5.1 矩形 同步练习(含解析)

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名称 5.1 矩形 同步练习(含解析)
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文件大小 1.2MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2022-04-12 21:13:06

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文档简介

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浙教版八年级下 5.1矩形同步练习
一.选择题
1.(2022 信阳一模)下列关于矩形的说法不正确的是(  )
A.对角线平分且相等 B.四个角都是直角 C.有四条对称轴 D.是中心对称图形
2.(2021秋 法库县期中)如图,矩形ABCD中,DE⊥AC于E,若∠ADE=2∠EDC,则∠BDE的度数为(  )
A.36° B.30° C.27° D.18°
3.(2021秋 青羊区校级期中)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为(  )
A.16 B.20 C.29 D.34
4.(2021春 洛阳期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5.P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为(  )
A. B. C. D.
5.(2021秋 丹东期末)四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分,要使它成为矩形,可添加条件(  )
A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD
6.(2021秋 秦都区期末)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOB的面积是3,则矩形ABCD的面积是(  )
A.6 B.9 C.12 D.15
7.(2021秋 襄都区校级期末)如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=6,则AB的长为(  )
A.3 B. C. D.6
8.(2020秋 福山区期末)如图,点P是矩形ABCD的对角线上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD,若AE=1,PF=3,则图中阴影部分的面积为(  )
A.3 B.6 C.9 D.12
9.(2021秋 锦州期末)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AC交BC于点F,EF⊥BD于点F,则OE+EF的值为(  )
A. B.2 C. D.2
10.(2021秋 铁西区期末)如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当OP=PD时,点P的坐标是(  )
A.(2.5,4) B.(2,4) C.(4,4) D.(5,4)
二.填空题
11.(2021春 吉林期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AD=12,则OC=   .
12.(2021春 汉阳区校级期中)在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.AE⊥BD于点E,若AC=8,OE:DE=1:3,则AE=   .
13.(2021 黑龙江模拟)如图,E,F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点,连接BE,DF,BD,请添加一个适当的条件,使△BED≌△DFB,   (填一个即可).
14.(2021秋 阿城区期末)在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E,BC=4,AE=3,则AB的长是    .
15.(2020春 江岸区校级月考)矩形ABCD中,AD=AB,AE平分∠BAD,DF⊥AE于F,BF交DE、CD于O、H,下列结论:
①∠DEA=3∠EDC;②BF=FH;③OD=2OE;④BC﹣CH=2EF,其中正确结论的序号为   .
16.(2021秋 新兴县期中)如图,矩形ABCD中,线段AD沿AM折叠,使D点落在BC上,若∠DAM=30°,则∠MNC=   °.
三.解答题
17.(2021春 汉阳区月考)如图,在平行四边形ABCD中,∠OAD=∠ODA.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOD=120°,AB=6.求AC的长.
18.(2022 武功县模拟)如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,且FC=AE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形DEBF是矩形;
(2)若AF平分∠DAB,CF=6,DF=10,求BF的长.
19.(2021秋 连南县期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC至点E,使BC=CE,连接AE、DE、AC.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
20.(2021 盘龙区二模)如图,已知点E是 ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF=BC.
(1)求证:四边形ABFC为矩形;
(2)若△AFD是等边三角形,且边长为4,求四边形ABFC的面积.
21.(2021春 江北区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠BDE=15°,求∠DOE;
(3)在(2)的条件下,若AB=2,求△BOE的面积.
22.(2021春 会昌县期末)如图,在平行四边形ABCD中,点P是AB边上一点(不与A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,连结CQ.
(1)若∠BPC=∠AQP,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,当AP=4,AD=12时,求AQ的长.
答案与解析
一.选择题
1.(2022 信阳一模)下列关于矩形的说法不正确的是(  )
A.对角线平分且相等 B.四个角都是直角 C.有四条对称轴 D.是中心对称图形
【解析】解:A.矩形的对角线平分且相等,说法正确,故本选项不合题意;
B.矩形的四个角都是直角,说法正确,故本选项不合题意;
C.矩形有两条对称轴,原说法错误,故本选项符合题意;
D.矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心,故本选项不合题意.
故选:C.
2.(2021秋 法库县期中)如图,矩形ABCD中,DE⊥AC于E,若∠ADE=2∠EDC,则∠BDE的度数为(  )
A.36° B.30° C.27° D.18°
【解析】解:在矩形ABCD中,∠ADC=90°.
∵∠ADE=2∠EDC,
∴∠ADE=60°,∠EDC=30°,
∵DE⊥AC,
∴∠DCE=90°﹣30°=60°,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=60°,
∴∠DOC=180°﹣2×60°=60°
∴∠BDE=90°﹣∠DOC=30°.
故选:B.
3.(2021秋 青羊区校级期中)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为(  )
A.16 B.20 C.29 D.34
【解析】解:∵AB=5,
∴CD=5,
∵AD=12,∠D=90°,
∴AC=13,
∵点O和点M分别是AC和AD的中点,
∴OB=6.5,AM=AD=6,OM是△ACD的中位线,
∴OM=CD=2.5,
∴C四边形ABOM=AB+BO+OM+MA=5+6.5+2.5+6=20.
故选:B.
4.(2021春 洛阳期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5.P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为(  )
A. B. C. D.
【解析】解:连接PC,如图:
∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴四边形ECFP是矩形,
∴EF=PC,
当PC最小时,EF也最小,
∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
∴AB===13,
当CP⊥AB时,PC最小,
此时,CP===,
∴线段EF长的最小值为,
故选:C.
5.(2021秋 丹东期末)四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分,要使它成为矩形,可添加条件(  )
A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD
【解析】解:需要添加的条件是AC=BD,理由如下:
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形);
故选:B.
6.(2021秋 秦都区期末)如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若△AOB的面积是3,则矩形ABCD的面积是(  )
A.6 B.9 C.12 D.15
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=DO,
∴S△AOB=S△BOC=S△AOD=S△OCD=3,
