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2021-2022学年浙教版数学8年级下学期
第二章一元二次方程组综合提高测试
一、单选题(共10题;共30分)
1.(3分)用配方法解方程 时,配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)已知关于x的一元二次方程 ,则下列关于该方程根的判断,正确的是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.实数根的个数与实数b的取值有关
3.(3分)若一元二次方程x2﹣x﹣2=0的两根为x1,x2,则(1+x1)+x2(1﹣x1)的值是( )
A.4 B.2 C.1 D.﹣2
4.(3分)要组织一次篮球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,据场地和时间等条件的限制,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,刚好完成所有比赛.设比赛组织者邀请x个队参赛,则根据题意所列方程正确的是( )
A.x(x+1)=28 B.x(x﹣1)=28
C.x(x+1)=28 D.x(x﹣1)=28
5.(3分)若α,β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两实根,且 =﹣ ,则m等于( )
A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3
6.(3分)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于 的一元二次方程 的两个根,则k的值等于
A.7 B.7或6 C.6或 D.6
7.(3分)已知实数满足,则的值是( ).
A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1
8.(3分)已知α,β是方程x2+2014x+1=0的两个根,则(1+2016α+α2)(1+2016β+β2)的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(3分)设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积,关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).
A.Δ=16S2 B.Δ=-16S2 C.Δ=16S D.Δ=-16S
10.(3分)关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正.给出四个结论:①这两个方程的根都是负根;② ;③ .其中正确结论的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题(共6题;共24分)
11.(4分)原价100元的某商品,连续两次降价后售价为81元,若每次降低的百分率相同,则降低的百分率为 .
12.(4分)已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2,则x12+x22= .
13.(4分)在△ABC中,已知两边a=3,b=4,第三边为c.若关于x的方程 有两个相等的实数根,则该三角形的面积是
14.(4分)若m,n是一元二次方程 的两个实数根,则 的值为 .
15.(4分)已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=80,则(x﹣2017)2= .
16.(4分)若a≠b,且 则 的值为
三、综合题(共7题;共66分)
17.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
(1)(3分)求证:该方程有两个不等的实根;
(2)(3分)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9,求m的值.
18.(8分)某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“十一”国庆节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均可多售出2件.
(1)(2分)设每件童装降价x元时,每天可销售 件,每件盈利 元;(用x的代数式表示)
(2)(3分)每件童装降价多少元时,平均每天赢利1200元.
(3)(3分)要想平均每天赢利2000元,可能吗?请说明理由.
19.(8分)为满足社区居民健身的需要,市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区,经考察,劲松公司有A,B两种型号的健身器材可供选择.
(1)(4分)劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元,经过连续两年降价,2017年每套售价为1.6万元,求每套A型健身器材年平均下降率n;
(2)(4分)2017年市政府经过招标,决定年内采购并安装劲松公司A,B两种型号的健身器材共80套,采购专项经费总计不超过112万元,采购合同规定:每套A型健身器材售价为1.6万元,每套B型健身器材售价为1.5(1﹣n)万元.
①A型健身器材最多可购买多少套?
②安装完成后,若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%,市政府计划支出10万元进行养护,问该计划支出能否满足一年的养护需要?
20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.
(1)(5分)求m的取值范围;
(2)(5分)若x1 x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.
21.(10分)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=﹣p,x1 x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)(2分)若p=﹣4,q=3,求方程x2+px+q=0的两根.
(2)(4分)已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,求 + 的值;
(3)(4分)已知关于x的方程x2+mx+n=0,(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.
22.(12分)如图,在边长为12cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
(1)(2分)经过6秒后,BP= cm,BQ= cm;
(2)(5分)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
(3)(5分)经过几秒△BPQ的面积等于 cm2?
23.(12分)已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)(3分)求k的取值范围;
(2)(4分)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)(5分)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】10%
12.【答案】23
13.【答案】6或
14.【答案】3
15.【答案】39
16.【答案】1
17.【答案】(1)证明:∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中,△=(﹣4)2﹣4×1×(﹣m2)=16+4m2>0,
∴该方程有两个不等的实根
(2)解:∵该方程的两个实数根分别为x1、x2,
∴x1+x2=4①,x1 x2=﹣m2②.
∵x1+2x2=9③,
∴联立①③解之,得:x1=﹣1,x2=5,
∴x1 x2=﹣5=﹣m2,
解得:m=±
18.【答案】(1)20+2x;40-x
(2)解:依题可得:(20+2x)(40-x)=1200,
∴x2-30x+200=0,
∴(x-10)(x-20)=0,
∴x1=10,x2=20,
答:每件童装降价10元或20元时,平均每天赢利1200元.
