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第5章 特殊的平行四边形 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 双流区期末）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【思路点拨】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【答案】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及矩形的性质，正确区分矩形和菱形的性质是解题的关键．
2．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
【思路点拨】根据已知条件可得∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．
【答案】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
3．（2021秋 普宁市期末）下列说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线平分每组对角 B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【思路点拨】根据菱形的判定与性质，正方形的判定，矩形的性质解答即可．
【答案】解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（2021秋 广南县期末）菱形ABCD添上下列的哪个条件，可证明ABCD是正方形（ ）
A．AC＝BD B．AB＝CD C．BC＝CD D．都不正确
【思路点拨】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可．
【答案】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．即∠ABC＝90°或AC＝BD．故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
5．（2021秋 博白县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
【思路点拨】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．
【答案】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
6．（2021秋 芝罘区期末）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形 C．正方形 D．对角线相等的四边形
【思路点拨】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【答案】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD；故选B．
【点睛】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．
7．（2021秋 沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
【思路点拨】根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，证明AE＝AF，即可解决问题．
【答案】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BFA＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
8．（2021秋 雁塔区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．16 C．32 D．32
【思路点拨】证△CDE是等腰直角三角形，得∠CDE＝45°，CD＝DE，再证△DPF是等腰直角三角形，得PF＝DF，PD＝PF，设PF＝DF＝x，则PD＝x，求出x＝8﹣4，则DE＝x+x＝4，BC＝CD＝DE＝8，即可求解．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠DAB＝45°，∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，CD＝DE，
∵PF⊥CD，∴△DPF是等腰直角三角形，∴PF＝DF，PD＝PF，
设PF＝DF＝x，则PD＝x，∵△PDF的周长为8，∴x+x+x＝8，解得：x＝8﹣4，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，∴BC＝CD＝DE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明△DPF为等腰直角三角形是解题的关键．
9．（2021·绵阳市八年级期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF =BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【详解】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，
∵∠BAE＝∠DAE,∠ABE＝∠AHD＝90°,AE＝AD，
∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，
∵∠EBH＝∠OHD＝22.5°,BE＝DH,∠AEB＝∠HDF＝45°，
∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE-AH=BC-CD，∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）
=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④．故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
10．（2021秋 呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】先由正方形的性质得到∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，然后结合EC＝FC得到△BCE≌△DCF，结合角平分线的性质得到相关的角，然后可以判定④，再利用等腰三角形的性质得到①，然后利用直角三角形斜边上的中线得到②，最后结合中位线的性质得证③．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
∵EC＝FC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠EBC＝∠FDC，∠BEC＝∠F，
∵BE平分∠DBC，∴∠DBH＝∠FBH＝∠FDC＝22.5°，
∴∠BDF＝∠BDC+∠FDC＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝∠BEC＝90°﹣∠EBC＝90°﹣22.5°＝67.5°，故④错误，不符合题意；∴∠BDF＝∠F，
∴BD＝BF，△BDF是等腰三角形，∴DH＝HF，即点H是DF的中点，
∴CH＝HF，∴∠HCF＝∠F＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠F＝45°，故②正确，符合题意；
∵O为BD的中点，∴OH是三角形BDF的中位线，
∴OH∥BF，故①正确，符合题意；∴GH＝CF，
在正方形ABCD中，BD＝BC，∴BC＝BD，
∵BF＝BD，CF＝BF﹣BC，∴CF＝BD﹣BD＝BD，
∴GH＝BD＝×BC＝BC，故③错误，不符合题意；
∴正确的有①②两个，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解题的关键是利用已知条件得证△BCE≌△DCF．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 禅城区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
【思路点拨】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE，
∵DE平分∠AEC，∵∠DEC＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝13，
在直角△ABE中，BE＝＝＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝13﹣12＝1．故答案为1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，正确求得AE的长是关键．
12．（2021春 西吉县期末）菱形的周长是8，高为1，则菱形两邻角的度数比是 ．
【思路点拨】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论．
【答案】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB，∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，∴∠DAB：∠B＝5：1；故答案为5：1．
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
13．（2021秋 大东区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝ ．
【思路点拨】连接OP．由矩形的性质和勾股定理得得OA＝OD＝5，S△AOD＝12，再由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝OA（PE+PF），即可求解．
【答案】解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD＝AB AD＝6×8＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OD，BD＝＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
14．（2021秋 铁西区期末）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 ．
【思路点拨】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形，再分别得到BD、EF的长，即可得到答案．
【答案】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴四边形BEDF是菱形，∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，∴EF＝4，∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．故答案为：20．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
