(共23张PPT)
4.6 反证法
浙教版 八年级下
情景导入
小故事:路边苦李
从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
新知讲解
王戎推理方法是:
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
归纳总结
王戎的推理方法是:
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
新知讲解
【例】小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了，小华对小明说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由吗：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
新知讲解
在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
反证法定义：
证明真命题的方法
直接证法
间接证法
反证法
知识拓展
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．
新知讲解
反证法的思路:
假设命题结论不成立
假设不成立
假设命题结论反面成立
与已知条件矛盾
假设
推理得出的结论
与定理，定义，公理矛盾
所证命题成立
归谬
反设
结论
典例精析
【例】求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
已知：四边形ABCD.
求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，即∠A<90 °，∠B＜90 °，∠ C<90 °，∠ D<90 ° ，
于是∠ A＋ ∠ B+ ∠ C＋ ∠ D<360 °.
这与“四边形的内角和为360 °”矛盾，所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
归纳总结
反证法的步骤
一、提出假设
假设命题不成立（即命题的反面成立）
二、推理论证
从假设出发经过推理
三、得出矛盾
假设出发所得结论与已知条件或定义、基本事实、定理矛盾
四、结论成立
从而说明假设不成立，原命题成立
归纳总结
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题；
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题；
（5）解决整除性问题；
（6）一些不等量命题的证明；
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；
（8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
新知讲解
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法
(2)如果选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾
新知讲解
已知:如图，l1∥l2 ,l2 ∥l3.
求证：l１∥l３.
l２
l１
l３
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点P就有两条直线l１， l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
证明：假设l１不平行于l３，则l１与l３相交,设交点为P.
P
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 l１∥l３.
归纳总结
用反证法证题时，应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
课堂练习
1．“m＜n”的反面应是( )
A．m≠n B．m＞n C．m＝n D．m≥n
2.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( )
A．5 B．2 C．4 D．8
D
B
课堂练习
3．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应先
假设 .
三角形三个内角中至多有一个锐角
4．求证：在直角三角形中至少有一个角不大于45°.
已知：△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.
证明：假设 ，
则∠A____45°，∠B____45°，
∴∠A＋∠B＋∠C＞45°＋____＋____，这与 相矛盾．
所以 不能成立，所以∠A，∠B中至少有一个不大于45°.
∠A，∠B都大于45°
＞
＞
45°
90°
三角形内角和为180°
假设
拓展提高
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，且BD≠CE，
求证：AB≠AC.
证明：设AB＝AC，
则∠ABC＝∠ACB，
∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，
∴BE＝CD，∴△BCD≌△CBE，
∴BD＝CE，与BD≠CE相矛盾，则AB≠AC.
中考链接
6.（中考 温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2
A
7.（中考 通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
反证法步骤：
板书设计
4.6 反证法
1.反证法定义
2.反证法步骤
作业布置
课本 P103 练习题
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浙教版数学八年级下4.6反证法教案
课题 4.6反证法 单元 4 学科 数学 年级 八
学习 目标 1、了解反证法的含义。 2、了解反证法的基本步骤。 3、会利用反证法证明简单命题。
重点 反证法的含义和步骤。
难点 用两种方法完成平行线的传递性的证明
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的 他运用了怎样的推理方法 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
讲授新课 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理、定理等矛盾.从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. （1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立.假设结论反面成立（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；正确推理导出矛盾3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.否定假设肯定结论 典例精析 求证:四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角. 假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，即∠Ａ＿＜＿9０°， ∠Ｂ＿＜＿9０°，∠Ｃ＿＜＿9０°，∠D ＿＜＿9０°则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ+∠D ＜ 36０度这于＿四边形的内角和等于36０°＿矛盾所以假设命题＿不成立＿，所以，四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角． 反证法步骤： 合作学习 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(1)你会选择哪一种证明方法 反证法 2)如果你选择反证法,先怎样假设 结果和什么产生矛盾 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3求证： l１∥l３ 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 ∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交） ∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行） 宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等. 学生讨论思考，试着回答问题。 在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真 正有效地理解和掌握知识. 与老师一起一步步探究新知，得出结论 让学生主动从事想象、猜测、观察、实验、验证与交流等数学活动，使学生通过活动体会感受拼法和学习的乐趣，经历从多角度思考问题的过程. 让学生通过观察、思考的活动，在解决问题的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯. 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力
课堂练习 1．“m＜n”的反面应是( ) A．m≠n B．m＞n C．m＝n D．m≥n 2.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( ) A．5 B．2 C．4 D．8 3．用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应先假设 . 4．求证：在直角三角形中至少有一个角不大于45°. 已知：△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°. 证明：假设 ， 则∠A____45°，∠B____45°， ∴∠A＋∠B＋∠C＞45°＋____＋____，这与 相矛盾．所以 不能成立，所以∠A，∠B中至少有一个不大于45°. 5.如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC. 6.（中考 温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ） A．a=-2 B．a=-1 C．a=1 D．a=2 7.（中考 通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ） A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 4.6 反证法 1.反证法定义 2.反证法步骤
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