2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学） 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·台州期中）已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则另一根为（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为m，则有1 m=-3，
解得m=-3.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程两根的积为
，将各值代入计算即可求出.
2．（2018九上·青海期中）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，再将分式方程的左边利用异分母分式的加法法则化简，再整体代入即可得出关于m的方程，再根据原一元二次方程有两个不相等的实数根得出其根的判别式应该大于0，从而得出一个不等式，解混合组即可得出m的值。
3．（2019九上·高要期中）关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根分别是-2和3，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得-2+3=-p，-2×3=q，
所以p=-1，q=-6．
故答案为：A．
【分析】将两个实数根代入一元二次方程，可解出p、q的两个值。
4．（2018·鄂州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为（ ）
A．－10 B．4 C．－4 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】利用根与系数的关系表示m+n=3，mn=a，
根据等式变形为：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=-6，可得a-3+1=-6，解得：a=-4．
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程根与系数求出m+n和mn的值，再将代数式转化为mn-（m+n）+1，然后整体代入即可求值。
5．（2018九上·苏州月考）下列一元二次方程中，两实数根的和为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A， ，
∵a=1，b=2，c=-4，
∴b2-4ac=4+16=20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，本选项不符合题意；
B，x2-4x+4=0，
∵a=1，b=-4，c=4，
∴b2-4ac=16-16=0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=4，本选项不符合题意；
C，x2+4x+10=0，
∵a=1，b=4，c=10，
∴b2-4ac=16-40=-28＜0，
即原方程无解，本选项符不合题意；
D，x2+4x-5=0，
∵a=1，b=4，c=-5，
∴b2-4ac=16+20=36＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-4，本选项符号题意，
故答案为：D.
【分析】先求出各选项中的b2-4ac的值，判定一元二次方程有实数根，可排除C；其它三个选项的方程的二次项系数为1，因此两实数根的和为一次项系数的相反数，要使两实数根的和为- 4，则一次项的系数应为4，可排除A、B两选项，即可得出正确的选项。
6．（2018·遵义）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，
x1x2=﹣3，
则x1+x2﹣3x1x2=5，
﹣b﹣3×（﹣3）=5，
解得：b=4．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的 关系，得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，然后再整体代入x1+x2﹣3x1x2=5，即可求出b的值。
7．（2018九上·邗江期中）已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝－12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2－7x＋12＝0 B．x2－7x－12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2＋7x＋12＝0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】以x1，x2为根的一元二次方程为x2 7x-12=0，
故答案为：B.
【分析】以x1，x2为根的一元二次方程是x2 （x1＋x2）x+x1x2=0，代入即可得出结果。
8．（2018·眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则 + 的值是（ ）。
A． B．－ C．－ D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，
∴α+β=- ，αβ=- =-3，
∴ + = .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=- ，αβ=- =-3，再将原式通分变形，代入数值即可得出答案.
