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第2章 一元二次方程 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 凉山州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣＝1 B．（a2+1）x2﹣1＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．x2+x＝x2﹣1
【思路点拨】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【答案】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故此选项符合题意；C、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（2021秋 兰山区期末）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+x+3＝0 C．x2﹣5x﹣3＝0 D．x2﹣x+3＝0
【思路点拨】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【答案】解：x2﹣3（x+1）＝2x，去括号，得x2﹣3x﹣3＝2x．
移项、合并同类项，得x2﹣5x﹣3＝0．故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（2021秋 朝阳区期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
【思路点拨】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．
【答案】解：根据题意，得a﹣1+a2﹣a＝0，解得，a＝1或﹣1，
∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a＝﹣1．故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，已知x＝1是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．
4．（2021秋 揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
【思路点拨】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得y的值，即可得到x2+2x的值．
【答案】解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得：y1＝﹣4，y2＝2，
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，故选：B．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把x2+2x看成一个整体来计算，即换元法思想．
5．（2021秋 永定区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．6
【思路点拨】根据“一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4”，结合根与系数的关系，分别列出关于m和n的方程，求出m和n的值，代入m﹣n即可得到答案．
【答案】解：根据题意得：x1+x2＝﹣m＝﹣2+4，解得：m＝﹣2，
x1 x2＝n＝﹣2×4，解得：n＝﹣8，m﹣n＝﹣2﹣（﹣8）＝﹣2+8＝6，故选：D．
【点睛】本题考查根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键．
6．（2021 锦州期末）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0
【思路点拨】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴，解得：a≤2且a≠0．故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
7．（2021秋 深圳期末）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个22元；
小李：当售价为每个38元时，每天可售出160个；当售价降低3元时，平均每天能多售出120个．
经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（ ）
A．（38﹣x）（160+×120）＝3640 B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640
C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640 D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640
【思路点拨】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38﹣x﹣22）元，销售量为（160+×120）个，利用销售总利润＝每个的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【答案】解：∵这种工艺品的销售价每个降低x元，
∴每个工艺品的销售利润为（38﹣x﹣22）元，销售量为（160+×120）个．
依题意得：（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640．故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021 武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
【思路点拨】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，即a2＝3a+5，b2＝3b+5，根据根与系数的关系得到a+b＝3,然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【答案】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1＝10a+10b+6＝10(a+b)+6＝10×3+6＝36．故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．
9．（2021·山东省初三期中）已知4是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【分析】把x＝4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解析】把x＝4代入方程得16 4（m＋1）＋2m＝0，解得m＝6，
则原方程为x2 7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，
∵这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4＋4＋3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3＋3＋4＝10；
综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
10．（2021春 江北区期末）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
【思路点拨】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；用方程M﹣方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出B错误．将x＝7代入方程M中，方程两边同时除以49即可得出是方程N的一个根，C正确；根据“和符号相”，即可得出D正确；综上即可得出结论．
【答案】解：A、在方程ax2+bx+c＝0中Δ＝b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a＝0中Δ＝b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a﹣c≠0，∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．
C、∵7是方程M的一个根，∴49a+7b+c＝0，∴a+b+c＝0，∴是方程N的一个根，正确；
D、∵和符号相同，∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 高州市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么m+n的值是 ．
【思路点拨】方程移项后，利用完全平方公式配方变形后，确定出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．
【答案】解：方程移项得：x2﹣10x＝﹣m，配方得：x2﹣10x+25＝25﹣m，即（x﹣5）2＝25﹣m，
∴m＝25，n＝5，则m+n＝25+5＝30．故答案为：30．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（2021秋 岳阳县期末）用配方法将方程x2﹣2x﹣3＝0变为（x﹣a）2＝b的形式，则a+b＝ ．
【思路点拨】方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，进而求得a+b的值．
【答案】解：方程x2﹣2x﹣3＝0，变形得：x2﹣2x＝3，
配方得：x2﹣2x+1＝4，即（x﹣1）2＝4，∴a＝1，b＝4，∴a+b＝5故答案为：5．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2021秋 锦州期末）若m是方程3x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式6m2+4m的值为 ．
【思路点拨】利用一元二次方程解的定义得到3m2+2m＝3，再把6m2+4m变形为2（3m2+2m），然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：∵m是方程3x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴3m2+2m﹣3＝0，∴3m2+2m＝3，∴6m2+4m＝2（3m2+2m）＝2×3＝6．故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（2021秋 仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为 m．
【思路点拨】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22﹣x）m，宽（14﹣x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【答案】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22﹣x）m，宽（14﹣x）m的矩形的面积，依题意得：（22﹣x）（14﹣x）＝240，
