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第4章 平行四边形 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 忠县期末）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【答案】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
【答案】A
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：，
∴这个多边形的内角和为：，故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．
3．（2021秋 长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
【思路点拨】根据平行四边形的性质得到AC＝2AO＝6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO＝6，
∵AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，∴AC BC＝48，∴BC＝8，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2021秋 平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（ ）
A．三个角都小于60° B．三个角都大于60°
C．三个角都大于或等于60° D．有两个角大于60°
【思路点拨】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【答案】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设三个角都大于60°，故选：B．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（2021春 安徽月考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为30，则△ABE的周长为（ ）
A．30 B．26 C．20 D．15
【思路点拨】根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，结合OE⊥BD可说明EO是线段BD的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则BE＝DE，再利用平行四边形ABCD的周长为30，可得AB+AD＝15，进而可得△ABE的周长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的中垂线，∴BE＝DE，∴AE+ED＝AE+BE，
∵ ABCD的周长为30，∴AB+AD＝15，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝15，故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．
6．（2021春 驿城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【答案】解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
⑤∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝45°，CE＝3，DF＝1，则 ABCD的面积是（ ）
A．18﹣3 B．15+3 C．15﹣3 D．18+3
【思路点拨】在四边形BEDF中，由四边形的内角和为360°及已知条件求出∠D＝135°，根据平行四边形的性质求出∠A＝∠C＝45°，利用直角三角形的性质求出BC＝AD＝3，进而求出面积即可．
【答案】解：∵BE⊥CD，BF⊥AD，∴∠BEC＝90°，∠BED＝∠BFD＝90°，
∵∠EBF＝45°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠C＝180°﹣∠D＝45°，∴∠A＝∠C＝45°，
∵CE＝3，∴BE＝EC＝3，∴BC＝3，∵DF＝1，∴AF＝BF＝3﹣1，
∴ ABCD的面积是AD×BF＝3×（3﹣1）＝18﹣3．故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、多边形的内角和公式、解直角三角形的应用等知识点，明确相关性质及定理是解题的关键．
8．（2021秋 海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【思路点拨】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【答案】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（2021春 奉化区校级期末）如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD和AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝15，S3＝4，则S4的值是（ ）
A．8 B．14 C．16 D．22
【思路点拨】阴影部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．
【答案】解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE＝S△CDF＝S，
由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，
∴S＝S△CBE+S△CDF+3+S4+4﹣15，即S＝S+S+3+S4+4﹣15，解得S4＝8，故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形ABCD的面积＝△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2．
10．（2021春 罗湖区校级期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE＝BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【思路点拨】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BE＝BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，故①正确；
∴∠EAC＝∠ACE＝30°∴∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB AC，故②错误；
∵BE＝EC，∴E为BC中点，∴S△ABE＝S△ACE，故③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝CO，∵AE＝CE，∴EO⊥AC，
∵∠ACE＝30°，∴EO＝EC，∵EC＝AB，∴OE＝BC，故④正确；故正确的个数为2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 江北区期末）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是 ，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是 ．
【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【答案】解：我最为欣赏的图标是②，选择理由是②既是轴对称图形，又是中心对称图形
①是轴对称图形，③既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，④是轴对称图形．
故答案为：②；既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．
12．（2021秋 科左中旗期末）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成 个三角形．
【思路点拨】根据多边形的内角和定理可求解多边形的边数，再利用n边形对角线的定义可求解从一个顶点发出的对角线的条数，结合对角线的条数可得分成的三角形的个数．
【答案】解：设多边形的边数为n，由题意得（n﹣2） 180°＝1260°，解得n＝9，
则从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3＝9﹣3＝6（条），
这些对角线将多边形分成的三角形的个数为n﹣2＝9﹣2＝7（个）．故答案为：7．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，多边形的对角线，由三角形的内角和定理求解多边形的边数是解题的关键．
13．（2021·浙江杭州市·八年级开学考试）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．
【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2）
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2），
故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况．