9．（2018·咸宁）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1 B．x1 x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=﹣ =﹣1，x1x2=﹣ ，故A、B不符合题意；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C不符合题意；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1= ，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2 =﹣1，x1x2=﹣ ，根据有理数的加法法则，乘法法则，知x1、x2异号，且负数的绝对值大，根据方程根的概念，将x1代入一元二次方程得2x12+2x1﹣1=0，根据等式的性质，两边同时除以2得x12+x1= 。
10．（2018九上·江苏月考）有两个关于x的一元二次方程：M： N： ，其中 ，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B．如果方程M有两根符号异号，那么方程N的两根符号也异号；
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根；
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么△=b -4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相反，那么△=b -4ac ＞0. ，所以a与c符号相反， ，所以方程N的两根符号也相反，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 ，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么 ， ，由a≠c，得x =1，x=±1，结论错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、根据方程根的判别式与根的关系，由方程M有两个不相等的实数根，得出△=b -4ac＞0，而方程N的判别式与方程M的判别式的值一样，从而得出方程N也有两个不相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、根据方程根与系数的关系，由方程M的两根符号相反，根据有理数的乘法法则得出 ＜ 0 ，故a与c符号相反，进而得出， ＜ 0 ，所以方程N的两根符号也相反；
C、根据方程根的概念将x=5代入方程M得出25a+5b+c=0，两边同时除以25，即可得出，进而得出是方程N的一个根；
D、解这两个方程组成的方程组，即可求出它们相同的根，从而得出结论。
二、填空题
11．（2018九上·邗江期中）写出一个以1和-2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ．
【答案】x2+x－2＝0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设所求方程是x2+bx+c=0，
根据题意可知x1=1，x2=-2，
∵x1+x2=-b，x1x2=c，
∴b=1，c=-2，
∴所求方程是x2+x-2=0．
故答案是：x2+x-2=0．
【分析】利用根与系数的关系x1+x2=-1，x1x2=-2，就可得出符合题意的方程。
12．（2018·内江）已知关于 的方程 的两根为 ， ，则方程 的两根之和为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知关于 的方程 的两根为 ， ，
∴
∵
∴x2-x=0
∴此方程的两根之和为1
故答案为：1
【分析】根据已知条件求出a、b的值，再将a、b的值代入方程 ，得出x2-x=0，利用根与系数的关系，即可求解。
13．（2018九上·扬州月考）若关于 的方程 的一个根为 ，则另一个根 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=2 ，
∵x1= +2，
∴x2= 2.
故答案为 2.
【分析】利用一元二次方程根与系数，由x1+x2=，代入计算，可求出方程的另一个根。
14．（2018·荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1 x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案为：4．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，然后根据完全平方公式的恒等变形由x12+x22=4，得出（x1+x2）2-2x1x2=4，然后再整体代入得出关于k的方程，求解得出k的值，然后根据此方程有根，得出根的判别式应该大于等于0，从而列出不等式，求解得出k的取值范围，再检验即可得出适合题意得k得值，即可算出答案。
15．（2018·巴中）对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2= ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【解答】解：∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，
∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．
故答案为：6．
【分析】利用新定义法则，将方程转化为x2+2x﹣1=0，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值，然后将m2+n2配方转化为（m+n）2﹣2mn，整体代入可求解。
16．通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1 x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2 或k≥2+2 ，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再利用根与系数的关系求出x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，将x12+x22=1转化为（x1+x2）2﹣x1x2=1，然后代入建立关于k的方程，求出方程的解，结合k的取值范围，得出k的值。
三、综合题
17．设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
（1）x12x2+x1x22．
（2） + ．
【答案】（1）解：∵方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2= ，x1x2=﹣ ，
x12x2+x1x22
=x1x2（x1+x2）
=﹣ ×
=﹣
（2）解： +
=
=
=
=
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2= ，x1x2=﹣ ，再利用代数式变形得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）， + = ，然后利用整体代入的方法计算．
18．（2018·肇源模拟）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．
【答案】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根∴a+b=2，ab=-1； 且a2﹣2a﹣1=0即a2=2a+1 ；所以a2-a+b+3ab=2a+1-a+b+3ab=a+b+1+3ab=2+1-3=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】对于一元二次方程，x1，x2是方程的两根，那么x1+x2=，x1x2=，先利用根与系数的关系及所给等式求得a，b之间的关系，再对所给代数式变形后求解即可.
