浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》测试卷（标准）（含解析）

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浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》测试卷
考试范围：第五章；考试时间：100分钟；总分：100分；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列说法正确的是
A. 有一个角是直角的四边形是矩形．
B. 两条对角线相等的四边形是矩形．
C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形．
D. 四个角都是直角的四边形是矩形．
如图，在锐角中，延长到点，点是边上的一个动点，过点作直线，分别交、的平分线于，两点，连接、，在下列结论中：
；
；
若，，则的长为；
当时，四边形是矩形．
其中正确的是
A. B. C. D.
如图，在长方形纸片中，，点是的中点，点是边上的一个动点．将沿所在直线翻折，得到则长的最小值是
A. B.
C. D.
如图， 的对角线，相交于点，添加下列条件后，不能得出四边形是矩形的是
A. B.
C. D.
小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为
A. B. C. D.
如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点于点若菱形的周长为，面积为，则的值为
A. B. C. D.
如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动到点为止，点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为
A. B. C. D.
如图，正方形的对角线，相交于，平分交于，于，交于，则下列结论：；；≌；平分其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
关于 的叙述，正确的是
A. 若，则 是菱形
B. 若，则 是矩形
C. 若，则 是正方形
D. 若，则 是菱形
如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积
A. 不变
B. 先增大再减小
C. 先减小再增大
D. 不断增大
如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形外侧作等边三角形，，相交于点，则
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为______．
如图，矩形的对角线与相交点，，，分别为，的中点，则的长度为 ．
如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______ 度
如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连结并延长，交的延长线于点，连结，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
已知：如图，在矩形中，是上一点，且，于点求证：．
判断如图方格内四边形是不是矩形，请说明理由．
以为一边作一个矩形，要求另外两个顶点也在方格顶点上．
如图，在 中，为的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，，若，求证：四边形是矩形．
如图，在 中，，是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结．
求证：四边形是菱形．
若，，求的面积．
如图，，分别以，为圆心，以为半径作弧，两条弧分别相交于点，依次连结，，，，连结交于点．
判断四边形的形状，并说明理由．
求的长．
如图，把纸片进行如下操作：
折叠三角形纸片，使点与点重合．
铺平纸片，画出折痕，交边于点．
连，过点作交折痕于点，连．
若，求的度数．
由以上操作可知，四边形是菱形，请说明理由．
如图，在正方形中，点在对角线上不与点，重合，于点，于点，连接．
写出线段，，长度之间的等量关系，并说明理由
若正方形的边长为，，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，，
，故正确，
，
，
若，则，显然不可能，故错误，
，，，
，
，故错误，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故选：．
只要证明，即可．
首先证明，若，则，显然不可能，故错误，
利用勾股定理可得，推出，故错误．
根据矩形的判定方法即可证明．
本题考查矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，如图所示
根据折叠可知：．
在中，，，，
，
的最小值．
故选：．
以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出的长度，用即可求出结论．
本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故能得出四边形是矩形；
B、，
，
平行四边形是矩形，故能得出四边形是矩形；
C、，
平行四边形是矩形，故能得出四边形是矩形；
D、，
平行四边形是菱形，故不能得出四边形是矩形；
故选：．
利用矩形的判定进行推理，即可求解．
本题考查了矩形的判定，灵活运用矩形的判定是本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，图中，连接．
图中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
如图，图中，连接在图中，证是等边三角形，得出在图中，由勾股定理求出即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，如图，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得到的值．
【解答】
解：连接，如图，
四边形为菱形，菱形的周长为，
，，
，
，
．
7.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，
又，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，
，
故选：．
连接，证出≌，得到，再利用，，则求出时间的值．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出．
8.【答案】
【解析】证明：正方形的对角线、相交于点，
，，
．
于点，
．
，，
．
在和中，，
≌，
，故正确；
，平分交于，
，
，
，
，
平分，故正确；
，
，故正确；
，
≌，
，
，
≌，故正确．
故选：．
根据正方形的性质，可得，，根据直角三角形的性质，可得，，再根据与角的关系，可得，根据全等三角形的判定与性质，故正确；根据角平分线的定义得到，得到，求得平分，故正确；根据等腰三角形的性质得到，故正确；根据全等三角形的判定两点得到≌，故正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解： 中，，
四边形是矩形，选项A不符合题意；
中，，
四边形是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
中，，
四边形是矩形，不一定是正方形，选项C不符合题意；
中，，
四边形是菱形，选项D符合题意；
故选：．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、、D错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形、四边形是两个边长相等的正方形，
，，，
，
即，
在和中
，
，
两个正方形的重叠部分四边形的面积是，
即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于，
故选：．
根据正方形性质得出，，，求出，证≌，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项．
本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是求出的度数，主要培养学生运用性质进行推理的能力，全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的两锐角的度数是根据正方形性质得出，，根据证≌，求出，根据等腰直角三角形性质求出，即可求出答案．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
在和中，
≌，
，
，，
，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，角的计算，在解题的过程中要熟练运用三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，，进而得到，利用等腰三角形等边对等角可得；再根据三角形内角和定理求出的度数；最后利用三角形的外角性质即可求出的度数．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，
．
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
设，则，根据菱形的性质得，，，再证明，所以，解得，然后利用勾股定理计算，再计算的长．
【解答】
解：，
设，则，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．根据矩形的性质可得，，再根据三角形中位线定理可得的长．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
，
点，是，的中点，
是的中位线，

15.【答案】
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识根据矩形的性质可得，再根据可得，所以得，在中，根据勾股定理即可得的长．
【解答】
解：矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故答案为．
17.【答案】证明：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
．
又，
≌．
．
又，，
≌．
．
【解析】连接，利用矩形的性质，则可证得≌，进一步可证得≌，则可证得结论．
本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证得三角形全等是解题的关键．
18.【答案】解：四边形是矩形；理由如下：
由勾股定理得：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
是直角三角形，，
四边形是矩形；
如图所示，
四边形即为所求．
【解析】由勾股定理求出，，得出四边形是平行四边形，由勾股定理的逆定理证出，即可得出结论；
由中的矩形容易画出以为一边的矩形．
本题考查了矩形的判定与性质、作图、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算与作图是解题的关键．
19.【答案】证明四边形是平行四边形，
，，，
为的中点，
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，又，
，
四边形是矩形．
【解析】略
20.【答案】由已知易证，
．
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形
由，四边形是菱形，
则．
由，
得．
在中，
，
可得．

【解析】略
21.【答案】解：四边形为菱形；
由作法得，
所以四边形为菱形；
四边形为菱形，
，，，
在中，，
．
【解析】本题考查了菱形的判定与性质．
利用作法得到四边相等，从而可判断四边形为菱形；
根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
22.【答案】解：由作图知：为线段的垂直平分线，
，，
又，
，
．
如图，设交于，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．
【解析】由作图知：为线段的垂直平分线，从而得到，，然后根据得到，然后根据三角形的内角和定理即可得到；
利用证得≌，从而得到，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形为菱形．
本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，三角形的内角和，解题的关键是知道通过作图能得到直线的垂直平分线．
23.【答案】解：．
理由如下：连接，由正方形性质知，，
在和中，
所以，
所以．
由题意知，
所以四边形为矩形，
所以．
在中，根据勾股定理，得，
所以．
作于点，
由题意知，，
所以为等腰直角三角形，为含角的直角三角形，
因为，
所以，，
所以．
【解析】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
结论：只要证明，四边形是矩形，推出，在中，利用勾股定理即可证明；
过点作，在、中，求出、即可解决问题
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