2.3.1《由实际问题抽象出一元二次方程》典例解析与同步训练

2.3.1《由实际问题抽象出一元二次方程》典例解析与同步训练
【知识要点】
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
【典例解析】
例1．一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两正方形面积和为53，求两正方形的边长．（列方程，并化为一般式）
例题分析：
设未知数是解决本题的关键，比如：设小正方形边长为x，则大正方形边长为3x+1．　设出小正方形边长为x，大正方形边长可用含x代数式表示，运用面积和为53列方程．
解：设小正方形边长为x，则大正方形边长为3x+1，
∵两正方形面积和为53，
则得（3x+1）2+x2=53，
所以10x2+6x﹣52=0．
例2．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
例题分析：
本题是由销售问题抽象出一元二次方程．每件童装降x元，每天多销售3x件，每件利润为（40﹣x）元，再根据平均每天销售童装利润为1000元，即销量×每件的利润=1000元，即可列出方程．理解：只要降价2元，就会多销售6件；那么，降价x元，则多销售3x件　
26．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
解：每降价2元，多销售6件，
设降价x元，则多销售3x件；
降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元．
则有（30+3x）（40﹣x）=1000，
整理得3x2﹣90x﹣200=0．
例3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
例题分析：
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于已知平均增长率和原来的植树数，求两年后的植树数的方法由题意可知三年来这些学生共植树：400+400（1+x）+400（1+x）2棵，已知成活率为：95%，所以成活了95%[400+400（1+x）+400（1+x）2]棵，又知成活了2000棵，令成活的棵数相等列出方程即可．
解：由题意得：初二时植树数为：400（1+x），
那么这些学生在初三时的植树数为：400（1+x）2；由题意得：
95%[400+400（1+x）+400（1+x）2]=2000．
例4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是　B　．并求出金色纸边的宽度．
A．x2+130x﹣1400=0；B．x2+65x﹣350=0；
C．x2﹣130x﹣1400=0；D．x2﹣65x﹣350=0．
例题分析：
本题考查用一元二次方程解决有关图形面积的问题，得到挂图的长和宽是解决本题的关键．易得挂图的长和宽，那么相应的等量关系为：挂图的长×宽=5400，把相关数值代入，化简即可．
解：∵挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，
∴可列方程为（80+2x）×（50+2x）=5400，
化简得x2+65x﹣350=0，
解得：x=﹣70或x=5，
∴金色纸边的宽度为5cm．
故选B．
例5．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x．
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x．
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．
例题分析：
本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．
（1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可；
（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可；
（3）利用未知数表示出直角三角形的两直角边后利用勾股定理列出方程即可；
解：（1）依题意得，4x2=25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2﹣25=0．
（2）依题意得，x（x﹣2）=100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2﹣2x﹣100=0．
（3）依题意得，x2+（x﹣2）2=102，
化为一元二次方程的一般形式得，x2﹣2x﹣48=0．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000
C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500　
2．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=25
C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25　
3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289
C．289（1﹣2x）=256 D．256（1﹣2x）=289　
4．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121
C．100（1+x）2=121 D．100（1﹣x）2=121　
5．由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/米2，通过连续两次降价a%后，售价变为2000元/米2，下列方程中正确的是（　　）
A．2400（1﹣a%2）=2000 B．2000（1﹣a%2）=2400
C．2400（1+a%）2=2000 D．2400（1﹣a%）2=2000
6．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（　　）
A．173（1+x%）2=127 B．173（1﹣2x%）=127
C．173（1﹣x%）2=127 D．127（1+x%）2=173　
7．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x﹣1）=2070 B．x（x+1）=2070
C．2x（x+1）=2070 D．　
8．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）=200 B．2x+2（x﹣10）=200
C．x（x+10）=200 D．2x+2（x+10）=200　
9．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289
C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289　
10．据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　）
A．4000（1+x）=4840 B．4000（1+x）2=4840
C．4000（1﹣x）=4840 D．4000（1﹣x）2=4840　
二．填空题（共10小题）
11．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为　_________　．
12．美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平
均增长率为x，则列出关于x的方程为　_________　．