19．（2018九上·萧山开学考）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．
【答案】（1）解：将x=2代入方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0，解得：a= ．
将a= 代入原方程得﹣ x2+2x﹣ =0，
解得：x1= ，x2=2．
∴a= ，方程的另一根为
（2）解：①当a=1时，方程为2x=0，解得：x=0；
②当a≠1时，由b2﹣4ac=0得4﹣4（a﹣1）2=0，
解得：a=2或0．当a=2时，原方程为：x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1；当a=0时，原方程为：﹣x2+2x﹣1=0，解得： = =1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程求出a的值，再将a的值代入方程，解方程就可得出方程的另一个根。或利用一元二次方程根与系数的方法求解。
（2）抓住已知条件：方程仅有一个根，分两种情况讨论：当此方程是一元一次方程时。可得出二次项的系数为0，可求出a的值；当此方程是一元二次方程时，方程有两个相等的实数根，由b2-4ac=0，可求出a的值。
20．（2018九上·深圳期中）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2 2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥ ，
所以m的最小整数值为﹣2。
（2）解：根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，
，
，
∴ ，
整理得 ，解得 。
，
∴m的值为2。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得△≥0，得到关于m的不等式，求出m的解集，再得出最小整数值即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，然后将给出的等式左边变形，再代入得到关于m的一元二次方程，求出m的值即可.
21．（2018九上·江苏月考）已知：方程组 有两组不同的实数解 ， ．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使 ？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：消去y，得 ，
由题意，得 且 ，
得， 且
（2）解： ，
∵ ，
∴无论k取何值，总有 ，∴存在实数k，使 ．
所有符合条件的k的值为 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将方程组中的②方程代入①方程，消去y，得出一个关于x的一元二次方程，根据方程组有两组不同的实数解，得出该一元二次方程有两个不相等的实数根，故根的判别式应该大于0，且k≠0 ，从而得出不等式组，求解得出k的取值范围；
（2）根据异分母分式的加法法则算出，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2的值，x1x2的值，整体代入即可得出结论。
22．（2018九上·长沙期中）已知方程 +px+q＝0的两个根是 ， ，那么 + ＝－p， ＝q，反过来，如果 + ＝－p， ＝q，那么以 ， 为两根的一元二次方程是 +px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程 +mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足 －15a－5＝0， －15b－5＝0，求 的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值
【答案】（1）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则： + = =﹣ = = ，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：y2+ y+ =0，整理得：ny2+my+1=0；
（2）解：分两种情况讨论：①当a≠b时，∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴ = = = =﹣47．
②当a=b时，原式=2；
（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab= ，∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，∴c2﹣4 ≥0，c2﹣ ≥0．
∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则x1+x2=-m，x1·x2=n，然后利用异分母分式的加减法法则及整体代入法求出这两根的倒数和，利用分式的乘法法则及整体代入法求出这两根倒数的积；根据题干提供的方法即可得出以已知方程的两根的倒数为根的一元二次方程；
（2）分两种情况讨论：①当a≠b时，根据题意可知a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，根据根与系数的关系得出a+b=15，ab=﹣5，然后根据异分母分式的加法法则将代数式化简，再整体代入即可算出答案；②当a=b时，原式=2；
（3）由a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，c为正数，得出a+b=﹣c，ab=，根据一元二次方程根与系数的关系得出a、b是方程x2+cx+ =0的解，根据此方程有实数根得出其根的判别式应该不小于0，从而得出不等式，求解即可。
23．（2018九上·南召期中）阅读理解：
材料 ．若一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ．
材料 ．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料 得 ， ，
∴ ．
解决问题：
（1）一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ．
（2）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）4；-3
（2）解：∵m、n满足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，
∴m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=- ，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=- ×1=-
（3）解：设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴p2+4q2=（p+2q）2-2p 2q=32-2×（-2）=13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）x1+x2=4，x1x2=-3，
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=，x1x2=即可直接得出答案；
（2） m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解， 根据根与系数的关系得出 m+n=1，mn=- ， 然后将代数式利用提公因式法分解因式，再整体代入即可算出答案；
（3） 设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，根据根与系数的关系得出 p+2q=3，p 2q=-2， 然后再将代数式，利用完全平方公式的恒等变形，由 p2+4q2变形为（p+2q）2-2p 2q ，再整体代入即可算出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学） 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·台州期中）已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则另一根为（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．（2018九上·青海期中）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2019九上·高要期中）关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根分别是-2和3，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2018·鄂州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为（ ）
A．－10 B．4 C．－4 D．10
5．（2018九上·苏州月考）下列一元二次方程中，两实数根的和为 的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·遵义）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
7．（2018九上·邗江期中）已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝－12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2－7x＋12＝0 B．x2－7x－12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2＋7x＋12＝0
8．（2018·眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则 + 的值是（ ）。
A． B．－ C．－ D．
9．（2018·咸宁）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1 B．x1 x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
10．（2018九上·江苏月考）有两个关于x的一元二次方程：M： N： ，其中 ，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B．如果方程M有两根符号异号，那么方程N的两根符号也异号；
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根；
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是
二、填空题
11．（2018九上·邗江期中）写出一个以1和-2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ．
12．（2018·内江）已知关于 的方程 的两根为 ， ，则方程 的两根之和为 .
