2022年初中数学浙教版八年级下册4.2平行四边形及其性质 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·兴业期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=125°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．75° C．65° D．55°
2．（2021八下·龙湾期中）已知在 ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
3．（2021八下·拱墅期中）平行四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不对
4．（2021·北部湾模拟）已知 ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A．DE＝BE B．∠DEA＝ ∠DAB
C．∠DEA＝∠BAE D．AD＝DE
5．（2021八下·富顺开学考）如图，在 ABCD中，点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，则∠AEB（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．度数不确定
二、填空题
6．（2021·淮安模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，AE⊥BD，垂足为E，若∠C＝50°，则∠EAB的度数为 .
7．（2021·武汉模拟）在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝ .
8．（2021八下·宣化期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中全等的三角形共有 对.
9．（2021八上·郑州期中）已知点 和点 ，若直线 轴，则m的值为 .
10．（2021九上·连山期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．一条直线经过点 ．且将平行四边形 分割成面积相等的两部分，则此直线的表达式是 ．
三、综合题
11．（2021八下·南川期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝50°.
（1）作∠BAD的平分线AE交DC于E；
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）.
（2）按（1）作图所示，若BC＝7，AB＝11，求CE的长.
12．（2021·盐都模拟）如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点F.
（1）尺规作图：过点A作 平分 交 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.
（2）求证： .
13．（2021·永嘉模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF∥AB交DE的延长线于点F.
（1）求证：△BDE≌△CFE.
（2）若AC＝8，CF＝5，求BC的长.
14．（2021八下·綦江期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ，交 于点 ．
（1）尺规作图：作 的平分线 ，交 于点 ．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）；
（2）求证： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DCB=∠A=125°
∴∠MCD=180°-∠DCB=55°。
故答案为：D
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对角互补，计算出∠A的对角∠DCB，然后利用邻补角互补计算即可。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝100°，
∴∠A=50°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，
所以B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，∠DEA＝ ∠DAB，
当AD＝AB时可得到ED＝EB，此时四边形ABCD为菱形，
∴DE＝BE不一定成立.
故答案为：A.
【分析】 由基本作法得∠BAE＝∠DAE，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，所以∠DEA＝∠BAE，则∠DAE＝∠DEA，从而得到AD＝DE，∠DEA＝∠DAB，然后对各选项进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，
∴AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝90°；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可得AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，则∠BAE+∠ABE＝90°，然后根据三角形内角和定理可求解.
6．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△DBC中，BD＝BC，∠C＝50°，
∴∠BDC=∠C=50°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABE=50°，
∵AE⊥BD，垂足为E，
∴∠EAB =90°-50°=40°，
故答案为：40°.
【分析】由等腰三角形性质可得∠BDC=∠C=50°，由平行四边形的对边平行得出AB∥CD，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BDC=∠ABE=50°，由直角三角形性质可得结果.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ ，
∴OA＝ AC＝ ，
∴OB＝ ，
∴BD＝2OB＝ ；
故答案为： .
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，由勾股定理求出AC，得出OA的长，再由勾股定理求出OB，即可得出对角线BD的长.
8．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD
∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA共4对.
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】-1
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵点A（m+1，-2），B（3，m-1），直线AB∥x轴，
∴m-1= -2，
解得m= -1.
故答案为：-1.
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得m-1=-2，求解可得m的值.
10．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，设点E为AC的中点，设过点EF的直线交平行四边形的对边AB、CD于点H、G，下面证明直线EF必平分平行四边形的面积
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠GCE=∠HAE，∠CGE=∠AHE
∵E为AC的中点
∴EC=EA
∴△CGE≌△AHE
∴
∵
∴
即过平行四边形对角线中点的直线必平分这个平行四边形的面积
分别过点E、C作EM⊥x轴于点M、CN⊥x轴于点N，则EM∥CN
∴
∴AM=MN，即M为AN的中点
∴EM为△CAN的中位线
∴
∵A（-2，0），C（6，4）
∴OA=2，ON=6，CN=4
∴AN=OA+ON=2+6=8，EM=2
∴AM=4
∴OM=AM-OA=2
∴M（2，0），E（2，2）
设过点F、E的直线解析式为y=kx+b（k≠0）
则有 ，解得：
所以直线EF的解析式为y=2x 2
故答案为：
【分析】先求出△CGE≌△AHE，再求出M（2，0），E（2，2），最后利用待定系数法求函数解析式即可。
11．【答案】（1）解：线段AE 即为所求；
（2）解：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
∵BC=7，AB=11，
∴AD=DE=7，CD=AB=11，
∴CE=CD-DE=4，
∴CE的长是4
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，由平行四边形以及平行线的性质可得∠DEA=∠BAE，推出∠DAE=∠AED，得到AD=DE，由BC、AB的值可得AD=DE=7，CD=AB=11，进而求得CE的值.
12．【答案】（1）解：如图，AE为所作；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE BAD，∠DCF ∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的定义得∠BAE=BAD，∠DCF=∠BCD，由平行四边形性质得∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
13．【答案】（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠BDE=∠F，∠B=∠FCE，
在△BDE和△CFE中， ，
∴△BDE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CFE，
∴BD=CF=5，
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=10，
在Rt△ABC中，BC= .
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意用角角边可证△BDE≌△CFE；
（2）由（1）中的全等三角形可得BD=CF， 在Rt△ABC中，用勾股定理可求得BC的值.
14．【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明： 四边形 为平行四边形
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
∴ ，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)根据角平分线的作法作图即可；
(2)根据平行四边形的性质得出AD=BC，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得出有关角相等，最后利用SAS证明△ADE≌△CBF，即可得出AE=CF.