13．如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是　_________　．
14．某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为　_________　．
15．某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为　_________　．
16．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为
　_________　．
17．某市2007年、2009年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程：　_________　．
18．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为　_________　．
19．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是　_________　．
20．某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程　_________　．
三．解答题（共3小题）
21．下表数据来源于国家统计局《国民经济和社会发展统计公报》．
2001﹣2004年国内汽车年产量统计表
2001年
2002年
2003年
2004年
汽车（万辆）
233
325.1
444.39
507.41
其中轿车（万辆）
70.4
109.2
202.01
231.40
（1）根据上表将下面的统计图补充完整；
（2）请你写出三条从统计图中获得的信息；
（3）根据2004年汽车年产量和目前销售情况，有人预测2006年国内汽车年产量应上升至650万辆．根据这一预测，假设这两年汽车年产量平均年增长率为x，则可列出方程　_________　．
　
22．如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
23．百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十?一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
请先填空后再列方程求解：设每件童装降价　_________　元，那么平均每天就可多售出　_________　件，
现在一天可售出　_________　件，每件盈利　_________　元．
　
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：设年平均增长率为x，
那么2010年的房价为：4000（1+x），
2011年的房价为：4000（1+x）2=5500．
故选：D．
2．解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2=25．
故选C．　
3．解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2=256．
故选：A．　
4．解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100（1+x）2=121，
故选C．
5．解：设连续两次降价a%，
2400（1﹣a%）2=2000．
故选D．　
6．解：当商品第一次降价x%时，其售价为173﹣173x%=173（1﹣x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为173（1﹣x%）﹣173（1﹣x%）x%=173（1﹣x%）2．
∴173（1﹣x%）2=127．
故选C．
7．解：根据题意得：每人要赠送x﹣1张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选：A．
8．解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，
∴长为（x+10）米，
∵花圃的面积为200，
∴可列方程为x（x+10）=200．
故选C．
9．解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，
∴方程为289（1﹣x）2=256．
故选答A．
10．解：设年平均增长率为x，
那么2012年的房价为：4000（1+x），
2013年的房价为：4000（1+x）2=4840．
故选B．
二．填空题（共10小题）
11．解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）=300．
12．解：由题意，有
2（1+x）2=3．
故答案为2（1+x）2=3．
13．解：设宽为xm，
（32﹣2x）（20﹣x）=570．
故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）=570．
14．解：第一次降价后的价格为36×（1﹣m%），
第二次降价后的价格为36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2，
∴列的方程为36（1﹣m%）2=25．
故答案为：36（1﹣m%）2=25．　
15．解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得
350×（1﹣x）2=299．
故答案为：350×（1﹣x）2=299．
16．解：第一次降价后的价格为120×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为120×（1﹣x）×（1﹣x），∴可列方程为120（1﹣x）2=100．
17．解：设2007年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，
依题意得4000（1+x）（1+x）=5760，
即4000（1+x）2=5760．
故填空答案：4000（1+x）2=5760．
18．解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（9﹣2x）?（5﹣2x）=12，
故填空答案：（9﹣2x）?（5﹣2x）=12．
19．解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2=2500，经化简可得32x2﹣64x+7=0或32（1﹣x）2=25．
20．解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）2=9100．
三．解答题（共3小题）
21．解：
（1）如下图，
（2）答案不唯一
①汽车年产量逐年递增；
②轿车年产量逐年递增；
③汽车年产量2003年增长量最大；
④轿车年产量2003年增长量最大；
⑤汽车年产量相对于上一年的增长速度2004年减缓；
⑥轿车年产量相对于上一年的增长速度2004年减缓；
⑦轿车的年产量在汽车中所占的比重逐年加大；
⑧轿车的年产量2004年是2001年的3倍多．
（3）507.41×（1+x）2=650．
22．解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以（80+2x）（50+2x）=5400，
即4x2+160x+4000+100x=5400，
所以4x2+260x﹣1400=0．
即x2+65x﹣350=0．
23．解：设每件童装降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）=1200
即：x2﹣30x+200=0
解得：x1=10，x2=20
∵要扩大销售量，减少库存
∴舍去x1=10
答：每件童装应降价20元．