13．（2018九上·扬州月考）若关于 的方程 的一个根为 ，则另一个根 ．
14．（2018·荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是 ．
15．（2018·巴中）对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2= ．
16．通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1 x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为 ．
三、综合题
17．设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
（1）x12x2+x1x22．
（2） + ．
18．（2018·肇源模拟）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．
19．（2018九上·萧山开学考）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．
20．（2018九上·深圳期中）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2 2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且 ，求m的值．
21．（2018九上·江苏月考）已知：方程组 有两组不同的实数解 ， ．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使 ？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．
22．（2018九上·长沙期中）已知方程 +px+q＝0的两个根是 ， ，那么 + ＝－p， ＝q，反过来，如果 + ＝－p， ＝q，那么以 ， 为两根的一元二次方程是 +px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程 +mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足 －15a－5＝0， －15b－5＝0，求 的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值
23．（2018九上·南召期中）阅读理解：
材料 ．若一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ．
材料 ．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料 得 ， ，
∴ ．
解决问题：
（1）一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ．
（2）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为m，则有1 m=-3，
解得m=-3.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程两根的积为
，将各值代入计算即可求出.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴ =﹣1，即m2﹣2m﹣3=0，所以，得： ，解得：m=3．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，再将分式方程的左边利用异分母分式的加法法则化简，再整体代入即可得出关于m的方程，再根据原一元二次方程有两个不相等的实数根得出其根的判别式应该大于0，从而得出一个不等式，解混合组即可得出m的值。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得-2+3=-p，-2×3=q，
所以p=-1，q=-6．
故答案为：A．
【分析】将两个实数根代入一元二次方程，可解出p、q的两个值。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】利用根与系数的关系表示m+n=3，mn=a，
根据等式变形为：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=-6，可得a-3+1=-6，解得：a=-4．
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程根与系数求出m+n和mn的值，再将代数式转化为mn-（m+n）+1，然后整体代入即可求值。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A， ，
∵a=1，b=2，c=-4，
∴b2-4ac=4+16=20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，本选项不符合题意；
B，x2-4x+4=0，
∵a=1，b=-4，c=4，
∴b2-4ac=16-16=0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=4，本选项不符合题意；
C，x2+4x+10=0，
∵a=1，b=4，c=10，
∴b2-4ac=16-40=-28＜0，
即原方程无解，本选项符不合题意；
D，x2+4x-5=0，
∵a=1，b=4，c=-5，
∴b2-4ac=16+20=36＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-4，本选项符号题意，
故答案为：D.
【分析】先求出各选项中的b2-4ac的值，判定一元二次方程有实数根，可排除C；其它三个选项的方程的二次项系数为1，因此两实数根的和为一次项系数的相反数，要使两实数根的和为- 4，则一次项的系数应为4，可排除A、B两选项，即可得出正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，
x1x2=﹣3，
则x1+x2﹣3x1x2=5，
﹣b﹣3×（﹣3）=5，
解得：b=4．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的 关系，得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，然后再整体代入x1+x2﹣3x1x2=5，即可求出b的值。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】以x1，x2为根的一元二次方程为x2 7x-12=0，
故答案为：B.
