2.3.2《一元二次方程的应用》典例与同步训练

2.3.2《一元二次方程的应用》典例解析与同步训练
【知识要点】
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为a，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【典例解析】
例1．某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系，如下表：
x（元/个）
30
50
y（个）
190
150
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的销售单价在45元～80元之间浮动，
①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4 550元的销售利润，销售单价应定为多少元？
例题分析：本题考查一次函数解析式的应用；得到销售利润的关系式是解决本题的关键；注意利用求二次函数的最值的方法求相关问题．　
（1）设出一次函数解析式，把两组值分别代入计算可得k，b的值；
（2）①销售利润=销售量×销售单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可；
②把y=4550代入①得到的函数解析式，求得合适的解即可．
解：（1）设y=kx+b（k≠0）
由题意得：；
解得；
∴y=﹣2x+250；
（2）设该商品的利润为W元．
∴W=（﹣2x+250）×（x﹣25）=﹣2x2+300x﹣6 250=﹣2（x2﹣150x+752）+2×752﹣6250=﹣2（x﹣75）2+5000．
∵﹣2＜0，
∴当x=75时，W最大，此时销量为y=﹣2×75+250=100（个）．
（3）（﹣2x+250）×（x﹣25）=4 550
x2﹣150x+5 400=0，
∴x1=60，x2=90．
∵x＜80，∴x=60．
答：销售单价应定在60元．
例2． 2009年王先生在某住宅小区购买了一套140平方米的住房，当时该住房的价格是每平方米2500元，两年后，该住房价格已变成每平方米3600元．
（1）问该住房价格的年平均增长率是多少？
（2）王先生准备进行室内装修，在购买相同质量的材料时，甲、乙两建材商店有不同的优惠方案：在甲商店累计购买2万元材料后，再购买的材料按原价的90%收费．在乙商店累计购买1万元材料时后，再购买的材料按原价95%的收费．当王先生计划累计购买此材料超过2万元时，请你帮他算一算在何种情况下选择哪家建材商店购买材料可获得更大优惠．
例题分析：本题考查了一元二次方程的运用，一元一次不等式的运用．关键是列出购买材料费用的表达式．
（1）根据增长率的公式，列方程求增长率即可；
（2）设王先生计划累计购买此材料为y万元，根据题意分别列出在甲、乙两商店购买材料的花费，列方程或不等式求出优惠时，y的取值范围．
解：（1）设该住房价格的年平均增长率为x，
依题意，得2500（1+x）2=3600，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）；
答：设该住房价格的年平均增长率为20%，
（2）设王先生计划累计购买此材料为y万元，
①当2+90%（y﹣2）＞1+95%（y﹣1）时，解得y＜3，即当王先生计划累计购买此材料的费用在2～3万元时，在乙建材商店可获得更大优惠，
②当2+90%（y﹣2）=1+95%（y﹣1）时，解得y=3，即当王先生计划累计购买此材料为3万元时，在甲、乙两建材商店可获得优惠相同，
③当2+90%（y﹣2）＜1+95%（y﹣1）时，解得y＞3，即当王先生计划累计购买此材料的费用在3万元以上时，在甲建材商店可获得更大优惠．
例3． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越发展和长治久安，作出了重要战略决策部署，为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设的资金达到8.45亿元．
（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率；
（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共多少亿元？
例题分析：本题主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，根据2年增长率的一般计算公式a（1+x）2，列方程5（1+x）2=8.45求解即可，注意值的取舍问题；
（2）分别表示出2010年到2012年这三年每年的投入资金，相加即可求解．
解：（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，
由题意，得：5（1+x）2=8.45，
解得x1=30%，x2=﹣2.3（不合题意舍去）．
答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率为30%．
（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45=5+5（1+0.3）+8.45=19.95（亿元）．
答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共19.95亿元．
例4．某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价；
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．
例题分析：本题考查理解题意的能力，根据售价和盈利情况求出进价，根据原来的售价和经过两次降价后现在的售价，可求出降价的百分率．
（1）根据计划每个售价36元，能盈利80%，可求出进价．
（2）设平均每次降价的百分率为x，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解．
解：（1）36÷（1+80%）=20元．
故这种玩具的进价为每个20元；
（2）设平均每次降价的百分率为x．
36（1﹣x）2=25，
解得，x≈16.7%，或x≈183%（不合题意，舍去）
故平均每次降价的百分率16.7%．
例5．在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测．
（1）下图是小芳家2009年全年月用电量的条形统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
①2009年小芳家月用电量最小的是　5　月，四个季度中用电量最大的是第　三　季度；
②求2009年5月至6月用电量的月增长率；
（2）今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2009年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？
例题分析：本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）①根据图中提供的信息，得出2009年小芳家月用电量最小的月和四个季度中用电量最大的季度；
②2009年5月至6月用电量的月增长率=×100%；
（2）设今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，则6月至7月用电量月增长率为x，根据题意列方程，求解即可．
