5.1 矩形 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 5.1矩形同步练习
一．选择题
1．（2022 信阳一模）下列关于矩形的说法不正确的是（　　）
A．对角线平分且相等 B．四个角都是直角 C．有四条对称轴 D．是中心对称图形
2．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（　　）
A．36° B．30° C．27° D．18°
3．（2021秋 青羊区校级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．16 B．20 C．29 D．34
4．（2021春 洛阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021秋 丹东期末）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
6．（2021秋 秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
7．（2021秋 襄都区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．3 B． C． D．6
8．（2020秋 福山区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．（2021秋 锦州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（　　）
A． B．2 C． D．2
10．（2021秋 铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP＝PD时，点P的坐标是（　　）
A．（2.5，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（5，4）
二．填空题
11．（2021春 吉林期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝5，AD＝12，则OC＝　 　．
12．（2021春 汉阳区校级期中）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．AE⊥BD于点E，若AC＝8，OE：DE＝1：3，则AE＝　 　．
13．（2021 黑龙江模拟）如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB，　 　（填一个即可）．
14．（2021秋 阿城区期末）在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E，BC＝4，AE＝3，则AB的长是 　 　．
15．（2020春 江岸区校级月考）矩形ABCD中，AD＝AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论：
①∠DEA＝3∠EDC；②BF＝FH；③OD＝2OE；④BC﹣CH＝2EF，其中正确结论的序号为　 　．
16．（2021秋 新兴县期中）如图，矩形ABCD中，线段AD沿AM折叠，使D点落在BC上，若∠DAM＝30°，则∠MNC＝　 　°．
三．解答题
17．（2021春 汉阳区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠OAD＝∠ODA．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝6．求AC的长．
18．（2022 武功县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝6，DF＝10，求BF的长．
19．（2021秋 连南县期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使BC＝CE，连接AE、DE、AC．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
20．（2021 盘龙区二模）如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
21．（2021春 江北区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
22．（2021春 会昌县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2022 信阳一模）下列关于矩形的说法不正确的是（　　）
A．对角线平分且相等 B．四个角都是直角 C．有四条对称轴 D．是中心对称图形
【解析】解：A．矩形的对角线平分且相等，说法正确，故本选项不合题意；
B．矩形的四个角都是直角，说法正确，故本选项不合题意；
C．矩形有两条对称轴，原说法错误，故本选项符合题意；
D．矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（　　）
A．36° B．30° C．27° D．18°
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．
故选：B．
3．（2021秋 青羊区校级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　）
A．16 B．20 C．29 D．34
【解析】解：∵AB＝5，
∴CD＝5，
∵AD＝12，∠D＝90°，
∴AC＝13，
∵点O和点M分别是AC和AD的中点，
∴OB＝6.5，AM＝AD＝6，OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，
∴C四边形ABOM＝AB+BO+OM+MA＝5+6.5+2.5+6＝20．
故选：B．
4．（2021春 洛阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：连接PC，如图：
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
当PC最小时，EF也最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
当CP⊥AB时，PC最小，
此时，CP＝＝＝，
∴线段EF长的最小值为，
故选：C．
5．（2021秋 丹东期末）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
【解析】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
6．（2021秋 秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3，
∴矩形ABCD的面积＝12，
故选：C．
7．（2021秋 襄都区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．3 B． C． D．6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝3，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3，
故选：A．
8．（2020秋 福山区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，
∴S阴＝+＝3，
故选：A．
9．（2021秋 锦州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（　　）
A． B．2 C． D．2
【解析】解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
10．（2021秋 铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP＝PD时，点P的坐标是（　　）
A．（2.5，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（5，4）
