第五章《特殊平行四边形》章末小结（含答案）

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小结
类型之一　特殊平行四边形的判定与性质
1.(2021宁波江北区期末)如图5-X-1,关于平行四边形ABCD,下列叙述不正确的是 (　　)
图5-X-1
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
2.(2021绍兴)如图5-X-2,在菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC-CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是 (　　)
图5-X-2
A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
3.(2021杭州余杭区月考)如图5-X-3,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P为斜边AB上一动点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连结EF,则线段EF的最小值为 (　　)
图5-X-3
A.24 B.3.6 C.4.8 D.5
4.(2021毕节)如图5-X-4,在矩形纸片ABCD中,AB=7,BC=9,M是BC上的点,且CM=2.将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠,使点D落在AB上的点P处,点C落在点C'处,折痕为MN,则线段PA的长是(　　)
图5-X-4
A.4 B.5 C.6 D.2
5.(2021宁波鄞州区期末)如图5-X-5,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,DC上,BE=DF,AE=AB.若∠EAF=30°,则∠D的度数是　　　　.
图5-X-5
6.(2021杭州滨江区二模)如图5-X-6,已知四边形ABCD是菱形,点E,F,G,H分别在边AB,AD,CD,BC上,BE=DF,EG∥BC,FH∥DC,EG与FH相交于点P.
(1)求证:四边形HCGP是菱形;
(2)若四边形BHPE是菱形,求证:E是线段AB的中点.
图5-X-6
7.(2021杭州下城区期中)如图5-X-7,已知 ABCD,延长AB到点E,使BE=AB,连结BD,ED,EC,若ED=AD.
(1)求证:四边形BECD是矩形;
(2)连结AC,若AD=6,CD=3,求AC的长.
图5-X-7
类型之二　特殊平行四边形的综合运用
8.(2020绍兴)如图5-X-8,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB边向点B移动,移动到点B停止,连结EO并延长交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为 (　　)
图5-X-8
A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C.平行四边形→正方形→菱形→矩形
D.平行四边形→菱形→正方形→矩形
9.(2021杭州西湖区期末)如图5-X-9,AC,BD为平行四边形ABCD的对角线,E是AC上一点,点F在BE的延长线上,且EF=BE,EF与CD交于点G,连结DF.
(1)求证:DF∥AC;
(2)连结DE,CF,若AB⊥BF,且G恰好是CD的中点,求证:四边形CFDE是菱形;
(3)在(2)的条件下,若四边形CFDE是正方形,且AB=2,求BC的长.
图5-X-9
类型之三　数学活动
10.(2020湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板,如图5-X-10①所示,分别用这两副七巧板试拼如图②中的平行四边形或矩形,则这两个图形中,中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是 (　　)
图5-X-10
A.1,1 B.1,2 C.2,1 D.2,2
详解详析
1.D
2.C　[解析] ∵∠B=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成.
当AP⊥BC时,△ABP为直角三角形;
当点P到达点C处时,△ABP为等边三角形;
当P为CD的中点时,△ABP为直角三角形;
当点P与点D重合时,△ABP为等腰三角形.
故选C.
3.C　[解析] 如图,连结PC.
∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°,
∴四边形ECFP是矩形,∴EF=PC,
∴当PC最小时,EF也最小.
当PC⊥AB时,PC最小.
∵AC=8,BC=6,∠ACB=90°,
∴AB=10,
∴PC的最小值为=4.8,
∴线段EF的最小值为4.8.故选C.
4.B　[解析] 连结PM,如图.
设PA=x.
∵AB=7,CM=2,BC=9,
∴PB=7-x,BM=BC-CM=7.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=7,∠B=∠C=90°.
由折叠的性质可知PC'=CD=7,C'M=CM=2,∠C'=∠C=90°.
在Rt△PBM中,由勾股定理,得PB2+BM2=PM2,
即PM2=(7-x)2+72.
在Rt△PC'M中,由勾股定理,得C'P2+C'M2=PM2,
即PM2=72+22,
∴(7-x)2+72=72+22,解得x=5或x=9(舍去),
∴PA=5.
故选B.
5.70°　[解析] ∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,∵
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴∠BAE=∠DAF.
∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°.
∵AE=AB,∴∠B=∠AEB,
∴∠B=∠D=∠AEB.
设∠B=∠D=∠AEB=x,
则∠BAE=∠DAF=180°-2x,
∴∠BAD=2(180°-2x)+30°,
∴2(180°-2x)+30°+x=180°,
解得x=70°,
即∠D=70°.
故答案为70°.
6.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
又∵EG∥BC,FH∥DC,
∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形,
∴BE=CG,CH=DF.
∵BE=DF,
∴CG=CH,
∴ HCGP是菱形.
(2)由(1)可知,BE=CG=CH.
∵四边形BHPE是菱形,
∴BE=BH,
∴BE=BH=CH=BC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∴BE=AB,
∴E是线段AB的中点.
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC.
∵BE=AB,
∴BE=CD.
又∵BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵AD=BC,AD=ED,
∴BC=ED,
∴ BECD是矩形.
(2)∵CD=3,∴AB=BE=3,∴AE=6.
由(1)知四边形BECD是矩形,
∴∠ABD=∠DBE=∠CEB=90°,CE=BD.
在Rt△ABD中,∵AD=6,∠ABD=90°,AB=3,
∴BD===3,
∴CE=3,
∴AC===3.
8.B
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
∵EF=BE,
∴OE是△BDF的中位线,
∴DF∥AC.
(2)证明:由(1)得DF∥AC,
∴∠FDG=∠ECG.
∵G是CD的中点,
∴DG=CG.
在△DFG和△CEG中,∵
∴△DFG≌△CEG(ASA),
∴FG=EG,
∴四边形CFDE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∵AB⊥BF,
∴CD⊥BF,
∴平行四边形CFDE是菱形.
(3)∵四边形CFDE是正方形,
∴EF=CD=AB=2,
∴CG=DG=EG=FG=EF=1.
∵BE=EF=2,
∴BG=BE+EG=3.
在Rt△BCG中,由勾股定理,得BC===.
10.D　[解析] 中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2,如图所示.
故选D.
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