初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学） 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·河北期中）已知x1，x2是一元二次方程 的两根，则x1＋x2的值是（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程 的两根，∴x1+x2=2．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.
2．（2020八下·越城期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）
＝7．
故答案为：C．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算．
3．（2020八下·合肥月考）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两个解，若 ，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程 的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵ ，即 ，
∴ ，解得：a=﹣4．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n=3，mn=a，再把（m-1）（n-1）=-6变形为mn-（m+n）+1=-6，把m+n=3，mn=a代入，得到关于a的方程，求出方程的解，即可求出a的值.
4．已知 ， 则 最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ m、n 是方程 的两根，
∴ ，
∵
∵ ，当 时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
【分析】由题意可知m、n 是方程 的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将代数式转化为，然后根据a≥2，可知当 时代数式有最小值，代入求值即可。
5．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则 的值是（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b
∴ a+b=3，ab=p ，
∵ a2－ab＋b2＝18
∴（a+b）2-3ab=18即9-3p=18
解之：p=-3
∴ab=-3
∵
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知 a+b=3，ab=p ，再将a2－ab＋b2＝18 转化为（a+b）2-3ab=18，求出p的值，就可得出ab的值，然后将 转化为 ，代入求值即可。
6．（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a(x1-x2)=d B．a(x2-x1)=d C．a(x1-x2) =d D．a(x2-x1)2=d
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1，
∴x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解
∴一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0只有一个解，
∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0
∴
整理得：a(x2-x1)=d.
故答案为：B.
【分析】由题意可知x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解，将方程转化为ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0，利用一元二方程根与系数的关系及x=x1就可得到a(x2-x1)=d。
二、填空题
7．（2019八下·岱岳期末）若 是关于 的方程 的一个根，则方程的另一个根是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为y，
则y+ ＝4 ，
解得y＝ ，
即方程的另一个根为 ,
故答案为： ．
【分析】设另一个根为y，利用两根之和，即可解决问题．
8．（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，则b= ，c= 。
【答案】-6；4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，
∴
解之 ：b=-6，c=4.
故答案为：-6，4.
【分析】利用一元二次方程根与系数，根据两根之和为3，两根之积为2，建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值。
9．（2020八下·长沙期末）已知a，b是方程 的两根，则 的值是 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
，
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得 ， ，再整体代入 即可求解．
10．（2020八下·长兴期末）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是 。
【答案】x2+x-6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，
∴x2-（-3+2）x+2×（-3）=0
∴x2+x-6=0
故答案为：x2+x-6=0.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1，x2是关于x的方程x2-（x1+x2）x+x1·x2=0的两个根，代入计算可得方程。
11．（2019八上·浦东月考）写出一个关于x的一元二次方程，使方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，此方程是 .
【答案】x2 4=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程的两根互为相反数，根据两根之和公式可知一次项系数为0，
为了保证方程有意义，△必须大于等于0.
所以一元二次方程可写为x2 4=0.
故答案为：x2 4=0.
【分析】因为方程的两根互为相反数，所以两根之和为0，即一次项系数为0，方程可设为x2+a=0（a≤0）．任意取一a值，即得所求方程．故此题答案不唯一．
三、综合题
12．已知x2﹣mx+9=0的一根为x1=4+ ，求另一根x2和m的值．
【答案】解：∵x1、x2是方程x2﹣mx+9=0的两个根，
∴x1+x2=m，x1 x2=9，
∵x1=4+ ，
∴x2= =4﹣ ，m=4+ +4﹣ =8．
答：方程的另一根为4﹣ ，m的值为8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2=m、x1 x2=9，代入x1=4+ ，即可求出x2和m的值．
13．如果方程2x2+4x+3k=0的两个根的平方和等于7，求k的值．
【答案】解：∵方程2x2+4x+3k=0有实数根，
∴△=42﹣4×2×3k=16﹣24k≥0，
解得：k≤ ．
设方程2x2+4x+3k=0的两个根为x1、x2，
则有：x1+x2=﹣2，x1 x2= k，
∵ =7，
∴ ﹣2x1 x2=4﹣3k=7，
解得：k=﹣1．
故k的值为﹣1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，设方程2x2+4x+3k=0的两个根为x1、x2，根据根与系数的关系结合 =7即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，结合k的取值范围即可得出结论．
14．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x1﹣x2）2；
（2）．
【答案】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1 x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
15．关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0
（1）有两个不相等的实数，求m的取值范围
（2）m取一个适当的实数求原方程的解
（3）若x1，x2是方程的两根且 ，求m值．
【答案】（1）解：∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数，
∴△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
解得：m＜1．
∴方程有两个不相等的实数时，m的取值范围为m＜1
（2）解：取m=0，当m=0时，原方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3
（3）解：∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣2（m﹣2），x1 x2=m2﹣3m+3，
∴ + = ﹣2x1 x2=[﹣2（m﹣2）]2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6，