1 / 12022年初中数学浙教版八年级下册4.2平行四边形及其性质 能力阶梯训练——容易版
一、单选题
1．（2021八下·兴业期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=125°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．75° C．65° D．55°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DCB=∠A=125°
∴∠MCD=180°-∠DCB=55°。
故答案为：D
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对角互补，计算出∠A的对角∠DCB，然后利用邻补角互补计算即可。
2．（2021八下·龙湾期中）已知在 ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A等于（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝100°，
∴∠A=50°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等即可求解.
3．（2021八下·拱墅期中）平行四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，
所以B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可求解.
4．（2021·北部湾模拟）已知 ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A．DE＝BE B．∠DEA＝ ∠DAB
C．∠DEA＝∠BAE D．AD＝DE
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，∠DEA＝ ∠DAB，
当AD＝AB时可得到ED＝EB，此时四边形ABCD为菱形，
∴DE＝BE不一定成立.
故答案为：A.
【分析】 由基本作法得∠BAE＝∠DAE，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，所以∠DEA＝∠BAE，则∠DAE＝∠DEA，从而得到AD＝DE，∠DEA＝∠DAB，然后对各选项进行判断即可．
5．（2021八下·富顺开学考）如图，在 ABCD中，点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，则∠AEB（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．度数不确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，
∴AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝90°；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可得AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，则∠BAE+∠ABE＝90°，然后根据三角形内角和定理可求解.
二、填空题
6．（2021·淮安模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，AE⊥BD，垂足为E，若∠C＝50°，则∠EAB的度数为 .
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△DBC中，BD＝BC，∠C＝50°，
∴∠BDC=∠C=50°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABE=50°，
∵AE⊥BD，垂足为E，
∴∠EAB =90°-50°=40°，
故答案为：40°.
【分析】由等腰三角形性质可得∠BDC=∠C=50°，由平行四边形的对边平行得出AB∥CD，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BDC=∠ABE=50°，由直角三角形性质可得结果.
7．（2021·武汉模拟）在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝ .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ ，
∴OA＝ AC＝ ，
∴OB＝ ，
∴BD＝2OB＝ ；
故答案为： .
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，由勾股定理求出AC，得出OA的长，再由勾股定理求出OB，即可得出对角线BD的长.
8．（2021八下·宣化期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中全等的三角形共有 对.
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD
∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA共4对.
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法逐项判断即可。
9．（2021八上·郑州期中）已知点 和点 ，若直线 轴，则m的值为 .
【答案】-1
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：∵点A（m+1，-2），B（3，m-1），直线AB∥x轴，
∴m-1= -2，
解得m= -1.
故答案为：-1.
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得m-1=-2，求解可得m的值.
10．（2021九上·连山期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．一条直线经过点 ．且将平行四边形 分割成面积相等的两部分，则此直线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，设点E为AC的中点，设过点EF的直线交平行四边形的对边AB、CD于点H、G，下面证明直线EF必平分平行四边形的面积
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠GCE=∠HAE，∠CGE=∠AHE
∵E为AC的中点
∴EC=EA
∴△CGE≌△AHE
∴
∵
∴
即过平行四边形对角线中点的直线必平分这个平行四边形的面积
分别过点E、C作EM⊥x轴于点M、CN⊥x轴于点N，则EM∥CN
∴
∴AM=MN，即M为AN的中点
∴EM为△CAN的中位线
∴
∵A（-2，0），C（6，4）
∴OA=2，ON=6，CN=4
∴AN=OA+ON=2+6=8，EM=2
∴AM=4
∴OM=AM-OA=2
∴M（2，0），E（2，2）
设过点F、E的直线解析式为y=kx+b（k≠0）
则有 ，解得：
所以直线EF的解析式为y=2x 2
故答案为：
【分析】先求出△CGE≌△AHE，再求出M（2，0），E（2，2），最后利用待定系数法求函数解析式即可。
三、综合题
11．（2021八下·南川期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝50°.
（1）作∠BAD的平分线AE交DC于E；
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）.
（2）按（1）作图所示，若BC＝7，AB＝11，求CE的长.
【答案】（1）解：线段AE 即为所求；
（2）解：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
∵BC=7，AB=11，
∴AD=DE=7，CD=AB=11，
∴CE=CD-DE=4，
∴CE的长是4
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的概念可得∠DAE=∠BAE，由平行四边形以及平行线的性质可得∠DEA=∠BAE，推出∠DAE=∠AED，得到AD=DE，由BC、AB的值可得AD=DE=7，CD=AB=11，进而求得CE的值.
12．（2021·盐都模拟）如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点F.
（1）尺规作图：过点A作 平分 交 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.
（2）求证： .
【答案】（1）解：如图，AE为所作；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE BAD，∠DCF ∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的定义得∠BAE=BAD，∠DCF=∠BCD，由平行四边形性质得∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
13．（2021·永嘉模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF∥AB交DE的延长线于点F.
（1）求证：△BDE≌△CFE.
（2）若AC＝8，CF＝5，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠BDE=∠F，∠B=∠FCE，
在△BDE和△CFE中， ，
∴△BDE≌△CFE（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CFE，
∴BD=CF=5，
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=10，
在Rt△ABC中，BC= .
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意用角角边可证△BDE≌△CFE；
（2）由（1）中的全等三角形可得BD=CF， 在Rt△ABC中，用勾股定理可求得BC的值.
14．（2021八下·綦江期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ，交 于点 ．
（1）尺规作图：作 的平分线 ，交 于点 ．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明： 四边形 为平行四边形
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
∴ ，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)根据角平分线的作法作图即可；
(2)根据平行四边形的性质得出AD=BC，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得出有关角相等，最后利用SAS证明△ADE≌△CBF，即可得出AE=CF.
1 / 1
