2.2.4《解一元二次方程—因式分解法》典例解析与同步训练

2.2.4《解一元二次方程—因式分解法》典例解析与同步训练
【知识要点】
（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【典例解析】
例1．已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为　DE=2CE　；
（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．
例题分析：题考查了全等、相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题考查的知识点较多，综合性较强，作好辅助线，对于证明结论事半功倍．
（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论；
（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论；
（3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，在直角三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△BGF∽△DGH，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长．
解答：
（1）解：∵∠DBC=∠ACB=90°，∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴=，
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为DE=2CE．
（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，
∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM=BC，
∵AC=BC，∴BM=AC，
又∵在△BME和△ACE中
∴△BME≌△ACE，
∴ME=CE=CM，
∴DE=3EC；
（3）解：如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，
设BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=a，BN=a，
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=a，
∴DF===a，
∵AC=BC，BF=BC，∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴==，
∴BF2=FG×FD，
∴a2=a×FG，
∴FG=a，
∴DG=DF﹣FG=a，BG==a，
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴=，
∴GH==a，
∵BH=BG+GH=a=10，
∴a=2；
∴BC=2a=4，
CM′=BCcos30°=2，
∴DC=2CM′=4，
∵DE=3EC，
∴EC=DC=．
例2．阅读题例，解答下题：
例解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0
解：
（1）当x﹣1≥0，即x≥1时x2﹣（x﹣1）﹣1=0x2﹣x=0
（2）当x﹣1＜0，即x＜1时x2+（x﹣1）﹣1=0x2+x﹣2=0
解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1
解得x1=1（不合题设，舍去）x2=﹣2
综上所述，原方程的解是x=1或x=﹣2
依照上例解法，解方程x2+2|x+2|﹣4=0．
例题分析：从题中所给材料找到需要的解题方法是解题的关键．注意在去掉绝对值符号时要针对符号内的代数式的正负性分情况讨论．把绝对值符号内的x+2分两种情况讨论（x+2≥0和x+2＜0），去掉绝对值符号后再解方程求解．
解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时，
x2+2（x+2）﹣4=0，
x2+2x=0，
解得x1=0，x2=﹣2；
②当x+2＜0，即x＜﹣2时，
x2﹣2（x+2）﹣4=0，
x2﹣2x﹣8=0，
解得x1=4（不合题设，舍去），x2=﹣2（不合题设，舍去）．
综上所述，原方程的解是x=0或x=﹣2．
例3．解方程：x2﹣7x+6=0
例题分析：本题主要考查了学生用因式分解解方程的能力．由题已知的方程进行因式分解，将原式化为左边两式相乘，右边是0的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
解：原式可变为：
（x﹣6）（x﹣1）=0
解方程得x1=1，x2=6．
例3．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．
例题分析：本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．方程的左边提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．
解：原式可化为：（x﹣3）（x﹣3+4x）=0
∴x﹣3=0或5x﹣3=0
解得．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为（　　）
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定　
2．方程（x﹣1）（x+2）=0的两根分别为（　　）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2　
3．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（　　）
A．2 B．﹣2，1 C．﹣1 D．2，﹣1　
4．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　）
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15　
5．你认为方程x2+2x﹣3=0的解应该是（　　）
A．1 B．﹣3 C．3 D．1或﹣3　
6．方程x2﹣3x=0的解为（　　）
A．x=0 B．x=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3　
7．小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（　　）
A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=0　
8．一元二次方程x2=2x的根是（　　）
A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2　
9．一元二次方程（x﹣3）（x﹣5）=0的两根分别为（　　）
A．3，﹣5 B．﹣3，﹣5 C．﹣3，5 D．3，5　
10．已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）
A．13 B．11或13 C．11 D．12　
二．填空题（共5小题）
11．一元二次方程x2﹣2x=0的解是　_________　．
12．方程x2+2x﹣3=0的两个根分别是：x1=　_________　，x2=　_________　．
13．关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=　_________　．
14．若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　_________　．
15．一元二次方程x2+x=0的根是　_________　．
三．解答题（共4小题）
16．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
17．解方程：x（2x+1）=8x﹣3．
　
18．解方程：
①2x2﹣1=4x； ②x﹣3=4（x﹣3）2．
　
19．已知x1=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．
　
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：x2﹣10x+21=0，
因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选A
2．解：（x﹣1）（x+2）=0，
可化为：x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=﹣2．
故选D
3．解：x（x﹣2）+x﹣2=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
所以，x﹣2=0，x+1=0，
解得x1=2，x2=﹣1．
故选D．
4．解：由方程x2﹣6x+8=0，得：
解得x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．
故选A．　
5．解：∵x2+2x﹣3=0，
∴（x+3）（x﹣1）=0，
即x+3=0或x﹣1=0，
解得：x1=﹣3，x2=1．
故选D．
6．解：方程x2﹣3x=0，
因式分解得：x（x﹣3）=0，
可化为x=0或x﹣3=0，
解得：x1=0，x2=3．
故选D
7．解：x2﹣x=0，
提公因式得：x（x﹣1）=0，
可化为：x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1，
则被漏掉的一个根是0．
故选D．
8．解：∵x2=2x，
∴x2﹣2x=0，
∴x（x﹣2）=0，
∴x=0或x﹣2=0，
∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．
故选C．
9．解：∵（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得x1=3，x2=5．
故选D　
10．解：∵x2﹣8x+15=0，
∴（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
即x1=3，x2=5，
∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，
∴△ABC的周长为：3+3+5=11；
∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，
∴△ABC的周长为：3+5+5=13；
∴△ABC的周长为：11或13．
故选B．
二．填空题（共5小题）
11．解：原方程变形为：x（x﹣2）=0，
x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
12．解：∵x2+2x﹣3=0，
∴（x+3）（x﹣1）=0，
∴x+3=0或x﹣1=0，
∴x1=﹣3，x2=1．
故答案为﹣3，1．
13．解：x2﹣x﹣2=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0或x+1=0，
x1=2，x2=﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
把x=2代入=中得：=，
解得：a=4，
故答案为：4．
14．解：∵x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
∵x1＜x2，
∴解得：x1=0，x2=1，
则x2﹣x1=1﹣0=1．
故答案为：1．
15．解：x2+x=0，
x（x+1）=0，
x=0，x+1=0，
x1=0，x2=﹣1，
故答案为：x1=0，x2=﹣1．
三．解答题（共4小题）
16．解：2（x﹣3）=3x（x﹣3）
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0
x﹣3=0或2﹣3x=0
解得：x1=3或x2=
17．解：去括号，得：2x2+x=8x﹣3，
移项，得：2x2+x﹣8x+3=0
合并同类项，得：2x2﹣7x+3=0，
∴（2x﹣1）（x﹣3）=0，
∴2x﹣1=0或 x﹣3=0，
∴，x2=3．
18．（解：①由原方程移项，得
2x2﹣4x=1，
化二次项系数为1，得
x2﹣2x=，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
∴（4分）
②由原方程移项，得
4（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0，
提取公因式（x﹣3），得
（x﹣3）（4x﹣12﹣1）=0，即（x﹣3）（4x﹣13）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣13=0，
∴（4分）
19．解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m﹣5=0，解得m=﹣4；
当m=﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5=0
解得：x1=﹣1，x2=5
所以方程的另一根x2=5．