5.1.2 矩形的判定同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
5.1　第2课时　矩形的判定
知识点 1　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图5-1-14,要使 ABCD成为矩形,需要添加的条件是 (　　)
图5-1-14
A.∠A+∠B=180° B.∠B+∠C=180°
C.∠A=∠B D.∠B=∠D
2.已知在四边形ABCD中,∠ABC=90°,再补充一个条件使得四边形ABCD为矩形,这个条件可以是 (　　)
A.AC=BD B.AB=BC
C.AC与BD互相平分 D.AC⊥BD
知识点2　有三个角是直角的四边形是矩形
3.在四边形ABCD中,∠C=∠D=90°,若再添加一个条件,就能推出四边形ABCD是矩形,你所添加的条件是　　　　.(写出一个条件即可)
4.如图5-1-15,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,BD=CD,E是BC的中点.
求证:四边形ABED是矩形.
图5-1-15
5.如图5-1-16, ABCD的四个内角的平分线分别交于点E,F,G,H,判断四边形EFGH的形状.
图5-1-16
知识点3　对角线相等的平行四边形是矩形
6.在 ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出 ABCD是矩形,那么这个条件可以是 (　　)
A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD
7.用一把刻度尺来判断一个四边形零件是不是矩形的方法是先测量两组对边是否相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是 　.
8.(教材课内练习T2变式)如图5-1-17,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.
图5-1-17
9.如图5-1-18,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连结AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (　　)
图5-1-18
A.OM=AC B.MB=MO
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
10.如图5-1-19,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则线段EF的长度的最小值为 (　　)
图5-1-19
A. B. C. D.
11.已知:如图5-1-20,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)连结DE,线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系 请证明你的结论.
图5-1-20
12.(2020杭州滨江区期末)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.点E,F在对角线AC上,点M,N分别在边AD,BC上.
(1)如图5-1-21①,若AE=CF=1,M,N分别是AD,BC的中点.求证:四边形EMFN为矩形;
(2)如图②,若AE=CF=0.5,AM=CN=x(0　　　　　　　　　图5-1-21
详解详析
1.C
2.C　[解析] ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形,
∴只要四边形ABCD是平行四边形,即可判定四边形ABCD是矩形,
∴添加AC与BD互相平分.
故选C.
3.∠A=90°(答案不唯一)
4.证明:∵BD=CD,E是BC的中点,
∴DE⊥BC,
∴∠DEB=90°.
又∵∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABED是矩形.
5.解:如图,根据题意,有∠1=∠2,∠3=∠4.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠EFG=∠AFB=90°.
同理,∠E=∠G=∠GHE=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
6.B
7.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形　
[解析] 先测量两组对边是否相等,如果相等,那么四边形为平行四边形,其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.然后测量两条对角线是否相等,如果对角线相等,那么该平行四边形是矩形,其根据是对角线相等的平行四边形是矩形.
8.证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OB=OC=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴EO=FO=GO=HO,
∴四边形EFGH是平行四边形,EG=HF,
∴四边形EFGH是矩形.
9.A　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵OM=AC,OM=MN,
∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.
故选A.
10.D　[解析] 如图,连结CD.
∵DE⊥BC,DF⊥AC,
∠ACB=90°,
∴四边形CEDF是矩形,
∴EF=CD.
由垂线段最短可得当CD⊥AB时,线段EF最短.
∵AC=3,BC=4,
∴AB==5.
当CD⊥AB时,EF=CD==.
故选D.
11.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,BD=CD.
∵AE∥BC,CE⊥AE,
∴CE⊥BC,∴∠ADC=∠DCE=∠AEC=90°,
∴四边形ADCE是矩形,
∴AD=CE.
在Rt△ABD与Rt△CAE中,
∵
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:
∵四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=BD,AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴DE∥AB,DE=AB.
12.解:(1)证明:连结MN,如图①所示.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠B=90°,
∴∠EAM=∠FCN,AC===5.
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴AM=DM=AD,BN=CN=BC,
∴AM=DM=BN=CN.
又∵AM∥BN,
∴四边形ABNM是平行四边形,
∴MN=AB=3.
在△AME和△CNF中,
∵
∴△AME≌△CNF(SAS),
∴EM=FN,∠AEM=∠CFN,
∴∠MEF=∠NFE,
∴EM∥FN,
∴四边形EMFN是平行四边形.
∵AE=CF=1,AC=5,
∴EF=AC-AE-CF=3,
∴MN=EF,
∴四边形EMFN为矩形.
(2)连结MN,过点M作MH⊥BC于点H,如图②所示,
则四边形ABHM是矩形,
∴MH=AB=3,BH=AM=x,
∴HN=BC-BH-CN=4-2x.
∵四边形EMFN为矩形,AE=CF=0.5,
∴MN=EF=AC-AE-CF=4.
在Rt△MHN中,由勾股定理,得32+(4-2x)2=42,
解得x=2±.
又∵0∴x=2-.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)