整理得：x2﹣36x+68＝0，解得：x1＝2，x2＝34（不合题意，舍去）．故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2021秋 衡阳期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
【思路点拨】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【答案】解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），所以x2+y2＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2＝z得出关于z的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．
16．（2021秋 延边州期末）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有x个球队参赛，根据题意列出x满足的关系式为 ．
【思路点拨】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程求解．
【答案】解：设有x个球队参加比赛，
依题意，得x（x﹣1）＝28．故答案是：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
17．（2021秋 铁西区期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
【思路点拨】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝﹣m，然后利用新定义得到﹣m＝2×2或﹣m＝×2，从而得到m的值．
【答案】解：∵（x﹣2）（x+m）＝0，∴x﹣2＝0或x+m＝0，解得x1＝2，x2＝﹣m，
∵关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，
∴﹣m＝2×2或﹣m＝×2，即m＝﹣4或﹣1．故答案为﹣4或﹣1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式和解一元二次方程．
18．（2021秋 凉山州期末）已知实数m、n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，则|m﹣n|＝ ．
【思路点拨】根据题意可得出m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根，当m＝n时，|m﹣n|＝0；当m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根时，利用根与系数的关系可得出m+n＝2，mn＝﹣4，再将其代入|m﹣n|＝中即可求出结论．综上，此题得解．
【答案】解：∵实数m、n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，
∴m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根．
当m＝n时，|m﹣n|＝0；
当m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根时，m+n＝2，mn＝﹣4，
∴|m﹣n|＝＝＝＝2．故答案为：0或2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及绝对值，分m＝n或m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个不相等的实数根两种情况，求出|m﹣n|的值是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19、（2021·成外初三期末模拟）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）；（公式法）（2）；（配方法） （3） (－2)＋－2＝0．
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求解。
【解析】（1）解:
（2）移项，得．配方，得，
由此可得 ∴，
（3）把方程左边因式分解，得．
从而，得，或；所以。
【考点】解一元二次方程。
20．（2021春 萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【思路点拨】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【答案】（1）证明：当k≠0时，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴Δ＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴无论k取何值，方程都有实根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k＝．故k的值；
（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，
∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3﹣，
∵方程的两个实根均为正整数，∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．
【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
21．（2021春 奉化区校级期末）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为52m．①设AB的长为xm，用含x的代数式表示BC的长；
②若建成的饲养室总占地面积为240m2时，求AB的长；（2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡．
【思路点拨】（1）①根据BC＝建筑材料可建围墙（不包括门）的总长﹣3AB+2m即可求解；
②根据建成的饲养室总占地面积为240m2，列出方程解答即可；
（2）设每天传染中平均一只鸡传染了x只鸡，那么经过第一天传染后有x只鸡被感染，那么经过两天传染后有x（x+1）+x+1只鸡感染，又知经过两天传染共有64只鸡被感染，以经过两轮传染后被传染鸡的只数相等的等量关系，列出方程求解．
【答案】解：（1）①BC＝52﹣3x+2＝54﹣3x；
②依题意有x（54﹣3x）＝240，解得x1＝10，x2＝8．故AB的长是10m或8m．
（2）设每天传染中平均一只鸡传染了x只鸡，依题意有x（x+1）+x+1＝64，
即：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意舍去）．故每天传染中平均一只鸡传染了7只鸡．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程是解题的关键．（2）应注意是经过两轮传染后感染的总只数，而不仅仅只是第二轮被传染的只数．
22．（2021秋 北京期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．如：2*1＝22﹣2×1＝2．根据这个法则，
（1）计算：3*2＝ ；（2）判断（t+2）*（2t+1）＝0是否为一元二次方程，并求解；
（3）判断方程（x+2）*1＝3的根是否为x1＝，x2＝，并说明理由．
【思路点拨】（1）利用题中的新定义列式计算可得结果；
（2）利用题中的新定义判断即可；（3）利用题中的新定义判断即可．
【答案】解：（1）根据题中的新定义得：3*2＝32﹣3×2＝9﹣6＝3，故答案为：3；
（2）已知等式变形得：（t+2）2﹣（t+2）（2t+1）＝0，整理得t2+t﹣2＝0，是一元二次方程；
解方程得t2+t﹣2＝0，得（t+2）（t﹣1）＝0，即t+2＝0或t﹣1＝0，解得t1＝﹣2，t2＝1；
（3）方程变形得：（x+2）2﹣（x+2）＝3，整理得：x2+4x+4﹣x﹣2﹣3＝0，即x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
故方程（x+2）*1＝3的根不是x1＝，x2＝．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23．（2021秋 包头期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．（1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；（2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？
【思路点拨】（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+月均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每台降价x元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（50+2y）台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】解：（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，
依题意得：32（1+x）2＝50，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%．
（2）设每台降价y元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出50+×4＝（50+2y）台，依题意得：（40﹣y﹣30）（50+2y）＝348，整理得：y2+15y﹣76＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣19（不合题意，舍去）．
答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2021秋 安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．
【思路点拨】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．
【答案】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
25、（2021·湖北省武汉市初三期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|=|x2|-2，求m的值及此时这个方程的根。
【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2 =﹣1﹣或x1=1﹣，x2=1+．
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1 x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.