解：（1）①由小芳家2009年全年月用电量的条形统计图得：2009年小芳家月用电量最小的是5月，四个季度中用电量最大的是第三季度；
②×100%=65%，答：2009年5月至6月用电量的月增长率为65%；
（2）设今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，则6月至7月用电量月增长率的x，
根据题意列方程得：120（1+x）（1+1.5x）=240，
化简得3x2+5x﹣2=0，解得x1=，x2=﹣2（不合题意舍去），
∴120×（1+1.5x）=120×（1+1.5×）=180（千瓦时），
答：预计小芳家今年6月份的用电量是180千瓦时．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　　）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队　
2．某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（　　）
A．30% B．40% C．50% D．60%　
3．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8　
4．庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有（　　）队参加比赛
A．12 B．11 C．9 D．10　
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（　　）个人．
A．12 B．11 C．10 D．9　
6．为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2 500万元，预计2009年投入3 600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为（　　）
A．10% B．20% C．30% D．15%　
7．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2若每年的年增长率相同，则年增长率为（　　）
A．9% B．10% C．11% D．12%　
8．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米　
9．受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（　　）
A．10% B．20% C．19% D．25%　
10．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（　　）
A．20% B．27% C．28% D．32%　
二．填空题（共5小题）
11．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2011年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2013年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为　_________　．
12．我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为　_________　．
13为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为　_________　万元．
14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是　_________　．
15．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是　_________　．
三．解答题（共8小题）
16． 2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元．
（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？
（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？
　
17．甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；
（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；
（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．
　
18．随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
　
19．已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP=S，用t表示运动时间．
（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；
（2）当t取何值时，S等于（求出所有的t值）；
（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP？
20． 2009年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．
（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563）
　
21．小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x值．
22．随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3 200人，截止到2010年底报名人数已达到5 000人．
（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．
（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？
　
23．中国国际动漫节以“动漫的盛会，人民的节日”为宗旨，以“动漫我的城市，动漫我的生活”为主题，已在杭州成功举办七届．目前，它成为国内规模最大、交易最旺、影响最广的动漫专业盛会．
下面是自首届以来各届动漫产品成交金额统计图表（部分未完成）：
（1）请根据所给的信息将统计图表补充完整；
（2）从哪届开始成交金额超过百亿元？相邻两届中，哪两届的成交金额增长最快？
（3）求第五届到第七届的平均增长率，并用它预测第八届中国国际动漫节的成交金额（精确到亿元）
　
参考答案　
一．选择题（共10小题）
1．解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1=10，
即=10，
∴x2﹣x﹣20=0，
∴x=5或x=﹣4（不合题意，舍去）．
故选C．
2．解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
0.5（1+x）2=0.98，
解得：x1=40% x2=﹣2.4（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%．
故选：B．　
3．解：设有n个点时，
=21
n=7或n=﹣6（舍去）．
故选C．
4．解：设这次有x个队参加比赛；
