4.4平行四边形的判定 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版八年级下 4.4平行四边形的判定定理同步练习
一．选择题
1．（2021春 麦积区期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，再添加下列其中一个条件后，四边形ABCD不一定是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A＝∠C
2．（2021春 娄星区校级期中）下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（　　）
A．一组对边相等且平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
3．（2022 天河区一模）如图， ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝EC D．AE＝EC
4．（2022春 金华月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD
5．（2021秋 招远市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：
①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC；③AC⊥BD ④AC平分∠BAD；
⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2012春 浦东新区期末）如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
7．（2021 霍邱县一模）如图，E是平行四边形ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD．添加以下条件，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠DCE B．∠AEC＝∠CBD C．EF＝BF D．∠AEB＝∠BCD
8．（2021春 郧西县期末）下列能够判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC
9．（2021春 雁塔区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②∠ABC＝∠ADC，AB∥CD；③AB∥CD，OB＝OD；④AB＝CD，OA＝OC，能判定四边形ABCD为平行四边形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021春 邗江区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．1
二．填空题
11．（2021春 雁塔区校级月考）已知平面直角坐标系内有四个点A（0，3），B（0，﹣1），C（3，4），D（3，y）．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则y的值为 　 　．
12．（2021春 西湖区校级期中）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 　 　．
13．（2021春 商河县校级期末）如图， ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是　 　．
14．（2021春 娄底期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是　 　（写出一个即可）．
15．（2021秋 栖霞市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 　 　．
16．（2021春 路南区期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝6，DC＝9，AB＝15，点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当有一点到达终点时，点P、Q就停止运动．当运动时间为 　 　s时，四边形PQBC为平行四边形．
三．解答题
17．（2021秋 龙岗区校级期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
18．（2021 道外区三模）如图，在平行四边形ABCD中．点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF、BE相交于点M，连接CE、DF相交于点．
（1）如图1，求证：四边形EMFN为平行四边形；
（2）如图2，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以MN为边的所有平行四边形．
19．（2022春 九龙坡区校级月考）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，BO＝DO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．
20．（2022春 泰州月考）如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝5：4，AE⊥ED，求∠EDC的度数．
21．（2021 香坊区三模）如图1，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝4，求DF的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春 麦积区期末）在四边形ABCD中，AB∥CD，再添加下列其中一个条件后，四边形ABCD不一定是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A＝∠C
【解析】解：A、∵AB∥CD，若AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，若AD＝BC，则四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B选项符合题意；
C、∵AB∥CD，若AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，故C选项不符合题意；
D、∵AB∥CD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：B．
2．（2021春 娄星区校级期中）下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（　　）
A．一组对边相等且平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
【解析】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、两条对角线互相平分是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2022 天河区一模）如图， ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝EC D．AE＝EC
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
由AE＝EC，不能判定四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（2022春 金华月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD
【解析】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
5．（2021秋 招远市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法：
①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD；
⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵AD＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确，
∵AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×8＝24，故⑤正确；
正确的个数有5个，
故选：D．
6．（2012春 浦东新区期末）如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　）
A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2
【解析】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC＝×8＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△AEC＝S△ABC＝×4＝2cm2，
故选：C．
7．（2021 霍邱县一模）如图，E是平行四边形ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD．添加以下条件，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠DCE B．∠AEC＝∠CBD C．EF＝BF D．∠AEB＝∠BCD
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；
B、∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意，
C、∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，
，
∴△DEF≌△CBF（ASA），
∴DF＝CF，
∵EF＝BF，
