专题训练(九)　图形操作探究题（含答案）

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专题训练(九)　图形操作探究题
　类型之一　旋转问题
1.将一个正方形绕着中心点旋转45°,得到如图9-ZT-1所示的一个八角星形.八角星形的每条边都相等.已知原正方形的边长为4+2,则八角星形的一边CD的长为　　　　.
图9-ZT-1
2.如图9-ZT-2所示,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D'.求图中阴影部分的周长.
图9-ZT-2
3.如图9-ZT-3,菱形OABC的顶点O是直角坐标系的原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至菱形OA'B'C'的位置,求点B'的坐标.
图9-ZT-3
　类型之二　网格画图问题
4.(2020嘉兴期末改编)如图9-ZT-4,有两张完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,A,B两点都在格点上,连结AB,请完成下列作图:
(1)在图①中以AB为边作一个 ABCD,使 ABCD各顶点都在格点上;
(2)在图②中以AB为对角线作一个菱形,使得菱形的面积为15,且菱形各顶点都在格点上.
图9-ZT-4
5.(2020温州期末)如图9-ZT-5,16个形状、大小完全相同的菱形组成网格ABCD,菱形的顶点称为格点.
(1)在图①中画出矩形EFMN,使得E,F,M,N分别落在AD,CD,BC,AB边的格点上;
(2)如图②,已知点P,E,F,M,N均在格点上,请在网格中(包含边界)找一格点Q,连结PQ,使得直线PQ平分 EFMN的面积.
图9-ZT-5
　类型之三　操作探究问题
6.(2020嘉兴、舟山)在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起,使点A与点F重合,点C与点D重合(如图9-ZT-6①),其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=3 cm,AC=DF=4 cm,并进行如下研究活动.
活动一:将图①中的纸片DEF沿AC方向平移,连结AE,BD(如图②),当点F与点C重合时停止平移.
【思考】图②中的四边形ABDE是平行四边形吗 请说明理由.
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时,小兵发现四边形ABDE为矩形(如图③),求AF的长.
活动二:在图③中,取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90),连结OB,OE(如图④).
【探究】当EF平分∠AEO时,探究OF与BD的数量关系,并说明理由.
图9-ZT-6
　类型之四　图形的剪拼问题
7.(2020乐山)观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一个小方格的边长均为1 ),如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接,不能拼成正方形的是 (　　)
图9-ZT-7
8.(2020丽水期末)从一块腰长为4 cm的等腰直角三角形纸片上裁出一块长方形纸片,要求长方形的四个顶点都在三角形的边上.若裁出的长方形纸片的面积为4 cm2,则长方形纸片的周长是　　　　cm.
9.图9-ZT-8是一个长为2a,宽为2b(a>b)的矩形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四个形状和大小完全相同的小矩形,然后按图②那样拼成一个正方形,求中间阴影部分的面积.
图9-ZT-8
详解详析
1.2　[解析] 如图,由题意易得△CDE是等腰直角三角形,
∴CE=CD,
∴(1+1+)CD=4+2,
解得CD=2.
2.解:设B'C'和CD交于点O,连结AO,易得Rt△AOB'≌Rt△AOD,∴OB'=OD,
∴OC+OB'=OC+OD=1,
∴阴影部分的周长为4.
3.解:如图,连结OB',OB,过点B'作B'D⊥x轴,垂足为D.
∵四边形OABC为菱形,∠ABC=120°,
∴OA=AB,∠AOC=120°,OB平分∠AOC,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴OB=OA=2.
∵将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°到菱形OA'B'C'的位置,
∴∠BOB'=105°,OB'=OB=2,
∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=45°,
则△OB'D是等腰直角三角形,
∴OD=DB'=,
∴B'(,-).
4.解:(1)如图①所示, ABCD即为所求(答案不唯一).
(2)如图②所示,菱形ADBC即为所求.
5.解:(1)答案不唯一.如:
(2)答案不唯一.如:
6.解:【思考】四边形ABDE是平行四边形.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,∠BAC=∠EDF,∴AB∥DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
【发现】如图①,连结BE交AD于点M.
∵四边形ABDE为矩形,
∴MA=MD,MB=ME,AD=BE,
∴MA=MD=MB=ME.
设AF=x cm,则MA=ME=(x+4),
∴MF=MA-AF=2-x.
在Rt△MFE中,∵MF2+EF2=ME2,
∴+32=(x+4)2,
解得x=,
∴AF= cm.
【探究】BD=2OF.
理由:如图②,延长OF交AE于点H.
∵旋转前四边形ABDE为矩形,
∴OA=OB=OE=OD,∠DOE=∠AOB,
∴∠OAB=∠OBA,∠ODE=∠OED,
∠OBD=∠ODB,∠OAE=∠OEA,
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED.
∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠BAE=360°,
∴∠ABD+∠BAE=180°,
∴AE∥BD,
∴∠OHE=∠ODB.
∵EF平分∠AEO,
∴∠OEF=∠HEF.
又∵∠EFO=∠EFH=90°,EF=EF,
∴△EFO≌△EFH(ASA),
∴EO=EH,FO=FH,
则∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB.
又∵OE=OB,
∴△EOH≌△OBD(AAS),
∴BD=OH=2OF.
7.D
8.8或6　[解析] 如图①,AB=AC=4 cm,∠BAC=90°,四边形EFGH是矩形,过点A作AD⊥BC于点D,交EH于点K.
则AK⊥EH,△AEH是等腰直角三角形,
∴EK=AK=KH.
∵△ABC是等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴AD=BD=CD.
设AK=EK=HK=a,EF=GH=b,则AD=DC=a+b.
由题意可得
解得
∴裁出的长方形的周长为4a+2b=6 cm.
当裁出的长方形如图②所示,
易得△BEF和△CFG均为等腰直角三角形,
∴BE=EF,FG=CG,
∴裁出的长方形的周长为2×4=8(cm),
故答案为8或6.
9.解:根据题意,得拼成的正方形的面积减去原长方形的面积,即为中间阴影部分的面积,则中间阴影部分的面积为(a+b)2-2a·2b=(a+b)2-4ab=(a-b)2.
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