专题训练(八)　特殊平行四边形中的五种折叠方式（含答案）

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专题训练(八)　特殊平行四边形中的五种折叠方式
　类型之一　把一个顶点折叠到一边上
1.如图8-ZT-1,在矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿DE所在直线折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是 (　　)
图8-ZT-1
A.7 B.8 C.9 D.10
2.(2020宁波奉化区期末)如图8-ZT-2,在菱形纸片ABCD中,AB=3,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则EF的长为　　　　.
图8-ZT-2
3.如图8-ZT-3,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作FG∥CD,交AE于点G,连结DG.
(1)求证:四边形DEFG为菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求的值.
图8-ZT-3
　类型之二　把一个顶点折叠到对角线上
4.如图8-ZT-4所示,将矩形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线上的点D'处.若AB=3,AD=4,则ED的长为 (　　)
图8-ZT-4
A. B.3 C.1 D.
5.(2021杭州下城区期末)如图8-ZT-5是一张矩形纸片ABCD,点E在BC边上,把△DCE沿直线DE折叠,使点C落在对角线BD上的点F处.若AD=6,且5(BF-DF)=3AB,则矩形ABCD的面积=　　　　.
图8-ZT-5
　类型之三　把一个顶点折叠到另一个顶点上
6.把一张矩形纸片ABCD按如图8-ZT-6所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=5 cm,则重叠部分△DEF的面积为　　　　cm2.
图8-ZT-6
7.(2020绍兴上虞区期末改编)如图8-ZT-7,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B处,点C落在点C'处,P为折痕EF上的任意一点,过点P作PG⊥BE,PH⊥BC,垂足分别为G,H.若AD=16,CF=6,则△BEF的面积为　　　　;PG+PH=　　　　.
图8-ZT-7
　类型之四　把一个顶点折叠到图形外或图形内
8.如图8-ZT-8,已知正方形ABCD的对角线长为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分三角形的周长和为 (　　)
图8-ZT-8
A.8 B.4
C.8 D.6
9.如图8-ZT-9,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连结B'D,则B'D的最小值是 (　　)
图8-ZT-9
A.2-2 B.6
C.2-2 D.4
10.如图8-ZT-10,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高线,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB'E,AB'与CD边交于点F,则B'F的长度为　　　　.
图8-ZT-10
11.如图8-ZT-11,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC折叠矩形ABCD,使点B落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长交CD于点F,连结BP.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若△AEP是等边三角形,求证:△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,则△CPF的面积为　　　　.
图8-ZT-11
　类型之五　多次折叠
12.如图8-ZT-12,将矩形ABCD的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH,EH=12 cm,EF=16 cm,则边AD的长是 (　　)
图8-ZT-12
A.12 cm B.16 cm C.20 cm D.28 cm
13.(2020衢州)把一张矩形纸片ABCD按图8-ZT-13所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF.若BC=1,则AB的长度为 (　　)
图8-ZT-13
A. B. C. D.
详解详析
1.C　[解析] 由折叠的性质得EF=AE=5.由勾股定理得BE=4,∴CD=AB=9.
2.　[解析] 如图,连结BE,BD.
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴BC=CD=AB=3,∠C=∠A=60°,CD∥AB,
∴△BCD是等边三角形.
∵E是CD的中点,
∴DE=CE=,BE⊥CD,∠EBC=30°,
∴BE=.
∵CD∥AB,
∴∠ABE=∠CEB=90°.
由折叠的性质可得AF=EF,
∴BF=AB-AF=AB-EF=3-EF.
∵EF2=BE2+BF2,
∴EF2=+(3-EF)2,
∴EF=.
3.解:(1)证明:如图.由折叠的性质得∠1=∠2,ED=EF,GD=GF.
∵FG∥CD,∴∠1=∠3,则∠2=∠3,
∴EF=GF,　
(方法一)(如图①)∴ED=EF=GD=GF,
∴四边形DEFG为菱形.
(方法二)(如图①)∴ED=GF.
又∵ED∥GF,
∴四边形DEFG为平行四边形.
又∵EF=GF,∴ DEFG为菱形.
(方法三)(如图②)连结DF交AE于点O,
则EG⊥DF,DO=FO.
∵EF=GF,EG⊥DF,∴OG=OE,
∴四边形DEFG为平行四边形.
又∵EG⊥DF,
∴ DEFG为菱形.
(2)设DE=x,则FE=DE=x,CE=8-x.
在Rt△EFC中,CF2+CE2=FE2,
即42+(8-x)2=x2,
解得x=5,∴CE=8-x=3,∴=.
