4.5 三角形的中位线 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 4.5平三角形的中位线同步练习
一．选择题
1．（2021春 梁园区期末）如图，在△ABC中，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（　　）
A．2 B．1.5 C．4 D．3
2．（2021春 建昌县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．DE＝AB B．∠ADE＝∠C C．∠A＝∠C D．BC＝2DE
3．（2021春 荔浦市期中）△ABC的周长是36cm，则它的三条中位线所围成的三角形的周长是（　　）
A．12cm B．18cm C．24cm D．36cm
4．（2021 太原三模）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠B＝50°，∠A＝60°，则∠AED的度数等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（2021春 高新区期末）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．AB＝10，AC＝8，则四边形AFDE的周长等于（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
6．（2021春 突泉县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．4
7．（2021春 西双版纳期末）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是DE上一点，连接AF和CF，∠AFC＝90°．若DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2021春 西乡县期末）如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，延长交AC于N，若AB＝10，AC＝16，则MD的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7.5
9．（2021春 青县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝3cm，则AF的长度是（　　）
A．6cm B．2cm C．3cm D．4cm
10．（2021春 凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（　　）
A．5 B． C．2.5 D．3
二．填空题
11．（2022 成都模拟）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是 　 　m．
12．（2022 开福区校级开学）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是 　 　cm2．
13．（2021秋 朝阳区期末）如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　 　．
14．（2021春 惠山区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝10，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝8，∠AFC＝90°，则AC＝　 　．
15．（2021春 德州期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为 　 　．
16．（2021春 梁子湖区期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 　 　．
三．解答题
17．（2021春 揭东区期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
18．（2021秋 杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．
19．（2021春 丹江口市期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．
（1）判断DE与FG的大小关系，并说明理由；
（2）若∠B＝2∠C，试证明DE＝DF．
20．（2021春 定南县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE＝2，求FC的长度．
21．（2021秋 桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春 梁园区期末）如图，在△ABC中，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（　　）
A．2 B．1.5 C．4 D．3
【解析】解：∵点D，E分别是边AB，CB的中点，
∴DE＝AC＝2，
故选：A．
2．（2021春 建昌县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．DE＝AB B．∠ADE＝∠C C．∠A＝∠C D．BC＝2DE
【解析】解：∵点D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意，
故选：D．
3．（2021春 荔浦市期中）△ABC的周长是36cm，则它的三条中位线所围成的三角形的周长是（　　）
A．12cm B．18cm C．24cm D．36cm
【解析】解：∵△ABC的周长是36cm，
∴AB+AC+BC＝36cm，
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，
∴△DEF的周长为：DE+DF+EF＝（AB+AC+BC）＝18（cm），
故选：B．
4．（2021 太原三模）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠B＝50°，∠A＝60°，则∠AED的度数等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解析】解：∵∠B＝50°，∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝70°，
故选：C．
5．（2021春 高新区期末）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．AB＝10，AC＝8，则四边形AFDE的周长等于（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
【解析】解：∵D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．AB＝10，AC＝8，
∴DE＝AB＝5，DF＝AC＝4，AF＝AB＝5，AE＝AC＝4，
∴四边形AFDE的周长＝AF+DF+DE+AE＝5+5+4+4＝18，
故选：A．
6．（2021春 突泉县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．4
【解析】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠BFD＝∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DF＝DB＝BC＝＝3，
故选：B．
7．（2021春 西双版纳期末）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是DE上一点，连接AF和CF，∠AFC＝90°．若DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】解：在Rt△AFC中，点E是边AC的中点，AC＝6，
∴EF＝AC＝3，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故选：D．
8．（2021春 西乡县期末）如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，延长交AC于N，若AB＝10，AC＝16，则MD的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7.5
【解析】解∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠NAD，
∵BD⊥AD于D，
∴∠ADB＝∠ADN＝90°，
在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA），
∴AN＝AB＝10，BD＝DN，
∴NC＝AC﹣AN＝16﹣10＝6，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
∵BD＝DN，BM＝MC，
∴DM＝NC＝3，
故选：A．
9．（2021春 青县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE＝3cm，则AF的长度是（　　）
A．6cm B．2cm C．3cm D．4cm
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝3cm，
∴BC＝2DE＝6（cm），
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点F是BC的中点，
∴AF＝BC＝6×＝3（cm）．
故选：C．
10．（2021春 凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（　　）
A．5 B． C．2.5 D．3
【解析】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵线段EF的最大值为2.5，
∴DN＝2EF＝5．
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝5，
∴AD＝3．
故选：D．
二．填空题
11．（2022 成都模拟）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝16m，则A，B两点间的距离是 　32　m．
【解析】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB＝2MN＝32（m），
故答案为：32．
12．（2022 开福区校级开学）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是 　4　cm2．
【解析】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DF∥BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故答案为：4．
13．（2021秋 朝阳区期末）如图，△ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝　1　．
【解析】解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝3，BE＝EF，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
∵BD＝DC，BE＝EF，
∴DE＝FC＝1，
故答案为：1．
14．（2021春 惠山区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝10，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝8，∠AFC＝90°，则AC＝　6　．
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，BC＝10，
∴DE＝BC＝5，
∵DF＝8，
∴EF＝8﹣5＝3，
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝6，
故答案为：6．
15．（2021春 德州期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为 　　．
【解析】解：∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴BF＝AB＝7，AE＝EF，
∵BC＝10，
∴CF＝3，
∵点G是AC的中点，
∴AG＝CG，
∴EG是△AFC的中位线，
∴EG＝CF＝，
故选：．
16．（2021春 梁子湖区期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 　21°　．
【解析】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线．
∴GF∥AD且GF＝AD，GE∥BC且GE＝BC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝22°，∠AGE＝∠ACB＝64°．
∴∠EFG＝∠FEG．
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝22°+（180°﹣64°）＝138°，
∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝21°．
故答案是：21°．
三．解答题
17．（2021春 揭东区期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
【解析】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∵CE∥AD，
∴点A为BE的中点，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE＝2AD＝6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，
而∠BAD＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
而AB＝AE，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
18．（2021秋 杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF．
【解析】证明：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴CE＝ED，
∵F是BC的中点，
∴EF是△CDB的中位线，
∴BD＝2EF．
19．（2021春 丹江口市期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．
（1）判断DE与FG的大小关系，并说明理由；
（2）若∠B＝2∠C，试证明DE＝DF．
【解析】（1）解：DE＝FG，
理由如下：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DE＝AB，
∵F，G分别是BC，AC的中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG＝AB，
∴DE＝FG；
（2）证明：连接DG，
∵G是AC的中点，
∴DG＝AC＝CG，
∴∠GDC＝∠GCD，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝2∠GDC，
∵FG是△ABC的中位线，
∴GF∥AB，
∴∠GFC＝∠B＝2∠GDC，
∴∠GDC＝∠FGD，
∴DF＝FG，
∴DF＝DE．
20．（2021春 定南县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE＝2，求FC的长度．
【解析】解：∵AF⊥BC，点D是边AB的中点，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6．
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AF＝AB＝3，
由勾股定理得，BF＝＝＝3，
∴FC＝BC﹣BF＝．
21．（2021秋 桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【解析】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
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