【分析】以x1，x2为根的一元二次方程是x2 （x1＋x2）x+x1x2=0，代入即可得出结果。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，
∴α+β=- ，αβ=- =-3，
∴ + = .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=- ，αβ=- =-3，再将原式通分变形，代入数值即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=﹣ =﹣1，x1x2=﹣ ，故A、B不符合题意；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C不符合题意；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1= ，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2 =﹣1，x1x2=﹣ ，根据有理数的加法法则，乘法法则，知x1、x2异号，且负数的绝对值大，根据方程根的概念，将x1代入一元二次方程得2x12+2x1﹣1=0，根据等式的性质，两边同时除以2得x12+x1= 。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么△=b -4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相反，那么△=b -4ac ＞0. ，所以a与c符号相反， ，所以方程N的两根符号也相反，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 ，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么 ， ，由a≠c，得x =1，x=±1，结论错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、根据方程根的判别式与根的关系，由方程M有两个不相等的实数根，得出△=b -4ac＞0，而方程N的判别式与方程M的判别式的值一样，从而得出方程N也有两个不相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、根据方程根与系数的关系，由方程M的两根符号相反，根据有理数的乘法法则得出 ＜ 0 ，故a与c符号相反，进而得出， ＜ 0 ，所以方程N的两根符号也相反；
C、根据方程根的概念将x=5代入方程M得出25a+5b+c=0，两边同时除以25，即可得出，进而得出是方程N的一个根；
D、解这两个方程组成的方程组，即可求出它们相同的根，从而得出结论。
11．【答案】x2+x－2＝0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设所求方程是x2+bx+c=0，
根据题意可知x1=1，x2=-2，
∵x1+x2=-b，x1x2=c，
∴b=1，c=-2，
∴所求方程是x2+x-2=0．
故答案是：x2+x-2=0．
【分析】利用根与系数的关系x1+x2=-1，x1x2=-2，就可得出符合题意的方程。
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知关于 的方程 的两根为 ， ，
∴
∵
∴x2-x=0
∴此方程的两根之和为1
故答案为：1
【分析】根据已知条件求出a、b的值，再将a、b的值代入方程 ，得出x2-x=0，利用根与系数的关系，即可求解。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=2 ，
∵x1= +2，
∴x2= 2.
故答案为 2.
【分析】利用一元二次方程根与系数，由x1+x2=，代入计算，可求出方程的另一个根。
14．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1 x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案为：4．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，然后根据完全平方公式的恒等变形由x12+x22=4，得出（x1+x2）2-2x1x2=4，然后再整体代入得出关于k的方程，求解得出k的值，然后根据此方程有根，得出根的判别式应该大于等于0，从而列出不等式，求解得出k的取值范围，再检验即可得出适合题意得k得值，即可算出答案。
15．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；定义新运算
【解析】【解答】解：∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，
∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．
故答案为：6．
【分析】利用新定义法则，将方程转化为x2+2x﹣1=0，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值，然后将m2+n2配方转化为（m+n）2﹣2mn，整体代入可求解。
16．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2 或k≥2+2 ，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再利用根与系数的关系求出x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，将x12+x22=1转化为（x1+x2）2﹣x1x2=1，然后代入建立关于k的方程，求出方程的解，结合k的取值范围，得出k的值。
17．【答案】（1）解：∵方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2= ，x1x2=﹣ ，
x12x2+x1x22
=x1x2（x1+x2）
=﹣ ×
=﹣
（2）解： +
=
=
=
=
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2= ，x1x2=﹣ ，再利用代数式变形得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）， + = ，然后利用整体代入的方法计算．
18．【答案】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根∴a+b=2，ab=-1； 且a2﹣2a﹣1=0即a2=2a+1 ；所以a2-a+b+3ab=2a+1-a+b+3ab=a+b+1+3ab=2+1-3=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】对于一元二次方程，x1，x2是方程的两根，那么x1+x2=，x1x2=，先利用根与系数的关系及所给等式求得a，b之间的关系，再对所给代数式变形后求解即可.
