第五章《特殊平行四边形》单元综合提高测试（含答案）

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第五章 特殊平行四边形
综合提高测试
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列说法正确的是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
2．（3分）如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
3．（3分）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（3分）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（　　）
A．5 B． C． D．
5．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　）
A．1 B． C． D．4
6．（3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（　　）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
7．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝ AD．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿
CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
9．（3分）如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（　　）
A．11 B．15 C．16 D．24
10．（3分）如图，矩形ABCD的面积为1cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共6题；共24分)
11．（4分）菱形的周长为12，它的一个内角为60°，则菱形的较短的对角线长为　 　．
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　 　.

13．（4分）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　 　°.
14．（4分）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于　 　．
15．（4分）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若=，则3S△BDG=13S△DGF．
其中正确的结论是 　 　（写所有正确结论的序号）.

三、综合题(共7题；共66分)
17．（6分）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点重合.点 落在点 处.已知 ， .
（1）（3分）求证： 是等腰三角形；
（2）（3分）求线段 的长.
18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）（3分）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）（3分）若AB＝ ，BD＝2，求OE的长．
19．（8分）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF.
（1）（4分）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）（4分）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长.
20．（8分）如图，点P是∠AOB内的一点，过点P作PC∥OB，PD∥OA，分别交OA、OB于点C、D，且PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E、F．
（1）（4分）求证：OC CE=OD DF；
（2）（4分）当点P位于∠AOB的什么位置时，四边形CODP是菱形并证明你的结论．
21．（12分）在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接BD．
（1）（3分）计算∠AEC的度数；
（2）（4分）求证：BE=DC；
（3）（5分）点P是线段EF上一动点（不与点E，F重合），在点P运动过程中，能否使△BDP成为等腰直角三角形？若能，写出点P满足的条件并证明；若不能，请说明理由．
22．（12分）如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF的面积为S1，△PDE的面积为S2．
（1）（3分）求证：BP⊥DE．
（2）（4分）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）（5分）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．
23．（14分）如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5,过点D作AB的垂线DH,垂足为H,交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．
（1）（3分）求证:DM=BM；
（2）（3分）求MH的长；
（3）（4分）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（4）（4分）在（3）的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的 t值，使∠MPB与 ∠BCD互为余角，若存在,则求出t值，若不存，在请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】3
12．【答案】14
13．【答案】135
14．【答案】4或8
15．【答案】20°
16．【答案】①③④
17．【答案】（1）证明： 四边形 是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）解： 四边形 是矩形
，
设 ，则
因为折叠，则 ， ，
在 中
即
解得：
18．【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAB=∠DAC
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC
同理得：AD=AB，
∴AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵BD=2BO=2，∴BO=1
∵AO=
∴AO=2，
∴AC=2AO=4
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，AO=CO，
∴OE==2
19．【答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，FE∥AB， ∴四边形BEFD是平行四边形
（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6， ∴DF＝DB＝DA＝ AB＝3.
∴四边形BEFD是菱形.
∵DB＝3， ∴四边形BEFD的周长为12.
20．【答案】（1）证明：（1）∵PC∥OB，PD∥OA，
∴四边形OCPD是平行四边形，且∠ECP=∠O，∠FDP=∠O．
∴PC=OD，PD=OC，∠ECP=∠FDP．
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEC=∠PFD=90°．
∴△PCE∽△PDF．
∴．
即得．
∴OC CE=OD DF．
（2）当点P在∠AOB的平分线上时，四边形CODP是菱形．
∵当点P在∠AOB的平分线上时，由PE⊥OA，PF⊥OB，得PE=PF，
∴由△PCE∽△PDF，得，即得PC=PD．
∵四边形CODP是平行四边形，
∴四边形CODP是菱形．
当点P不在∠AOB的平分线上时，可得PE≠PF．即得PC≠PD．
∴当点P不在∠AOB的平分线上时，四边形CODP不是菱形．
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD时矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，
∵∠DAB的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=90°+45°=135°
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AB∥DC，AD∥BC，AB=DC．
∴∠BEA=∠FAD．
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠FAB=∠FAD=45°．
∴∠FAB=∠BEA=45°．
∴AB=BF．
∴BE=DC
（3）解：在点P运动过程中，能使△BDP成为等腰直角三角形，此时点P是线段EF的中点．理由如下：在△ECF中，∠ECF=90°，∠FEC=∠AEB=45°，∴∠F=90°﹣∠FEC=90°﹣45°=45°．∴∠F=∠FEC．∴CE=CF．∵点P是线段EF的中点，∴EP=CP，∠ECP=45°，∠EPC=90°．∴∠DCP=∠DCB+∠ECP=90°+45°=135°．∵∠BEP=∠AEC=135°，∴∠BEP=∠DCP．
在△BEP和△DCP中， ，
∴△BEP≌△DCP（SAS），
∴BP=DP，∠BPE=∠DPC．∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠DPC+∠DPE=∠EPC=90°．∴△BDP为等腰直角三角形
22．【答案】（1）解：如图1中，延长BP交DE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，
∵CP=CE，
∴△BCP≌△DCE，
∴∠BCP=∠CDE，
∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，
∴∠CDE+∠DPM=90°，
∴∠DMP=90°，
∴BP⊥DE．
（2）解：由题意S1﹣S2= （4+x） x﹣ （4﹣x） x=x2（0＜x＜4）．
（3）解：①如图2中，当∠PBF=30°时，∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴DF=DP，∵AD=CD，∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP=30°，∴x=PC=BC tan30°= ，∴S1﹣S2=x2= ．
②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．
由①可知△ABF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP，∵∠PBF=45°，∴∠CBP=22.5°，
∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，
∴∠NBP=∠NPB=22.5°，∴BN=PN= x，∴ x+x=4，∴x=4 ﹣4，∴S1﹣S2=（4 ﹣4）2=48﹣32 ．
23．【答案】（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=∠ACB，CD=CB，在△DCM和△BCM中,
∴△DCM≌△BCM， ∴DM=BM
（2）解：设BM=x，在Rt△BHM中，BM=DM=x，HM=DH DM=4 x，BH=AB AH=2，
根据勾股定理得,BM2=MH2+BH2x2=（4 x）2+22解之：x=∴HM=4-=
（3）解：在△BCM和△DCM中，
∴△BCM≌△DCM，∴BM=DM=,∠CDM=∠CBM=90
① 当P在AB之间时,S=(5 2t)×= t+；②当P在BC之间时S=(2t 5)×=t
（4）存在，∵∠ADM+∠BAD=90 ，∠BCD=∠BAD，∴∠ADM+∠BCD=90 ，
∵∠MPB+∠BCD=90 ，∴∠MPB=∠ADM，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM=∠BAM，
∵AM=AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM=∠ABM，∴∠MPB=∠ABM，
∵MH⊥AB，∴PH=BH=2，∴BP=2BH=4，
∵AB=5，∴AP=1，∴t==
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