即m2﹣5m+2=0，
解之得：m1= ，m2= ．
∵△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4≥0，
∴m≤1，
∴m=
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=﹣4m+4＞0，解不等式即可得出m的取值范围；（2）结合（1）取m=0，将其代入原方程中，利用分解因式法即可求出方程的解；（3）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2（m﹣2）、x1 x2=m2﹣3m+3，结合 ，即可求出m的值，再根据△≥0可求出m的取值范围，由此即可确定m的值．
16．探究与应用：
探究：一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的根是x= （b2﹣4ac≥0）．
（1）如果x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2== ，x1 x2== ．（请用含a、b、c的代数式表示）
（2）应用：已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用探究获得的根与系数关系：
填空：x1+x2= ，x1 x2= ．
（3）求值：（x1+1）（x2+1）．
【答案】（1）﹣ ；
（2）﹣ ；
（3）（x1+1）（x2+1）=x1 x2+（x1+x2）+1=﹣ ﹣2+1=﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）探究：∵x= ，
∴x1+x2= + =﹣ ，x1 x2= × = ．
故答案为：﹣ ； ．
应用：（2）∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=﹣ =﹣2，x1 x2= =﹣ ．
故答案为：﹣2；﹣ ．
【分析】（1）探究：根据方程的解为 ，将其代入x1+x2和x1 x2中，整理后即可得出结论；应用：（2）根据根与系数的关系结合方程各项系数，即可得出x1+x2和x1 x2的值；（3）将（x1+1）（x2+1）展开后再代入x1+x2和x1 x2的值即可求出结论．
17．（2015八下·杭州期中）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1
（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，
+ = = = =﹣47；
当a=b时，原式=2
（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则 + = =﹣ ， = = ，
则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出 + =﹣ ， = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
1 / 1初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学） 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·河北期中）已知x1，x2是一元二次方程 的两根，则x1＋x2的值是（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．4
2．（2020八下·越城期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
3．（2020八下·合肥月考）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两个解，若 ，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
4．已知 ， 则 最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
5．若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则 的值是（ ）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
6．（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a(x1-x2)=d B．a(x2-x1)=d C．a(x1-x2) =d D．a(x2-x1)2=d
二、填空题
7．（2019八下·岱岳期末）若 是关于 的方程 的一个根，则方程的另一个根是 .
8．（2020八下·杭州期中）已知一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，则b= ，c= 。
9．（2020八下·长沙期末）已知a，b是方程 的两根，则 的值是 ．
10．（2020八下·长兴期末）一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是 。
11．（2019八上·浦东月考）写出一个关于x的一元二次方程，使方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，此方程是 .
三、综合题
12．已知x2﹣mx+9=0的一根为x1=4+ ，求另一根x2和m的值．
13．如果方程2x2+4x+3k=0的两个根的平方和等于7，求k的值．
14．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x1﹣x2）2；
（2）．
15．关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0
（1）有两个不相等的实数，求m的取值范围
（2）m取一个适当的实数求原方程的解
（3）若x1，x2是方程的两根且 ，求m值．
16．探究与应用：
探究：一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的根是x= （b2﹣4ac≥0）．
（1）如果x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2== ，x1 x2== ．（请用含a、b、c的代数式表示）
（2）应用：已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用探究获得的根与系数关系：
填空：x1+x2= ，x1 x2= ．
（3）求值：（x1+1）（x2+1）．
17．（2015八下·杭州期中）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1 x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程 的两根，∴x1+x2=2．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）
＝7．
故答案为：C．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整体代入的方法计算．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程 的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵ ，即 ，
∴ ，解得：a=﹣4．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n=3，mn=a，再把（m-1）（n-1）=-6变形为mn-（m+n）+1=-6，把m+n=3，mn=a代入，得到关于a的方程，求出方程的解，即可求出a的值.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ m、n 是方程 的两根，
∴ ，
∵
∵ ，当 时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
【分析】由题意可知m、n 是方程 的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将代数式转化为，然后根据a≥2，可知当 时代数式有最小值，代入求值即可。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b
∴ a+b=3，ab=p ，
∵ a2－ab＋b2＝18
∴（a+b）2-3ab=18即9-3p=18
解之：p=-3
∴ab=-3
∵
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知 a+b=3，ab=p ，再将a2－ab＋b2＝18 转化为（a+b）2-3ab=18，求出p的值，就可得出ab的值，然后将 转化为 ，代入求值即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1，
∴x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解
∴一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0只有一个解，
∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0
∴
整理得：a(x2-x1)=d.