14．（2021 云南模拟）在 ABCD中，BC边上的高为3，AB＝5，AC＝2，则BC的长为 ．
【思路点拨】在直角三角形ABE和直角三角形ACE中利用勾股定理分别求出BE，EC，即可求解．
【答案】解：当高在△ABC内部时，如图所示：
在 ABCD中，BC边上的高AE为3，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝，BE＝，∴BC＝CE+BE＝+4，
当高在△ABC外部时，如图所示，
同理可得EC＝，BE＝4，∴BC＝4﹣，故答案为4±．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是本题的关键．
15．（2021·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
【答案】2.5
【分析】延长CF交AB于H，证明△AFH≌△AFC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH，求出HB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长CF交AB于H，
∵AE平分∠BAC，∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中， ，
∴△AFH≌△AFC（ASA），∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，∴AH=AC=8，∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，∴DF=HB=2.5，故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
【思路点拨】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，故答案为：10或14．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明AF＝AB＝8，DE＝DC＝8是解题的关键．
17．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
【答案】
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD 性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵∴ 过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵∴ ∴，即
∵，且∴
∴∴ ∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∴∴
∴ ∴
∵，∴DG是中位线∴
∴故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
18．（2021春 余杭区期中）如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，AD＝4，作∠ABC的平分线交AD的延长线于点E．交CD于点F．若G，O分别是EF． AC的中点，则GO的长为 ．
【思路点拨】连接BD，DG，由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，∠DCB＝∠DAB＝60°，AO＝CO，BO＝DO，由角平分线的性质可得∠ABF＝∠CBF＝∠CFB，可求CF＝BC＝4，可得DF＝2，可证△BCF是等边三角形，可得BF＝BC＝4，
由直角三角形的性质可求DG，GF，由勾股定理可求DB的长，即可求解．
【答案】解：如图，连接BD，DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，
∠DCB＝∠DAB＝60°，AO＝CO，BO＝DO，∴∠EDC＝∠DAB＝60°，∠ABF＝∠CFB，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC＝4，∴DF＝2，
∵AD∥BC，∴∠E＝∠CBF＝∠BFC＝∠DFE，∴DE＝DF＝2，
∵点G是EF的中点，∴DG⊥EF，∠GDF＝30°，∴GF＝1，DG＝GF＝，
∵CF＝BC＝4，∠DCB＝∠DAB＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BF＝BC＝4，
∴GB＝5，∴DB＝＝＝2，
∵∠DGB＝90°，BO＝DO，∴GO＝DB＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋 辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【思路点拨】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【答案】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
20．（2021 永嘉县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
【思路点拨】（1）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠E，可证AD∥BE，可得结论；（2）先证△ABE是等边三角形，可求S△ABF的面积，即可求解．
【答案】证明：（1）∵AB＝BE，∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAE，∴∠DAF＝∠E，∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝3，∴BF＝＝＝3，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×3＝，∴ ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．（2021 婺城区期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
【思路点拨】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．
（2）想办法求出AE、EF的长，根据S平行四边形AECF＝2 S△AEF计算即可；
【答案】（1）证明：连接AF、EC．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝5，
∵△AEB≌△CFD，∴BE＝DF＝3，∴EF＝2，
∴S平行四边形AECF＝2 S△AEF＝2××＝6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，此题难度适中，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．
22．（2021秋 任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【思路点拨】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，即∠ABE＝16°．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2021春 恩施市期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝10cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．（1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式；（2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【思路点拨】（1）分点Q没有到达点B时和点Q到达点B后返回时两种情况讨论，即可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【答案】解：（1）∵点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，
∴点P到达点D的时间t＝＝10（s），
∴当0≤t＜5时，CQ＝s＝3t，
当5≤t≤10时，CQ＝s＝30﹣3t；
（2）当0≤t＜5时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，∴10﹣t＝3t，∴t＝，
若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，∴t＝15﹣3t，∴t＝，
当5≤t≤10时，若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，
∴10﹣t＝30﹣3t，∴t＝10（不合题意舍去），
若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，∴t＝3t﹣15，∴t＝，
综上所述：t的值为或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键
24．（2021·全国八年级课时练习）如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN＝∠BGN．（2）求的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）四边形BDNG是平行四边形，证明详见解析.
