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浙教版数学八年级下4.1.1认识多边形教案
课题 4.1.1认识多边形 单元 4 学科 数学 年级 七
学习 目标 1． 使学生理解多边形的有关概念 2． 使学生掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用 3． 体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想
重点 探索多边形内角和。
难点 探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 三角形的定义？ 三角形是由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形. 四边形的定义？ 由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形. 学生回忆后思考回答． 回顾知识，对后面的学习奠定基础
讲授新课 1．多边形的有关概念 (1)我们已经知道三角形的定义，那么能否模仿三角形的定义来给四边形，五边形下定义？ (2)教师引导、归纳得出 一般地，由n条(n≥3)不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称多边形． (3)活动：根据多边形定义，自画一些多边形，同桌相互识别，判断是几边形． 学生画图，同桌互相交流． 注意：—般以顺时针或逆时针方向按顺序确定顶点字母． (4)观察 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角， 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角. 多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点. 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【归纳】n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角． 以四边形为例，说出四边形ABCD的各条边和各个内角，并画出各条对角线和任意一个外角。 在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。你发现了什么？ 四边形定理：四边形的内角和等于360°. 你能证明这个命题吗？ 学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证。 已知：四边形ABCD 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360° 证明：连结BD ∵∠A+∠ABD+∠ADB=180° ∠C+∠CBD+∠CDB=180°（理由） ∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180° 即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360° 对这个命题的证明可作如下启发： 我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？ 能否把问题化归为三角形来解决？ 2.还有其他的证法吗？（一题多证） 例1“已知四边形风筝的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数比为1:1:0.6:1，你能求它的四个内角的度数吗？” 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形的内角和为3600） 又∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1 解：设∠A为x°，则有x+x+0.6x+x=360 解得 x=100 ∴∠A=∠B=∠D=100°，∠C=100°×0.6=60° 学生思考、讨论、交流，得出答案． 教师鼓励、点评． 证明过程由学生来完成，教师板书 学生思考用多种方法解答 学生解答，教师板书过程 学生分组讨论,师生互动合作。 经过对各种情况得分析,归纳,总结,对学生渗透分类讨论的数学思想。 教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知. 检测学生对知识的掌握情况及应用能力。
课堂练习 1．一个长方形木块，截去一个三角形后不可能得到的多边形是( ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝95°，∠D＝100°， 外角∠ABE＝70°，则∠ABC＝____，∠C＝____． 4．如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，r为半径作圆，则图中阴影部分的面积是____． 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BD平分∠ABC，E是AD延长线上一点． (1)求证：DB平分∠ADC； (2)求证：∠ABC＝∠EDC. 6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC. 求证：BE∥DF. 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 4.1.1 认识多边形 1.多边形定义 2.多边形的结构 3.四边形的内角和
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4.1.1 认识多边形
浙教版 八年级下
复习旧知
1. 三角形的定义？
2. 四边形的定义？
由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形.
三角形是由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形.
情景导入
由上述这些图形，你能
抽象出什么几何图形？
三角形
四边形
六边形
八边形
……..
新知讲解
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
△ＡＢＣ
四边形ＡＢＣＤ
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫三角形
四边形
三角形
由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形，叫做四边形
定义
新知讲解
多边形定义
如图，在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫多边形.
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
边
边
新知讲解
思考：下图是几边形？
边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形.类似地，边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多边形叫n边形.（n为正整数，且n≥3）
上图的边数为6，所以是六边形
新知讲解
内角：多边形相邻两边组成的角
顶点
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
【归纳】n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
外角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段
新知讲解
以四边形为例，说出四边形ABCD的各条边和各个内角，并画出各条对角线和任意一个外角。
A
B
C
D
边: AB、AD、CD、BC
内角: ∠A、∠C、∠B、∠D
四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写。
如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB
新知讲解
在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。你发现了什么？
四边形的内角和为360° 。
你能证明这个命题吗？
新知讲解
证明：连结BD
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°
∠C+∠CBD+∠CDB=180°
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°=360°
即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°
已知：四边形ABCD
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°
A
B
C
D
新知讲解
你还有其它的证明方法吗？
A
B
C
D
E
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
新知讲解
你还有其它的证明方法吗？
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
新知讲解
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
总结归纳
A
B
C
D
定理：四边形的内角和等于360 °
拓展：四边形问题通常要转化为三角形来解决，而连接对角线是其常用辅助线之一
新知讲解
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1，求它的四个内角的度数．
D
B
A
C
解：设∠A为x°，则有x+x+0.6x+x=360
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形的内角和为3600）
解得 x=100
∴∠A=∠B=∠D=100°，∠C=100°×0.6=60°
又∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1
课堂练习
1．一个长方形木块，截去一个三角形后不可能得到的多边形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
2．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
D
C
课堂练习
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝95°，∠D＝100°，
外角∠ABE＝70°，则∠ABC＝____，∠C＝____．
110°
55°
4．如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，r为半径作圆，则图中阴影部分的面积是____．
πr2
课堂练习
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BD平分∠ABC，E是AD延长线上一点．
(1)求证：DB平分∠ADC；
(2)求证：∠ABC＝∠EDC.
证明：(1)∵∠ADB＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠CBD＝90°，
且∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC
(2)∵∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝180°，
∠EDC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠EDC
拓展提高
6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC. 求证：BE∥DF.
解：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C，∴∠C+∠2+∠4=180°.
又∵△CDF中，∠C+∠4+∠5=180°，∴∠2=∠5，∴BE∥DF.
课堂总结
这节课你学到了什么？
1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫多边形.
2.由不在同一直线的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫做四边形。
3.定理：四边形的内角和等于360 °
板书设计
4.1.1 认识多边形
1.多边形定义
2.多边形的结构
3.四边形的内角和
作业布置
课本 P79 练习题
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