∴矩形ABCD的面积=12,
故选:C.
7.(2021秋 襄都区校级期末)如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=6,则AB的长为(  )
A.3 B. C. D.6
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=OB=OD=3,
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=3,
故选:A.
8.(2020秋 福山区期末)如图,点P是矩形ABCD的对角线上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD,若AE=1,PF=3,则图中阴影部分的面积为(  )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】解:作PM⊥AD于M,交BC于N.如图:
则四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=×1×3=,
∴S阴=+=3,
故选:A.
9.(2021秋 锦州期末)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AC交BC于点F,EF⊥BD于点F,则OE+EF的值为(  )
A. B.2 C. D.2
【解析】解:∵AB=2,BC=4,
∴矩形ABCD的面积为8,AC===2,
∴BO=CO=AC=,
∵对角线AC,BD交于点O,
∴△BOC的面积为2,
∵EO⊥AO,EF⊥DO,
∴S△BOC=S△BOE+S△COE,
2=CO×EO+BO×EF,
∴2=××EO+×EF,
∴(EO+EF)=4,
∴EO+EF=,
故选:A.
10.(2021秋 铁西区期末)如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当OP=PD时,点P的坐标是(  )
A.(2.5,4) B.(2,4) C.(4,4) D.(5,4)
【解析】解:过点P作PE⊥OA于点E,
∵长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,
∴OD=5,
∵OP=PD,PE⊥OA,
∴OE=2.5,
∴点P的坐标为(2.5,4);
故选:A.
二.填空题
11.(2021春 吉林期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AD=12,则OC= 6.5 .
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,AC=BD,OC=OA,
在Rt△ABD中,BD=,
∴OC=AC==,
故答案为:6.5.
12.(2021春 汉阳区校级期中)在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.AE⊥BD于点E,若AC=8,OE:DE=1:3,则AE= 2 .
【解析】解:如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=8,AO=CO=4,OD=BO=4,
∵OE:DE=1:3,
∴DE=3OE,
∴DO=DE﹣OE=2OE=4,
∴OE=2,
∵AE⊥BD,
∴∠AEO=90°,
∴AE===2,
故答案为:2.
13.(2021 黑龙江模拟)如图,E,F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点,连接BE,DF,BD,请添加一个适当的条件,使△BED≌△DFB, ED=FB (填一个即可).
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
所以添加ED=FB,
利用SAS即可使△BED≌△DFB.
故答案为:ED=FB.
14.(2021秋 阿城区期末)在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E,BC=4,AE=3,则AB的长是  2或8 .
【解析】解:分两种情况:
①当点E在AD的上方时,如图,
则AE=3,AD=BC=4,
∵∠EAD=90°,
∴DE===5,
∵OE是线段BD的垂直平分线,
∴BE=DE=5,
∴AB=BE﹣AE=2;
②当点E在AD的下方时,如图,
则AE=3,AD=BC=4,
∵∠EAD=90°,
∴DE===5,
∵OE是线段BD的垂直平分线,
∴BE=DE=5,
∴AB=AE+BE=8;
综上所述,AB的长为2或8,
故答案为:2或8.
15.(2020春 江岸区校级月考)矩形ABCD中,AD=AB,AE平分∠BAD,DF⊥AE于F,BF交DE、CD于O、H,下列结论:
①∠DEA=3∠EDC;②BF=FH;③OD=2OE;④BC﹣CH=2EF,其中正确结论的序号为 ①②④ .
【解析】解:∵四边形ABCD为矩形,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=45°,
∵∠AFD=∠ABE=90°,
∴△AFD与△ABE都为等腰直角三角形,即AF=DF,AB=BE,
∴AE=AB,
又∵AD=AB,
∴AD=AE,
∴∠AED=∠ADE=67.5°,
∴∠DEC=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,
∴∠EDC=90°﹣67.5°=22.5°,
∴∠DEA=3∠EDC,故选项①正确;
过F作GM⊥AD,与AD交于G点,与BC交于M点,
利用三线合一得到G为AD中点,
∴F为BH中点,M为BC中点,
∴BF=FH,选项②正确;
∵AD=AF,AD=AB,
∴AF=AB,
∴∠AFB=67.5°,
∴∠OFE=∠OEF=67.5°,
∴OE=OF,
∴∠ODF=∠OFD=22.5°,
∴OF=OD,
∴OD=OE,选项③错误;
∴∠FDE=67.5°﹣45°=22.5°,∠EDC=90°﹣67.5°=22.5°,
∴∠FDE=∠DEC,
∵EF⊥DF,EC⊥CD,
∴EF=EC,
∵△EFM为等腰直角三角形,
∴FM=ME,
∴BC﹣CH=2CM﹣2FM=2CM﹣2ME=2EF,选项④正确,
则正确的序号为①②④.
故答案为:①②④.
16.(2021秋 新兴县期中)如图,矩形ABCD中,线段AD沿AM折叠,使D点落在BC上,若∠DAM=30°,则∠MNC= 30 °.
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,
根据折叠可知:△ADM≌△ANM,
∴∠DAM=∠MAN=30°,
∴∠NAB=90°﹣∠DAM﹣∠MAN=90°﹣30°﹣30°=30°,
∴∠ANB=90°﹣∠NAB=90°﹣30°=60°,
∴∠MNC=180°﹣∠ANB﹣∠ANM=180°﹣60°﹣90°=30°,
故答案为:30.
三.解答题
17.(2021春 汉阳区月考)如图,在平行四边形ABCD中,∠OAD=∠ODA.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOD=120°,AB=6.求AC的长.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB,
∵∠OAD=∠ODA,
∴OA=OD,
∴AC=2OA=BD=2OC,
∴平行四边形ABCD是矩形;
(2)解:由(1)得:四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,OA=OD,
∵∠AOD=120°,
∴∠OAD=30°,∠AOB=60°,
∴∠BAO=60°,
∴△ABO是等边三角形,
∴OA=AB=6,
∴AC=2AO=12.
18.(2022 武功县模拟)如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,且FC=AE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形DEBF是矩形;
(2)若AF平分∠DAB,CF=6,DF=10,求BF的长.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,DC=AB,
∵FC=AE,
∴CD﹣FC=AB﹣AE,
即DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴平行四边形DEBF是矩形;
(2)解:∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠BAF,
∵DC∥AB,
∴∠DFA=∠BAF,
∴∠DFA=∠DAF,
∴AD=DF=10,
在Rt△AED中,由勾股定理得:DE===8,
由(1)得:四边形DEBF是矩形,
∴BF=DE=8.
19.(2021秋 连南县期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC至点E,使BC=CE,连接AE、DE、AC.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
【解析】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BC=CE,
∴AD=CE,
又∵AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,
∵AB=AE,
∴DC=AE,
又∵四边形ACED是平行四边形,
∴平行四边形ACED是矩形.
20.(2021 盘龙区二模)如图,已知点E是 ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF=BC.
(1)求证:四边形ABFC为矩形;
(2)若△AFD是等边三角形,且边长为4,求四边形ABFC的面积.
【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠CFE,
∵点E是 ABCD中BC边的中点,
∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,

∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AB=FC,
∵AB∥FC,
∴四边形ABFC是平行四边形,
又∵AF=BC,
∴平行四边形ABFC为矩形;
(2)解:由(1)得:四边形ABFC为矩形,
∴∠ACF=90°,
∵△AFD是等边三角形,
∴AF=DF=4,CF=DF=2,
∴AC===2,
∴四边形ABFC的面积=AC×CF=2×2=4.
21.(2021春 江北区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠BDE=15°,求∠DOE;
(3)在(2)的条件下,若AB=2,求△BOE的面积.
【解析】(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,DE平分∠ADC,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴EC=DC,
又∵∠BDE=15°,
∴∠CDO=60°,
又∵矩形的对角线互相平分且相等,
∴OD=OC,
∴△OCD是等边三角形,
∴∠DOC=∠OCD=60°,
∴∠OCB=90°﹣∠DCO=30°,
∵CO=CE,
∴∠COE=(180°﹣30°)÷2=75°,
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+75°=135°;
(3)解:作OF⊥BC于F.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,
∴AO=BO=CO=DO,
∴BF=FC,
∴OF=CD=1,
∵∠OCB=30°,AB=2,
∴BC=2,
∵DE平分∠ADC,∠ADC=90°,
∴∠EDC=45°,
在Rt△EDC中,EC=CD=2,
∴△BOE的面积= EB OF=×(2﹣2)×1=﹣1.
22.(2021春 会昌县期末)如图,在平行四边形ABCD中,点P是AB边上一点(不与A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,连结CQ.
(1)若∠BPC=∠AQP,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,当AP=4,AD=12时,求AQ的长.
【解析】(1)证明:∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP,∠BPC=∠AQP,
∴∠CPQ=∠A,
∵PQ⊥CP,
∴∠A=∠CPQ=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠CPQ=90°,
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,

∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL),
∴DQ=PQ,
设AQ=x,则DQ=PQ=12﹣x,
在Rt△APQ中,AQ2+AP2=PQ2,
∴x2+42=(12﹣x)2,
解得:,
∴AQ的长是.
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