【分析】（1）连接BM，推出BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN＝∠BEN，证出∠BMN＝∠BGN即可；（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH＝AE＝AN，求出NG＝GH＝AB，代入求出即可；（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG＝BE，得出BG∥DN，BG＝DN，根据平行四边形的判定判断即可．
【解析】（1）证明：连BM，∵∠BAD＝90°，∴BA⊥EM，∵AE＝AM，∴BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，
在△BEN和△BMN中，∴△BMN≌△BEN，∴∠BMN＝∠BEN，
∵BE＝BG＝BM，∴∠BMN＝∠BGN，∴∠BEN＝∠BGN．
（2）解：由（1）得，∠GBE＝∠GNE＝90°，∴△NME等腰直角三角形，∴AE＝AN，
过G作GH⊥AB，垂足为H，∴∠H＝∠BAE＝∠GBE＝90°，
∴∠HGB+∠HBG＝90°，∠HBG+∠ABE＝90°，∴∠HGB＝∠EBA，
在△BGH和△ABE中，∴△BGH≌△ABE，∴BH＝AE＝AN，
HN＝AB＝GH，NG＝GH＝AB，∴．
（3）解：四边形BDNG是平行四边形，
理由是：∵∠DAN＝∠BAE＝90°，AN＝AE，AB＝AD，
∴△ADN≌△BAE，∴DN⊥BE，DN＝BE＝BG，
又∵BG⊥BE，BG＝BE，∴BG∥DN，BG＝DN
∴四边形BDNG为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题型较好，但有一定的难度．
25．（2020春 武安市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，E为BD中点，延长CD到点F，使DF＝CD．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（3）若CD＝1，AF＝2，∠BEC＝2∠F，求四边形ABDF的面积．
【思路点拨】（1）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AB＝CD，证出AB＝DF，即可得出四边形ABDF为平行四边形；（3）由平行四边形的性质得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，证出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，证出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD＝＝，即可得出四边形ABDF的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∵E为BD中点，∴DE＝BE，
在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝CE；
（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，∴AB∥DF，AB＝DF，∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABDF为平行四边形，∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，
∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA+∠BAC，
∴∠DBA＝∠BAC，∴AE＝BE＝DE，∴∠BAD＝90°，∵AB＝CD＝1，∴AD＝＝，
∵DF＝AB＝1，∴四边形ABDF的面积＝DF×AD＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26．（2021春 牡丹区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证DE+DF＝AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②，线段DE，DF，AC之间的数量关系是 ，为什么？（3）当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，线段DE，DF，AC之间的数量关系是 （不需要证明）．
【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得到DF＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的性质、结合图形证明即可；（2）（3）仿照（1）的方法证明即可．
【答案】（1）证明：如图①，∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，∴DF＝AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，∴∠EDC＝∠C，∴DE＝EC，∴DE+DF＝EC+AE＝AC；
（2）解：DF＝AC+DE，
理由如下：如图②，∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AE＝DF，
∵DE∥AB，∴∠B＝∠BDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，∴∠BDE＝∠DCE，∴DE＝CE，
∴AC+DE＝AC+CE＝AE＝DF，故答案为：DF＝AC+DE；
（3）解：DE＝AC+DF，
理由如下：如图③，∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AE＝DF，
∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠BDE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BDE＝∠DCE，
∴DE＝CE＝AE+AC＝AC+DF，故答案为：DE＝AC+DF．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键.
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第4章 平行四边形 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 忠县期末）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2021·江苏苏州市·九年级零模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
3．（2021秋 长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
4．（2021秋 平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（ ）
A．三个角都小于60° B．三个角都大于60°
C．三个角都大于或等于60° D．有两个角大于60°
5．（2021春 安徽月考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为30，则△ABE的周长为（ ）
A．30 B．26 C．20 D．15
6．（2021春 驿城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2020秋 永嘉县校级期末）如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝45°，CE＝3，DF＝1，则 ABCD的面积是（ ）
A．18﹣3 B．15+3 C．15﹣3 D．18+3
8．（2021秋 海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
9．（2021春 奉化区校级期末）如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD和AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝3，S2＝15，S3＝4，则S4的值是（ ）
A．8 B．14 C．16 D．22
10．（2021春 罗湖区校级期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE＝BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 江北区期末）请你用数学的眼光观察，以下历届冬奥会图标中，你最为欣赏的图标是 ，（选择①，②，③，④中的一项）选择理由是 ．
12．（2021秋 科左中旗期末）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成 个三角形．
13．（2021·浙江杭州市·八年级开学考试）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．
14．（2021 云南模拟）在 ABCD中，BC边上的高为3，AB＝5，AC＝2，则BC的长为 ．
15．（2021·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．
16．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
17．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
18．（2021春 余杭区期中）如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，AD＝4，作∠ABC的平分线交AD的延长线于点E．交CD于点F．若G，O分别是EF． AC的中点，则GO的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋 辛集市期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
20．（2021 永嘉县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
21．（2021 婺城区期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
22．（2021秋 任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
23．（2021春 恩施市期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝10cm，BC＝15cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发以3cm/s的速度在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．（1）设当P，Q两点同时出发t秒后，CQ的长为s，请写出s与t之间的函数关系式；（2）线段PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，t为何值时所截得的两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
24．（2021·全国八年级课时练习）如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN＝∠BGN．（2）求的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．
25．（2020春 武安市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，E为BD中点，延长CD到点F，使DF＝CD．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（3）若CD＝1，AF＝2，∠BEC＝2∠F，求四边形ABDF的面积．
26．（2021春 牡丹区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证DE+DF＝AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②，线段DE，DF，AC之间的数量关系是 ，为什么？（3）当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，线段DE，DF，AC之间的数量关系是 （不需要证明）．
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