15．（2021秋 五常市月考）如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为 ．
【思路点拨】由△ADM于△DCN全等，得出∠CDN＝∠DAM，从而得到∠DPM＝90°，由此∠APN＝90°，再由直角三角形斜边的中线的性质求出PQ．
【答案】解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中，∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°，
∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中，AN＝＝2，∴PQ＝，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
16．（2021秋 泉港区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 ．
【思路点拨】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【答案】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，∴×8×6＝×10×CD，解得CD＝4.8，∴EF＝4.8．答案：4.8．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
17．（2021·浙江九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为_______．
【答案】4
【分析】连接、，如图，利用菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，接着证明得到，然后根据折叠的性质得，从而有，于是计算即可．
【详解】解：连接、，如图，点为菱形的对角线的交点，
，，，
在中，，，，
在和中，，，
过点折叠菱形，使，两点重合，是折痕，，
，，故答案为：4．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．
18．（2021秋 吉安期中）在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为 ．
【思路点拨】分三种情况：①当PA＝PD时，②当AP＝AD时，③当DP＝DA时，分别由菱形的性质和等腰直角三角形的判定与性质求解即可．
【答案】解：∵四边形ABD是菱形，AB＝4，∴AB∥CD，BC＝CD＝AD＝AB＝4，
当△PAD是等腰三角形时，分三种情况：
①当PA＝PD时，如图1，过A作AM⊥BP于M，过P作PN⊥AD于N，
则AN＝DN＝AD＝2，四边形AMPN是矩形，∴MP＝AN＝1，
在Rt△ABM中，∠B＝45°，∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝AB＝2，∴BP＝BM+MP＝2+2；
②当AP＝AD时，如图2，过A作AM⊥BP于M，
∵AP＝AD＝AB，∴MP＝BM＝2，∴BP＝BM+MP＝4；
③当DP＝DA时，如图3，则DP＝DA＝CD，
∵AB∥CD，∴∠DCP＝∠B＝45°，∴∠DPC＝∠DCP＝45°，
∴△CDP是等腰直角三角形，∴CP＝CD＝4，∴BP＝BC+CP＝4+4；
综上所述，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为2+2或4或4+4，
故答案为：2+2或4或4+4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春 邹城市期末）如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
【思路点拨】（1）证△ABE≌△FCE（AAS），得AB＝FC，再由AB∥FC，证四边形ABFC是平行四边形，然后由AF＝BC即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠ACF＝90°，再由等边三角形的性质得AF＝DF＝4，CF＝DF＝3，然后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是 ABCD中BC边的中点，∴BE＝CE，
∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝FC，
∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
20．（2021 宁波模拟）如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且BE＝DF．（1）求证： ABCD是菱形；（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积．
【思路点拨】（1）证△AEB≌△AFD．得AB＝AD，即可得出结论
（2）连接AC，证△ACD是等边三角形，得CD＝AC，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2CF＝4，则CD＝AC＝4，AF＝2，即可求解．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS）．∴AB＝AD，∴ ABCD是菱形．
（2）解：连接AC，如图所示：
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF＝60°，∴∠ECF＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD，∠ACF＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∠CAF＝30°，∴CD＝AC，AC＝2CF＝4，
∴CD＝AC＝4，AF＝＝＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD×AF＝4×2＝8．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键，属于中考常考题型．
21．（2021·浙江杭州市·八年级期末）如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；②若EB＝1，求CF的长．
【答案】（1）；（2）① ；②2．
【分析】（1）根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据矩形的性质和角的关系得出关系式即可；
②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，根据矩形的性质和边的关系解答即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠ACD＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠CAF＝∠DAF﹣∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD，
∵∠CAF＝30°，∴∠BAF＝∠CAD＝，
∴△ACD是含30°的直角三角形，∴AD：DC＝∶1，即矩形的长宽之比为∶1；
（2）①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，∵∠CAF＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CAF＝y，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝x+y，
∵∠ACD＝∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝y+x+y＝x+2y，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACE+∠BCE＝90°，
∴x+2y+x+y＝90°，∴y＝30°-x；
②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAC，
∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，∴∠AFE＝∠ACB，
∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠EAF＝∠EFA，∴AE＝EF，
∵AB⊥BC，BG＝BE，∴CG＝CE，∴∠ECB＝∠GCB，
∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，∴AG＝CG，
又∵CE＝CG，∴CE＝AG，∴CF+EF＝AE+2EB，∴CF＝2EB＝2．
【点睛】本题考查了四边形得到综合题、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（2021 广东模拟）如图，点F，H是菱形ABCD的对角线BD上的两点，以FH为对角线作矩形EFGH，使点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上．
（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
【思路点拨】（1）根据矩形的性质得出EH＝FG，EH∥FG，求出∠GFH＝∠EHF，求出∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的判定得出△BGF≌△DEH即可；
（2）根据菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出AE＝ED，根据△BGF≌△DEH得出BG＝DE，求出四边形ABGE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AB＝EG，根据矩形的性质得出EG＝FH＝2，求出AB＝2，再求出答案即可．
【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠DHE+∠EHF＝180°，∠BFG+∠GFH＝180°，∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，，
∴△BGF≌△DEH（AAS），∴∠AEF＝∠CGH；
（2）解：连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，
∵△BGF≌△DEH，∴BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，
∵四边形EFGH是矩形，FH＝2，∴EG＝FH＝2，∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC＝4AB＝4×2＝8．
【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，题目综合性比较强，有一定的难度．
23．（2021春 沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
【思路点拨】（1）如图1，过M作MN⊥BC于N，根据正方形的性质得到∠D＝∠C＝90°，根据矩形的性质得到MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，由全等三角形的性质即可得到AF＝EM；