故答案为：B.
【分析】由题意可知x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解，将方程转化为ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0，利用一元二方程根与系数的关系及x=x1就可得到a(x2-x1)=d。
7．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为y，
则y+ ＝4 ，
解得y＝ ，
即方程的另一个根为 ,
故答案为： ．
【分析】设另一个根为y，利用两根之和，即可解决问题．
8．【答案】-6；4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x +bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，
∴
解之 ：b=-6，c=4.
故答案为：-6，4.
【分析】利用一元二次方程根与系数，根据两根之和为3，两根之积为2，建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值。
9．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
，
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得 ， ，再整体代入 即可求解．
10．【答案】x2+x-6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，
∴x2-（-3+2）x+2×（-3）=0
∴x2+x-6=0
故答案为：x2+x-6=0.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1，x2是关于x的方程x2-（x1+x2）x+x1·x2=0的两个根，代入计算可得方程。
11．【答案】x2 4=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程的两根互为相反数，根据两根之和公式可知一次项系数为0，
为了保证方程有意义，△必须大于等于0.
所以一元二次方程可写为x2 4=0.
故答案为：x2 4=0.
【分析】因为方程的两根互为相反数，所以两根之和为0，即一次项系数为0，方程可设为x2+a=0（a≤0）．任意取一a值，即得所求方程．故此题答案不唯一．
12．【答案】解：∵x1、x2是方程x2﹣mx+9=0的两个根，
∴x1+x2=m，x1 x2=9，
∵x1=4+ ，
∴x2= =4﹣ ，m=4+ +4﹣ =8．
答：方程的另一根为4﹣ ，m的值为8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2=m、x1 x2=9，代入x1=4+ ，即可求出x2和m的值．
13．【答案】解：∵方程2x2+4x+3k=0有实数根，
∴△=42﹣4×2×3k=16﹣24k≥0，
解得：k≤ ．
设方程2x2+4x+3k=0的两个根为x1、x2，
则有：x1+x2=﹣2，x1 x2= k，
∵ =7，
∴ ﹣2x1 x2=4﹣3k=7，
解得：k=﹣1．
故k的值为﹣1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，设方程2x2+4x+3k=0的两个根为x1、x2，根据根与系数的关系结合 =7即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，结合k的取值范围即可得出结论．
14．【答案】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1 x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
15．【答案】（1）解：∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数，
∴△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
解得：m＜1．
∴方程有两个不相等的实数时，m的取值范围为m＜1
（2）解：取m=0，当m=0时，原方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3
（3）解：∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣2（m﹣2），x1 x2=m2﹣3m+3，
∴ + = ﹣2x1 x2=[﹣2（m﹣2）]2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6，
即m2﹣5m+2=0，
解之得：m1= ，m2= ．
∵△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4≥0，
∴m≤1，
∴m=
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=﹣4m+4＞0，解不等式即可得出m的取值范围；（2）结合（1）取m=0，将其代入原方程中，利用分解因式法即可求出方程的解；（3）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2（m﹣2）、x1 x2=m2﹣3m+3，结合 ，即可求出m的值，再根据△≥0可求出m的取值范围，由此即可确定m的值．
16．【答案】（1）﹣ ；
（2）﹣ ；
（3）（x1+1）（x2+1）=x1 x2+（x1+x2）+1=﹣ ﹣2+1=﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）探究：∵x= ，
∴x1+x2= + =﹣ ，x1 x2= × = ．
故答案为：﹣ ； ．
应用：（2）∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=﹣ =﹣2，x1 x2= =﹣ ．
故答案为：﹣2；﹣ ．
【分析】（1）探究：根据方程的解为 ，将其代入x1+x2和x1 x2中，整理后即可得出结论；应用：（2）根据根与系数的关系结合方程各项系数，即可得出x1+x2和x1 x2的值；（3）将（x1+1）（x2+1）展开后再代入x1+x2和x1 x2的值即可求出结论．
17．【答案】（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1
（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，
+ = = = =﹣47；
当a=b时，原式=2
（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则 + = =﹣ ， = = ，
则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出 + =﹣ ， = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
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