∴四边形BCED为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故D符合题意；
故选：D．
8．（2021春 郧西县期末）下列能够判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC
【解析】解：如图所示：
A、∵AB∥CD，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB＝AD，CB＝CD，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AB＝CD，AD＝BC，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意，
故选：D．
9．（2021春 雁塔区校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②∠ABC＝∠ADC，AB∥CD；③AB∥CD，OB＝OD；④AB＝CD，OA＝OC，能判定四边形ABCD为平行四边形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：①∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
③∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
④AB＝CD，OA＝OC，∠AOB＝∠OCD，不能判定△AOB与△OCD全等，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形；
能判定四边形ABCD为平行四边形的有3个，
故选：C．
10．（2021春 邗江区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．1
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
故选：A．
二．填空题
11．（2021春 雁塔区校级月考）已知平面直角坐标系内有四个点A（0，3），B（0，﹣1），C（3，4），D（3，y）．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则y的值为 　0或8　．
【解析】解：如图所示：
∵点A（0，3），B（0，﹣1），C（3，4），D（3，y），
∴AB∥CD，
由图象可知，满足条件的等D坐标为（3，0）或（3，8），
∴y＝0或8，
故答案为：0或8．
12．（2021春 西湖区校级期中）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 　①③④　．
【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
③∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④，
故答案为：①③④．
13．（2021春 商河县校级期末）如图， ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是　2　．
【解析】解：如图，在 ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD．
∵点E在CD的延长线上，
∴AB∥ED．
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝ED，
∴AB＝ED＝DC＝EC＝2．
故答案为：2．
14．（2021春 娄底期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是　AE＝CF（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【解析】解：增加条件：AE＝CF，理由如下：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
若AE＝CF，则有AO﹣AE＝CO﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）．
15．（2021秋 栖霞市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 　36或32或28　．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
如图1，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，
∵CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，
∴10×2+8×2＝36，
∴平行四边形ABCD的周长为36；
如图2，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，
∵CD＝AB＝10，DB＝AC＝6，
∴10×2+6×2＝32，
∴平行四边形ABDC的周长为32；
如图3，平行四边形ACBD以AC、BC为邻边，
∵AD＝BC＝8，DB＝AC＝6，
∴8×2+6×2＝28，
∴平行四边形ACBD的周长为28，
综上所述，此平行四边形的周长为36或32或28，
故答案为：36或32或28．
16．（2021春 路南区期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝6，DC＝9，AB＝15，点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当有一点到达终点时，点P、Q就停止运动．当运动时间为 　5　s时，四边形PQBC为平行四边形．
【解析】解：∵AD＝BC＝6，DC＝9，
∴AD+DC＝15，
由题意，点P在CD上，设运动时间为t秒，则CP＝15﹣2t，BQ＝t，
根据题意得到15﹣2t＝t，
解得：t＝5，
故答案为：5．
三．解答题
17．（2021秋 龙岗区校级期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，
∴BE＝DF，AE＝CF，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
18．（2021 道外区三模）如图，在平行四边形ABCD中．点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF、BE相交于点M，连接CE、DF相交于点．
（1）如图1，求证：四边形EMFN为平行四边形；
（2）如图2，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以MN为边的所有平行四边形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：以MN为边的所有平行四边形为：平行四边形BMNF、平行四边形EMND、平行四边形AMNE、平行四边形FMNC，理由如下：
连接EF，如图所示：
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
同（1）得：四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，
∴AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，
∴四边形AMNE、四边形FMNC、四边形BMNF、四边形EMND是平行四边形，
19．（2022春 九龙坡区校级月考）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，BO＝DO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠BOC，OB＝OD，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵OB＝OD，OE⊥BD，
∴BE＝ED，
∴∠CBD＝∠BDE＝15°，
∵∠CDE＝15°，
∴∠BDC＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+15°＝45°．
20．（2022春 泰州月考）如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝5：4，AE⊥ED，求∠EDC的度数．
【解析】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴AD＝BC，AB＝AE，∠B＝∠DAE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）知AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠B：∠CAD＝5：4，
∴∠B：∠ACB＝5：4，
设∠B＝5x，∠ACB＝4x，
∵AE⊥ED，
∴∠AED＝90°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠BAC＝∠AED＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴5x+4x＝90°，
∴x＝10°，
∴∠B＝∠ADC＝50°，∠ADE＝∠ACB＝4x＝40°，
∴∠EDC＝10°．
21．（2021 香坊区三模）如图1，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝4，求DF的长．
【解析】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED(ASA)．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，DF＝2DE．
在Rt△EMB中，EM＝BE sin∠ABC＝2，
在Rt△EMD中，∠EDM＝30°，
∴DE＝2EM＝4，
∴DF＝2DE＝8．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)