5.2.1 菱形的性质同步练习（含答案）

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5.2　第1课时　菱形的性质
知识点1　菱形边、角的性质
1.边长为3 cm的菱形的周长是 (　　)
A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm
2.如图5-2-1,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD的长为 (　　)
图5-2-1
A.2 B.2 C.4 D.4
3.(教材课内练习T2变式)如图5-2-2,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.
图5-2-2
知识点2　菱形对角线的性质
4.(教材课内练习T1变式)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (　　)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
5.(2021杭州下城区期末)若菱形的边长为10,一条对角线长为12,则另一条对角线长为　　　　.
6.如图5-2-3,在菱形ABCD中,P是对角线AC上的一点,PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距离为　　　　.
图5-2-3
7.如图5-2-4,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.如果FD=2,求菱形ABCD的周长.
图5-2-4
知识点3　菱形面积的计算
8.如图5-2-5,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=20和BD=18,那么菱形ABCD的面积为　　　　.
图5-2-5
9.如图5-2-6,已知四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,DH⊥AB于点H,则DH=　　　　.
　图5-2-6
10.顺次连结菱形四条边的中点所构成的四边形是 (　　)
A.菱形 B.矩形 C.一般平行四边形 D.一般四边形
11.如图5-2-7,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2.若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为 (　　)
图5-2-7
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2020杭州富阳区期末)如图5-2-8,P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点.若线段PQ长的最大值为8,最小值为8,则菱形ABCD的边长为 (　　)
图5-2-8
A.4 B.10 C.12 D.16
13.(2020杭州江干区期末)如图5-2-9,在菱形ABCD中,E为对角线BD上一点,且AE⊥AB,连结CE.
(1)求证:∠BCE=90°;
(2)当AE=ED=1时,求菱形的边长.
图5-2-9
14.如图5-2-10,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形.
图5-2-10
详解详析
1.C
2.C　[解析] 由菱形ABCD的周长是16,即可求得AB=AD=4.又由∠A=60°,即可证得△ABD是等边三角形,则可求得对角线BD的长为4.
3.[解析] 先根据菱形的对角相等,四条边都相等的性质得到△AFB与△CEB全等的条件,从而证得这两个三角形全等.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C,AB=CB.
在△AFB和△CEB中,∵
∴△AFB≌△CEB,
∴∠ABF=∠CBE.
4.D　
5.16
6.3
7.解:如图,连结BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB∥CD.
∵AC⊥EF,
∴BD∥EF.
又∵AB∥CD,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴EB=FD=2.
∵E是AB的中点,
∴AB=2EB=4,
∴菱形ABCD的周长是16.
8.180
9.　[解析] ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=AC=4,BO=BD=3,
∴AB==5.
∵S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH,
∴DH=.
10.B
11.C　[解析] 如图,作点F关于BD的对称点F',则FP=F'P,连结EF',
∴EP+FP=EP+F'P.
由两点之间线段最短可知:当E,P,F'在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F'P=EF'.
∵四边形ABCD为菱形,周长为12,
∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD.
∵AF=2,AE=1,
∴DF'=DF=1=AE,
∴四边形AEF'D是平行四边形,
∴EF'=AD=3,
∴EP+FP的最小值为3.
故选C.
12.B　[解析] 如图,连结AC,过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=BC.
∵P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点,
∴当点P与点A重合,点Q与点C重合时,PQ有最大值,即AC=8,
当PQ⊥BC时,PQ有最小值,即直线AD,BC之间的距离为8.
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH,AD=AB,
∴CH=8,
∴AH===16.
∵BC2=CH2+BH2,
∴BC2=64+(16-BC)2,
∴BC=10.
故选B.
13.解:(1)证明:∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD.
又∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴∠BAE=∠BCE=90°.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AE=ED=1,
∴∠DAE=∠ADE,
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD.
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°,∠BAE=90°,
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°,
∴BE=2AE=2,
∴AB==,
∴菱形的边长为.
14.[解析] (1)首先连结AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根据菱形的性质,易得△ABC是等边三角形.又由等边三角形三线合一,可证得AE⊥BC,继而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,继而证得BE=DF;
(2)首先连结AC,可得△ABC是等边三角形,即可得AB=AC,∠ACF=∠B=60°.然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△ABE≌△ACF,即可得AE=AF.由∠EAF=60°可证得△AEF是等边三角形.
证明:(1)连结AC,如图①.
∵在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
又∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC.
∵∠AEF=60°,
∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.
又∵在菱形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BCD=180°-∠B=120°,
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD=180°-30°-120°=30°,
∴∠FEC=∠CFE,则EC=CF.
又∵BC=CD,∴BE=DF.
(2)连结AC,如图②.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC,∠D=∠B=60°,∠ACB=∠ACF,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
则∠B=∠ACF=60°.
∵在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD.
又∵∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,
∴∠AEB=∠AFC.
在△ABE和△ACF中,
∵
∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF.
又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形.
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