 ( )
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
A
B
C
D
2
-2
8
B
课堂小结
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.