（2）如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，根据正方形的性质得到∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，求得∠GAE＝∠DAE，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB等量代换得到∠GAE＝∠AEB，根据线段的和差即可得到结论．
【答案】（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，
∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，
在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；
（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，
在△ABG与△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，
∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（2021秋 海丰县期末）如图，AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，点E，F分别为线段AD，CD上的动点，且∠EBF＝60°．（1）当BE⊥AD时，求证：AE＝AD；（2）连接EF，判断△BEF的形状，并作证明；（3）当AB的长度为定值时，四边形BEDF的面积是否为定值？请说明理由．
【思路点拨】（1）连接BD，证△ABD是等边三角形即可得证结论；
（2）由题知∠EBF＝60°，根据ASA证△ABE≌△DBF，得出BE＝BF，即可得出△BEF是等边三角形；（3）由△ABE≌△DBF，得出S△ABE＝S△DBF，根据四边形BEDF的面积＝S△BED+S△DBF＝S△BED+S△ABE＝S△ABD，得出四边形BEDF的面积是定值．
【答案】（1）证明：如下图，连接BD，
∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵BE⊥AD，∴AE＝AD；
（2）解：△BEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝60°，
∵∠EBF＝60°，∴∠FBD+∠EBD＝60°，∴∠FBD＝∠ABE，
∵AB＝BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，
在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴BE＝BF，∴BEF是等边三角形；
（3）解：四边形BEDF的面积是定值，理由如下：
∵△ABE≌△DBF，∴S△ABE＝S△DBF，
∵四边形BEDF的面积＝S△BED+S△DBF＝S△BED+S△ABE＝S△ABD，
∴当AB的长度为定值时，△ABD的面积为定值，四边形BEDF的面积也为定值．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
25．（2021春 杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
【思路点拨】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证；
（2）连接CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证；（3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE，
∵BF⊥DE，∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC，∴∠CBG＝∠EDC，
在Rt△BCG与Rt△DCE中，∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA），∴CG＝CE．
（2）作CM⊥CF交BF于点M，
∵△BCG≌△DCE，∴∠E＝∠BGC，
∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°，∴∠MCG＝∠FCE，
在△MCG和△FCE中，，∴△MCG≌△FCE（ASA），
∴MG＝FE，MC＝FC，∴△MCF为等腰直角三角形，∴∠BFC＝45°．
（3）作CN⊥BF于点N，∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF，
∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2，
∴CG＝DG＝CE＝1，∴BG＝DE＝＝，
∴BC CG＝BG CN，∴CN＝＝＝，
在△CNG和△DFG中，，∴△CNG≌△DFG（AAS），
∴DF＝CN＝，∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键
26．（2021·成都·九年级二模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；（2）若，连结，①求证：；②求的度数；（3）若，，，M是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）
【分析】（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，AB＝DC，ADBC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；
（3）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝，∴DM＝．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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第5章 特殊的平行四边形 单元测评卷
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋 双流区期末）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
3．（2021秋 普宁市期末）下列说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线平分每组对角 B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
4．（2021秋 广南县期末）菱形ABCD添上下列的哪个条件，可证明ABCD是正方形（ ）
A．AC＝BD B．AB＝CD C．BC＝CD D．都不正确
5．（2021秋 博白县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
6．（2021秋 芝罘区期末）若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形 C．正方形 D．对角线相等的四边形
7．（2021秋 沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
8．（2021秋 雁塔区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（ ）
A．16 B．16 C．32 D．32
9．（2021·绵阳市八年级期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2021秋 呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不写解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021秋 禅城区期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为 ．
12．（2021春 西吉县期末）菱形的周长是8，高为1，则菱形两邻角的度数比是 ．
13．（2021秋 大东区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝ ．
14．（2021秋 铁西区期末）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为 ．
15．（2021秋 五常市月考）如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为 ．
16．（2021秋 泉港区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 ．
17．（2021·浙江九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为_______．
18．（2021秋 吉安期中）在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春 邹城市期末）如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
20．（2021 宁波模拟）如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且BE＝DF．（1）求证： ABCD是菱形；（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积．
21．（2021·浙江杭州市·八年级期末）如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；②若EB＝1，求CF的长．
22．（2021 广东模拟）如图，点F，H是菱形ABCD的对角线BD上的两点，以FH为对角线作矩形EFGH，使点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上．
（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
23．（2021春 沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
24．（2021秋 海丰县期末）如图，AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，点E，F分别为线段AD，CD上的动点，且∠EBF＝60°．（1）当BE⊥AD时，求证：AE＝AD；（2）连接EF，判断△BEF的形状，并作证明；（3）当AB的长度为定值时，四边形BEDF的面积是否为定值？请说明理由．
25．（2021春 杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
26．（2021·成都·九年级二模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；（2）若，连结，①求证：；②求的度数；（3）若，，，M是的中点，求的长．
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