19．【答案】（1）解：将x=2代入方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0，解得：a= ．
将a= 代入原方程得﹣ x2+2x﹣ =0，
解得：x1= ，x2=2．
∴a= ，方程的另一根为
（2）解：①当a=1时，方程为2x=0，解得：x=0；
②当a≠1时，由b2﹣4ac=0得4﹣4（a﹣1）2=0，
解得：a=2或0．当a=2时，原方程为：x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1；当a=0时，原方程为：﹣x2+2x﹣1=0，解得： = =1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程求出a的值，再将a的值代入方程，解方程就可得出方程的另一个根。或利用一元二次方程根与系数的方法求解。
（2）抓住已知条件：方程仅有一个根，分两种情况讨论：当此方程是一元一次方程时。可得出二次项的系数为0，可求出a的值；当此方程是一元二次方程时，方程有两个相等的实数根，由b2-4ac=0，可求出a的值。
20．【答案】（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥ ，
所以m的最小整数值为﹣2。
（2）解：根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，
，
，
∴ ，
整理得 ，解得 。
，
∴m的值为2。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得△≥0，得到关于m的不等式，求出m的解集，再得出最小整数值即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2﹣2，然后将给出的等式左边变形，再代入得到关于m的一元二次方程，求出m的值即可.
21．【答案】（1）解：消去y，得 ，
由题意，得 且 ，
得， 且
（2）解： ，
∵ ，
∴无论k取何值，总有 ，∴存在实数k，使 ．
所有符合条件的k的值为 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将方程组中的②方程代入①方程，消去y，得出一个关于x的一元二次方程，根据方程组有两组不同的实数解，得出该一元二次方程有两个不相等的实数根，故根的判别式应该大于0，且k≠0 ，从而得出不等式组，求解得出k的取值范围；
（2）根据异分母分式的加法法则算出，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2的值，x1x2的值，整体代入即可得出结论。
22．【答案】（1）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则： + = =﹣ = = ，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：y2+ y+ =0，整理得：ny2+my+1=0；
（2）解：分两种情况讨论：①当a≠b时，∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴ = = = =﹣47．
②当a=b时，原式=2；
（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab= ，∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，∴c2﹣4 ≥0，c2﹣ ≥0．
∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则x1+x2=-m，x1·x2=n，然后利用异分母分式的加减法法则及整体代入法求出这两根的倒数和，利用分式的乘法法则及整体代入法求出这两根倒数的积；根据题干提供的方法即可得出以已知方程的两根的倒数为根的一元二次方程；
（2）分两种情况讨论：①当a≠b时，根据题意可知a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，根据根与系数的关系得出a+b=15，ab=﹣5，然后根据异分母分式的加法法则将代数式化简，再整体代入即可算出答案；②当a=b时，原式=2；
（3）由a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，c为正数，得出a+b=﹣c，ab=，根据一元二次方程根与系数的关系得出a、b是方程x2+cx+ =0的解，根据此方程有实数根得出其根的判别式应该不小于0，从而得出不等式，求解即可。
23．【答案】（1）4；-3
（2）解：∵m、n满足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，
∴m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=- ，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=- ×1=-
（3）解：设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴p2+4q2=（p+2q）2-2p 2q=32-2×（-2）=13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）x1+x2=4，x1x2=-3，
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=，x1x2=即可直接得出答案；
（2） m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解， 根据根与系数的关系得出 m+n=1，mn=- ， 然后将代数式利用提公因式法分解因式，再整体代入即可算出答案；
（3） 设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，根据根与系数的关系得出 p+2q=3，p 2q=-2， 然后再将代数式，利用完全平方公式的恒等变形，由 p2+4q2变形为（p+2q）2-2p 2q ，再整体代入即可算出答案。
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