【解析】解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，
∴OD＝5，
∵OP＝PD，PE⊥OA，
∴OE＝2.5，
∴点P的坐标为（2.5，4）；
故选：A．
二．填空题
11．（2021春 吉林期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝5，AD＝12，则OC＝　6.5　．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OC＝OA，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴OC＝AC＝＝，
故答案为：6.5．
12．（2021春 汉阳区校级期中）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．AE⊥BD于点E，若AC＝8，OE：DE＝1：3，则AE＝　2　．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，AO＝CO＝4，OD＝BO＝4，
∵OE：DE＝1：3，
∴DE＝3OE，
∴DO＝DE﹣OE＝2OE＝4，
∴OE＝2，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴AE＝＝＝2，
故答案为：2．
13．（2021 黑龙江模拟）如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB，　ED＝FB　（填一个即可）．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
所以添加ED＝FB，
利用SAS即可使△BED≌△DFB．
故答案为：ED＝FB．
14．（2021秋 阿城区期末）在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E，BC＝4，AE＝3，则AB的长是 　2或8　．
【解析】解：分两种情况：
①当点E在AD的上方时，如图，
则AE＝3，AD＝BC＝4，
∵∠EAD＝90°，
∴DE＝＝＝5，
∵OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝BE﹣AE＝2；
②当点E在AD的下方时，如图，
则AE＝3，AD＝BC＝4，
∵∠EAD＝90°，
∴DE＝＝＝5，
∵OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝AE+BE＝8；
综上所述，AB的长为2或8，
故答案为：2或8．
15．（2020春 江岸区校级月考）矩形ABCD中，AD＝AB，AE平分∠BAD，DF⊥AE于F，BF交DE、CD于O、H，下列结论：
①∠DEA＝3∠EDC；②BF＝FH；③OD＝2OE；④BC﹣CH＝2EF，其中正确结论的序号为　①②④　．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝45°，
∵∠AFD＝∠ABE＝90°，
∴△AFD与△ABE都为等腰直角三角形，即AF＝DF，AB＝BE，
∴AE＝AB，
又∵AD＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝67.5°，
∴∠DEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠EDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠DEA＝3∠EDC，故选项①正确；
过F作GM⊥AD，与AD交于G点，与BC交于M点，
利用三线合一得到G为AD中点，
∴F为BH中点，M为BC中点，
∴BF＝FH，选项②正确；
∵AD＝AF，AD＝AB，
∴AF＝AB，
∴∠AFB＝67.5°，
∴∠OFE＝∠OEF＝67.5°，
∴OE＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD＝22.5°，
∴OF＝OD，
∴OD＝OE，选项③错误；
∴∠FDE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∠EDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FDE＝∠DEC，
∵EF⊥DF，EC⊥CD，
∴EF＝EC，
∵△EFM为等腰直角三角形，
∴FM＝ME，
∴BC﹣CH＝2CM﹣2FM＝2CM﹣2ME＝2EF，选项④正确，
则正确的序号为①②④．
故答案为：①②④．
16．（2021秋 新兴县期中）如图，矩形ABCD中，线段AD沿AM折叠，使D点落在BC上，若∠DAM＝30°，则∠MNC＝　30　°．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根据折叠可知：△ADM≌△ANM，
∴∠DAM＝∠MAN＝30°，
∴∠NAB＝90°﹣∠DAM﹣∠MAN＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠ANB＝90°﹣∠NAB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MNC＝180°﹣∠ANB﹣∠ANM＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
三．解答题
17．（2021春 汉阳区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠OAD＝∠ODA．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝6．求AC的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵∠OAD＝∠ODA，
∴OA＝OD，
∴AC＝2OA＝BD＝2OC，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠BAO＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2AO＝12．
18．（2022 武功县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝6，DF＝10，求BF的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴CD﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝10，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝8．
19．（2021秋 连南县期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使BC＝CE，连接AE、DE、AC．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
又∵四边形ACED是平行四边形，
∴平行四边形ACED是矩形．
20．（2021 盘龙区二模）如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是 ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，CF＝DF＝2，
∴AC＝＝＝2，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝2×2＝4．
21．（2021春 江北区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积＝ EB OF＝×（2﹣2）×1＝﹣1．
22．（2021春 会昌县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
【解析】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
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