4.A
5.15　[解析] 由题意得△DEF≌△DEC,
∴DF=DC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=90°.
∴DF=AB,
∵5(BF-DF)=3AB,
∴5(BF-AB)=3AB,
∴BF=AB,
∴BD=BF+DF=AB+AB=AB.
∵在△ABD中,∠A=90°,
∴AB2+AD2=BD2,
∴AB2+62=AB2,
∴AB=,
∴S矩形ABCD=AB·AD=×6=15.
故答案为15.
6.　[解析] 设ED=x cm,则根据折叠和矩形的性质,得A'E=AE=(5-x)cm,A'D=AB=3 cm,∠A'=∠A=90°.
在Rt△A'DE中,根据勾股定理,得ED2=A'E2+A'D2,
即x2=(5-x)2+32,解得x=,
∴S△DEF=××3=(cm2).
7.40　8　[解析] 过点E作EQ⊥BC于点Q,连结BP.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEF=∠BFE.
由折叠的性质可得∠DEF=∠BEF,
∴∠BFE=∠BEF,∴BE=BF.
∵PG⊥BE,PH⊥BC,
∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=BE·PG+BF·PH=BF·(PG+PH).
∵S△BEF=BF·EQ,
∴PG+PH=EQ.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=16,∠C=∠ADC=90°.
又∵EQ⊥BC,
∴四边形EQCD为矩形,
∴EQ=CD.
∵BC=16,CF=6,
∴BF=BC-CF=10.
由折叠的性质可知∠C'=∠C=90°,C'F=CF=6,CD=C'B,
∴C'B==8,
∴CD=8,∴EQ=8,
∴S△BEF=BF·EQ=×10×8=40,PG+PH=EQ=8.
故答案是40,8.
8.C　9.A
10.2-　[解析] ∵在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高线,
∴AE=BE=.
由折叠的性质得∠B'=∠B=45°,B'E=BE=.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,BC=AB=2,
∴∠FCB'=∠B=45°,B'C=BE+B'E-BC=2-2,
∴△B'CF为等腰直角三角形,
∴CF=B'F=2-.
故答案为2-.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC.
∵E为AB的中点,∴AE=BE.
由折叠的性质知EC⊥BP,EP=BE,
∴EP=BE=AE,
∴∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP.
在△ABP中,∵∠EAP+∠EPA+∠EPB+∠EBP=180°,
∴∠EPA+∠EPB=∠APB=90°,
即BP⊥AF,
∴EC∥AF.
又∵AB∥DC,
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)证明:由折叠的性质,得∠PEC=∠BEC,∠EPC=∠EBC=90°.
由(1)知∠APB=90°,
∴∠APB=∠EPC.
∵△AEP是等边三角形,
∴AP=EP=AE,∠PAB=∠AEP=∠APE=60°,
∴∠PEC=∠BEC=60°,∴∠PAB=∠PEC,
∴△APB≌△EPC.
(3)　[解析] ∵AB=6,E是AB边的中点,
∴AE=BE=AB=3.
在Rt△BEC中,由勾股定理,得EC==5.
∵四边形AECF为平行四边形,
∴AF=EC=5.
如图,过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G,设CE与BP交于点H,则CG=PH.
∵BE·BC=EC·BH,
∴BH=,
∴PH=BH=,∴CG=,BP=.
在Rt△BPA中,由勾股定理,得AP==,
∴PF=,
∴△CPF的面积=PF·CG=××=.
12.C　[解析] 设点A,B折叠后的对应点为M,
则由折叠的性质,得∠HEM=∠HEA,∠FEB=∠FEM,
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=(∠AEM+∠BEM)=×180°=90°.
同理,∠EHG=∠HGF=90°,
∴四边形EFGH为矩形,∴EF=HG.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,∴∠DHF=∠HFB,
∴∠DHG=∠BFE.
又∵∠B=∠D=90°,∴△BEF≌△DGH,
∴BF=DH.
∵HA=HM,BF=MF,∴DH=MF,
∴AD=HA+HD=HM+MF=HF===20(cm).
故选C.
13.A　[解析] 由折叠补全图形如图所示,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠A=90°,AD=BC=1,CD=AB.
由第一次折叠得∠ADE=∠ADC=45°,
∴∠AED=∠ADE=45°,
∴AE=AD=1.
在Rt△ADE中,根据勾股定理得DE=.由第二次折叠得CD=DE,
∴AB=DE=.
故选A.
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