【解析】（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，
∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1 x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．
综上:略
【考点】根的判别式及解一元二次方程；分类讨论。
26．（2021秋 台江区期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 ；
（2）当x取何值时，代数式﹣x2+6x+8的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；
（3）试比较代数式4x2﹣2x与2x2+6x﹣9的大小，并说明理由．
【思路点拨】（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）代数式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质判断即可；
（3）利用作差法列出关系式，配方后利用非负数的性质确定出大小即可．
【答案】解：（1）x2+10x﹣6＝（x2+10x+25）﹣31＝（x+5）2﹣31，
∵（x+5）2≥0，∴当x+5＝0，即x＝﹣5时，代数式最小值为﹣31；故答案为：﹣31；
（2）﹣x2+6x+8＝﹣（x2﹣6x+9）+17＝﹣（x﹣3）2+17，
∵（x﹣3）2≥0，∴﹣（x﹣3）2≤0，∴当x﹣3＝0，即x＝3时，代数式有最大值17；
（3）∵（x﹣2）2≥0，
∴（4x2﹣2x）﹣（2x2+6x﹣9）＝4x2﹣2x﹣2x2﹣6x+9＝2x2﹣8x+9＝2（x2﹣4x+4）+1
＝2（x﹣2）2+1≥1＞0，∴4x2﹣2x＞2x2+6x﹣9．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
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第2章 一元二次方程 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 凉山州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣＝1 B．（a2+1）x2﹣1＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．x2+x＝x2﹣1
2．（2021秋 兰山区期末）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+x+3＝0 C．x2﹣5x﹣3＝0 D．x2﹣x+3＝0
3．（2021秋 朝阳区期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
4．（2021秋 揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
5．（2021秋 永定区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．6
6．（2021 锦州期末）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0
7．（2021秋 深圳期末）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个22元；
小李：当售价为每个38元时，每天可售出160个；当售价降低3元时，平均每天能多售出120个．
经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（ ）
A．（38﹣x）（160+×120）＝3640 B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640
C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640 D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640
8．（2021 武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（ ）
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
9．（2021·山东省初三期中）已知4是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
10．（2021春 江北区期末）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 高州市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么m+n的值是 ．
12．（2021秋 岳阳县期末）用配方法将方程x2﹣2x﹣3＝0变为（x﹣a）2＝b的形式，则a+b＝ ．
13．（2021秋 锦州期末）若m是方程3x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式6m2+4m的值为 ．
14．（2021秋 仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为 m．
15．（2021秋 衡阳期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
16．（2021秋 延边州期末）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有x个球队参赛，根据题意列出x满足的关系式为 ．
17．（2021秋 铁西区期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
18．（2021秋 凉山州期末）已知实数m、n满足m2﹣4＝2m，n2＝4+2n，则|m﹣n|＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19、（2021·成外初三期末模拟）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：
（1）；（公式法）（2）；（配方法） （3） (－2)＋－2＝0．
20．（2021春 萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
21．（2021春 奉化区校级期末）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为52m．①设AB的长为xm，用含x的代数式表示BC的长；
②若建成的饲养室总占地面积为240m2时，求AB的长；（2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡．
22．（2021秋 北京期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．如：2*1＝22﹣2×1＝2．根据这个法则，
（1）计算：3*2＝ ；（2）判断（t+2）*（2t+1）＝0是否为一元二次方程，并求解；
（3）判断方程（x+2）*1＝3的根是否为x1＝，x2＝，并说明理由．
23．（2021秋 包头期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．（1）求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；（2）从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？
24．（2021秋 安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．
25、（2021·湖北省武汉市初三期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|=|x2|-2，求m的值及此时这个方程的根。
26．（2021秋 台江区期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 ；
（2）当x取何值时，代数式﹣x2+6x+8的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；
（3）试比较代数式4x2﹣2x与2x2+6x﹣9的大小，并说明理由．
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