4.2平行四边形及其性质 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 4.2平行四边形及其性质同步练习
一．选择题
1．（2021秋 桓台县期末）如图，在 ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（　　）
A．110° B．70° C．55° D．35°
2．（2022 宝鸡模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝3，AC＝8，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．（2021春 泉州期中）若 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝32，且△ABO的周长为22，则CD边的长为（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
4．（2021春 瓯海区期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，△ABD的面积为24，则△DOE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．（2022春 睢宁县月考） ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（　　）
A．8 B．20 C．14 D．22
6．（2021秋 九龙坡区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
7．（2021春 长宁区校级期中）平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm
8．（2022春 十堰月考）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．则：①OE＝OF；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S△AOB＝S ABCD；④图中共有4对全等三角形；⑤S四边形ABFE＝S△ABC；其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2021秋 长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作 PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．5
二．填空题
10．（2022春 滨海县月考）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝　 　．
11．（2022春 泰州月考）已知 ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是 　 　cm．
12．（2022春 海安市月考）在平行四边形ABCD中，AB＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AD的长为 　 　．
13．（2021秋 桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．
14．（2022春 邗江区校级月考）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S BEPG＝1，则S AEPH＝　 　．
15．（2022春 沭阳县月考）已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为 　 　．
三．解答题
16．（2022 陕西模拟）如图，AC为 ABCD的对角线，点E、F在AC上，且AE＝CF，求证：DE＝BF．
17．（2021春 杨浦区期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
18．（2021春 金安区校级期末）如图，在 ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝4，求 ABCD的面积．
19．（2021 长兴县模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求 ABCD的面积．
20．（2021 绍兴）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点D，F，E，C相邻两点间的距离相等时，求的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 桓台县期末）如图，在 ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（　　）
A．110° B．70° C．55° D．35°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠D+40°，
∴∠D＝70°，
∴∠B＝70°，
故选：B．
2．（2022 宝鸡模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝3，AC＝8，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝4，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10．
故选：C．
3．（2021春 泉州期中）若 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝32，且△ABO的周长为22，则CD边的长为（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC+BD＝32，
∴AO+BO＝16，
∵△ABO的周长是22，
∴AB+OA+OB＝22，
∴AB＝6，
∴CD＝AB＝6，
故选：D．
4．（2021春 瓯海区期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，△ABD的面积为24，则△DOE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，△ABD面积为24，
∴S△BOC＝S△AOD＝S△COD＝S△AOB＝12，
∵点E是CD的中点，
∴S△DOE＝S△COD＝6，
故选：B．
5．（2022春 睢宁县月考） ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（　　）
A．8 B．20 C．14 D．22
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，
∴7﹣5＜BC＜7+5，
即2＜BC＜12，
故选：A．
6．（2021秋 九龙坡区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），
∴ ABCD的周长为16，
故选：C．
7．（2021春 长宁区校级期中）平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm
【解析】解：如图所示：
①当点E在相等AD上时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
设AE＝AB＝3k，DE＝2k，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝8，
∴3k+5k＝8，
解得k＝1，
∴AB＝3cm．
②当点E在AD的延长线上时，
同理可得AB＝AE＝3k，DE＝2k，
∵AB+AD＝8，
∴3k+k＝8，
∴k＝2，
∴AB＝6cm，
综上所述，AB的长为3cm或6cm．
故选：D．
8．（2022春 十堰月考）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．则：①OE＝OF；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S△AOB＝S ABCD；④图中共有4对全等三角形；⑤S四边形ABFE＝S△ABC；其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝COAC，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCA，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF；故①正确，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴4﹣3＜OB＜4+3，
∴2＜BD＜14，故②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴S△AOB＝S ABCD；故③错误；
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA共6对．，故④错误；
∵△AEO≌△CFO，
∴S四边形ABFE＝S△ABC；故⑤正确；
故选：B．
9．（2021秋 长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作 PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．5
【解析】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．
故选：C．
二．填空题
10．（2022春 滨海县月考）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝　127°　．
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝53°，
∴∠C＝360°﹣53°﹣90°﹣90°＝127°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝127°．
故答案为：127°．
11．（2022春 泰州月考）已知 ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是 　10　cm．
【解析】解：∵平行四边形的周长为48cm，
∴AB+BC＝24cm；
又△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，
∴BC﹣AB＝4cm，
解得：AB＝10cm，BC＝14cm．
∵AB＝CD，
∴CD＝10cm
故答案为：10．
12．（2022春 海安市月考）在平行四边形ABCD中，AB＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AD的长为 　14或18　．
【解析】解：①在 ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠FDC，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝8，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝14，
∴AD＝BC＝14．
②在 ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠FDC，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝8，
∴BC＝BE+CF+EF＝18，
∴AD＝BC＝18；
综上所述：AD的长为14或18．
故答案为：14或18．
13．（2021秋 桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　　．
【解析】解：作AM⊥BC于M，如图所示：
则∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，
∴AM＝＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC AM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE＝S△DOF，
∴图中阴影部分的面积＝ ABCD的面积＝，
故答案为：．
14．（2022春 邗江区校级月考）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S BEPG＝1，则S AEPH＝　2　．
【解析】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB＝S△BGP，
同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，
即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．
∵CG＝2BG，S BEPG＝1，
∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝2×1＝2；
故答案为：2．
15．（2022春 沭阳县月考）已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为 　（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）　．
【解析】解：根据题意画出草图得：
点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（7，4），
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）．
三．解答题
16．（2022 陕西模拟）如图，AC为 ABCD的对角线，点E、F在AC上，且AE＝CF，求证：DE＝BF．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
17．（2021春 杨浦区期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
【解析】（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中，，
∴△DEC≌△AEF（ASA），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
18．（2021春 金安区校级期末）如图，在 ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝4，求 ABCD的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF．
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（2）∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF．
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝BE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴ ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE BE＝2×2＝4．
19．（2021 长兴县模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．
（1）求证：∠OBE＝∠ADO；
（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，
①求证：△EFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求 ABCD的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD＝2AD，
∴AD＝DO，
∴BC＝BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE＝∠OBC，
∴∠OBE＝∠ADO；
（2）①证明：∵BC＝BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA＝90°，
∵G为AB中点，
∴EG＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF＝CD
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②解：由①得EF∥AB，
∵EF⊥EG，
∴EG⊥AB，
∵G是AB的中点，
∴AE＝BE，
设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，
∴BE＝AE＝3x，
在Rt△BEC中，BC＝10，
∴EC2+BE2＝BC2，
即x2+（3x）2＝102，
解得x＝，
∴AC＝，BE＝，
∴S ABCD＝2S△ABC＝．
20．（2021 绍兴）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点D，F，E，C相邻两点间的距离相等时，求的值．
【解析】解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
（2）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，∴＝2；
综上所述，的值为或或2．
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