(3)解:(20+2x)(40-x)=2000,
∴x2-30x+600=0,
∴△=b2-4ac=(-30)2-4×1×600=-15000,
∴原方程无解.
答:不可能平均每天赢利2000元.
19.【答案】(1)解:依题意得:2.5(1﹣n)2=1.6,
则(1﹣n)2=0.64,
所以1﹣n=±0.8,
所以n1=0.2=20%,n2=1.8(不合题意,舍去).
答:每套A型健身器材年平均下降率n为20%;
(2)解:①设A型健身器材可购买m套,则B型健身器材可购买(80﹣m)套,
依题意得:1.6m+1.5×(1﹣20%)×(80﹣m)≤112,
整理,得
1.6m+96﹣1.2m≤1.2,
解得m≤40,
即A型健身器材最多可购买40套;
②设总的养护费用是y元,则
y=1.6×5%m+1.5×(1﹣20%)×15%×(80﹣m),
∴y=﹣0.1m+14.4.
∵﹣0.1<0,
∴y随m的增大而减小,
∴m=40时,y最小.
∵m=40时,y最小值=﹣01×40+14.4=10.4(万元).
又∵10万元<10.4万元,
∴该计划支出不能满足养护的需要.
20.【答案】(1)解:∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,
∴△=(﹣6)2﹣4(m+4)=20﹣4m≥0,
解得:m≤5,
∴m的取值范围为m≤5.
(2)解:∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,
∴x1+x2=6①,x1 x2=m+4②.
∵3x1=|x2|+2,
当x2≥0时,有3x1=x2+2③,
联立①③解得:x1=2,x2=4,
∴8=m+4,m=4;
当x2<0时,有3x1=﹣x2+2④,
联立①④解得:x1=﹣2,x2=8(不合题意,舍去).
∴符合条件的m的值为4.
21.【答案】(1)解:当p=﹣4,q=3,则方程为x2﹣4x+3=0,
解得:x1=3,x2=1
(2)解:∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解,
当a≠b时,a+b=15,a﹣b=﹣5,
+ = = = =﹣47;
当a=b时,原式=2
(3)解:设方程x2+mx+n=0,(n≠0),的两个根分别是x1,x2,
则 + = =﹣ , = = ,
则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数
22.【答案】(1)6;12
(2)解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=12cm,∠A=∠B=∠C=60°,
当∠PQB=90°时,
∴∠BPQ=30°,
∴BP=2BQ.
∵BP=12﹣x,BQ=2x,
∴12﹣x=2×2x,
∴x= ,
当∠QPB=90°时,
∴∠PQB=30°,
∴BQ=2PB,
∴2x=2(12﹣x),
x=6
答6秒或 秒时,△BPQ是直角三角形
(3)解:作QD⊥AB于D,
∴∠QDB=90°,
∴∠DQB=30°,
∴DB= BQ=x,
在Rt△DBQ中,由勾股定理,得
DQ= x,
∴ ,
解得;x1=10,x2=2,
∵x=10时,2x>12,故舍去
∴x=2.
答:经过2秒△BPQ的面积等于 cm2.
23.【答案】(1)解:∵关于x的分式方程 的根为非负数,
∴x≥0且x≠1,
又∵x= ≥0,且 ≠1,
∴解得k≥﹣1且k≠1,
又∵一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0中2﹣k≠0,
∴k≠2,
综上可得:k≥﹣1且k≠1且k≠2
(2)解:∵一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0有两个整数根x1、x2,且k=m+2,n=1时,
∴把k=m+2,n=1代入原方程得:﹣mx2+3mx+(1﹣m)=0,即:mx2﹣3mx+m﹣1=0,
∴△≥0,即△=(﹣3m)2﹣4m(m﹣1),且m≠0,
∴△=9m2﹣4m(m﹣1)=m(5m+4)≥0,
则m>0或m≤;
∵x1、x2是整数,k、m都是整数,
∵x1+x2=3,x1 x2= =1﹣ ,
∴1﹣ 为整数,
∴m=1或﹣1,
由(1)知k≠1,则m+2≠1,m≠-1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得:x2﹣3x+1﹣1=0,
x2﹣3x=0,
x(x﹣3)=0,
x1=0,x2=3;
(3)解:|m|≤2不成立,理由是:
由(1)知:k≥﹣1且k≠1且k≠2,
∵k是负整数,
∴k=﹣1,
(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0且方程有两个实数根x1、x2,
∴x1+x2=﹣ = =﹣m,x1x2= = ,
x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2,
x12+x22═x1x2+k2,
(x1+x2)2﹣2x1x2﹣x1x2=k2,
(x1+x2)2﹣3x1x2=k2,
(﹣m)2﹣3× =(﹣1)2,
m2﹣4=1,
m2=5,
m=± ,
∴|m|≤2不成立
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