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第四章：平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选择：B．
2.答案：A
解析：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选择：A．
3.答案：D
解析：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E＝70°．
故选择：D．
4.答案：C
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝60°，
∴∠DEB＝120°，
故选：C．
5.答案：D
解析：∵ ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，
∴S ABCD＝4BC＝6CD，整理得，BC＝CD②，
联立①②解得，CD＝8，
∴ ABCD的面积＝AF CD＝6CD＝6×8＝48．
故选择：D．
6.答案：A
解析：由题意得：n﹣2＝12，则n＝14．
故选择：A．
7.答案：B
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝AC＝，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D＝．
故选择：B．
8.答案：C
解析：∵四边形ABFC是平行四边形，
∴BE＝EC．
∵OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE＝AB，OE∥AB．
∴．
∴．
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴FC＝AB，FB＝AC．
在△ABC和△FCB中，
，
∴△ABC≌△FCB（SSS）．
∴S△ABC＝S△FCB＝
∴．
故选择：C．
9.答案：C
解析：四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵AE平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴E为BC中点，
∵O为AC中点，
∴，故③正确；
∵E为BC中点，O为AC中点，
∴OE为的中位线，
∴，
又，
∴，
故④正确．故正确的个数为3个．
故选择：C
10.答案：C
解析：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2的坐标是（3，﹣），点B2的坐标是（4，0），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3的坐标是（5，），点B3的坐标是（6，0），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4的坐标是（7，﹣），……，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，），
故选择：C．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：每一个锐角都大于45°
解析：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设：每一个锐角都大于45°，即两个锐角都大于45°．
12.答案：5
解析：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝5．
故答案为：5．
13.答案：（, ）
解析：过B作于H,
∵四边形OABC是平行四边形，
∴，
∵,
∴,∴,
∴
∴,
故答案为：B（, ）
14.答案：
解析：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB＝BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCG＝15°．
故答案为：15°．
15.答案：6或7
解析：设内角和为720°的多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7，
故答案为：6或7．
16.答案：3
解析：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
∴共3次．
故答案为：3．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17解析：在△BEA和△DFC中，
∴△BEA≌△DFC（SSS），
∴∠EAB＝∠FCD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥DC，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18.解析：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，∴GH∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．
19.解析：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AEO≌△CFO，
∴EO=FO
∴四边形AECF为平行四边形。
20.解析：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF
（2）解：MENF为平行四边形，理由是：
如图，∵DE∥BF，
∴∠FNC=∠DMC=∠AME，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB，又CF=AE= AB= CD，
∴△FNC≌EMA（AAS），
∴FN=EM，又FN∥EM，
∴MENF为平行四边形.
21.解析：（1）在 ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，AB＝CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF．
（2）∵△OAE≌△OCF，
∴CF＝AE，
∴DF+AF＝AB＝6，
又∵EF＝2OE＝4，
∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝6+4+5＝15．
22.解析：∵BF=BE，CG=CE
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC=FG
又∵H是FG的中点，
∴FH=FG，
∴BC=FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°-75°-75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°
23.解析：（1）5-t；OF=2t
（2）解：① 当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，，
即，解得，
②当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形， ，即 ，
解得；
（3）当 恰好是等腰三角形时，有以下三种情况：
①当 时， ，解得；
②当 时， ，方程无解；
③当 时， ，解得；
所以，当 或 时，当 恰好是等腰三角形.
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第四章：平行四边形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B .6 C．9 D．12
2.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
3.如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E．若∠A＝60°，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
5.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
6．一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（ ）
A．十四 B．十五 C．十三 D．十六
7.如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
8.如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分交BC于点E，且 ，，连接OE．下列结论：①AE=CE；② ；③；④ ．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10.在如图所示的平面直角坐标系中，△是边长为2的等边三角形，作△与△关于点成中心对称，再作△与△关于点成中心对称，如此作下去，则△（n是正整数）的顶点的坐标是（ ）
A．(4n-1,) B．(2n-1,) C．(4n+1,) D．(2n+1,)
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应先假设______________
12.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝ ________
13.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，,则点B的坐标是
14.如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为
15.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是
16．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有
次．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．
18（本题8分）．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
19.（本题8分）四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过O点作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F。求证：四边形AECF是平行四边.
20（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，DE，BF与对角线AC分别交于点M，N，连接MF，NE．（1）求证：DE∥BF
（2）判断四边形MENF是何特殊的四边形？并对结论给予证明；
21（本题10分）如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作一条直线分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：OE＝OF；（2）若OE＝2，AD＝5，AB＝6，求四边形AEFD的周长．
22（本题12分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长至点F，使BF=BE，连结EC并延长至点G，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH，AF。
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数。
23（本题12分）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点，点 BC 交y轴于点D 动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点A出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为秒）.（1）用t的代数式表示：
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值.
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