由题意得，，
解得x=10或﹣9（舍去）；
∴这次有10个队参加比赛．
故选D．
5．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=121，即（1+x）2=121
解方程得x1=10，x2=﹣12（舍去）
故选C．
6．解：根据题意2008年为2500（1+x），2009年为2500（1+x）（1+x）．
则2500（1+x）（1+x）=3600
解得x=0.2
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%．
故选B．
7．解：设每年的增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1
解得x=0.1或x=﹣（舍去）
故选B．　
8．解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）=551，
解得：x=49或1，
49不合题意，舍去，
故选A．
9．解：设该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为x，则第三季度为800（1﹣x）万元，第四季度为800（1﹣x）2万元，
根据题意得800（1﹣x）2=648
整理得（1﹣x）2=0.81
解之得x1=1.9，x2=0.1
因为x=1.9不合题意，应舍去，所以x=0.1，即该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为0.1，即10%．
故选A．
10．解：设平均每次降价的百分率为x，
则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96
x=0.2或1.8
x=1.8不符合题意，舍去，
故x=0.2
答：平均每次降价的百分率是20%．
故选A．　
二．填空题（共5小题）
11．解：设该项投资的年平均增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2=5.88，
解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不合题意，应舍去）．
∴该项投资的年平均增长率为40%．
故答案为：40%．
12．解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1+x）2=48.4
解方程得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）
所以该公司缴税的年平均增长率为10%．　
13．解：根据题意2012年为2500（1+x），2013年为2500（1+x）（1+x）．
则2500（1+x）（1+x）=3600，
解得x=0.2或x=﹣2.2（不合题意舍去）．
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2012年该市要投入的教育经费为：2500（1+20%）=3000万元．
故答案为：3000．
14．解：设平均每月增长的百分率是x，
160（1+x）2=250
x=25%或x=﹣225%（舍去）．
平均每月增长的百分率是25%．
故答案为：25%．
15．解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，
240（1+x）2=345.6，
1+x=±1.2，
x=20%或x=﹣220%（舍去）．
故答案为：20%．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）设该药品的原价格是x元/盒，则下调后每盒价格是x元/盒．根据题意，得
，
解得x=15．
经检验，x=15是原方程的解．
则x=15，x=10．
答：该药品的原价格是15元/盒，下调后每盒价格是10元/盒；
17．解：（1）设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，
根据题意得：90%?（1+30%）x+90%?（1+20%）（500﹣x）﹣500=67，
解得：x=300，
500﹣x=200．
答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
（2）∵乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，
∴设每件乙服装进价的平均增长率为y，
则200（1+y） 2=242，
解得：y1=0.1=10%，y2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；
（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调，
∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），
∵商场仍按9折出售，设定价为a元时，
0.9a﹣266.2＞0，
解得：a＞．
故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．
18．解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，
则125（1+x）2=180，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
∴180（1+20%）=216（辆），
答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆；
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
则，
由①得b=150﹣5a，
代入②得20≤a≤，
∵a是正整数，
∴a=20或21，
当a=20时b=50，当a=21时b=45．
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：室内车位21个，露天车位45个．
19．解：（1）∵AB=3，BP=t﹣3；
∴AP2=32+（t﹣3）2﹣2×3?（t﹣3）?cos60°
=9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×
=18﹣6t+t2+9﹣3t
=t2﹣9t+27，
∴S=．
（2）当t在BC上时，
∵S=，
∴t2﹣9t+27=7，
解得t1=4，t2=5；
当t在AB上时，t=；
当p在CA上时，t=9﹣．
（3）由（2）∵S2=开口向上，
与S=交点横坐标为t1=4，t2=5；
∴AP时，
∴4＜t＜5．
20．解：（1）设年平均增长率为x，依题意得 …（1分）
22.52 （1+x）2=50.67，…（3分）
1+x=±1.5，
∴x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）． …（5分）
答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%； …（6分）
（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿美元）． …（9分）
答：预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿美元． …（10分）
21．解：选择方案一解答．
据题意，得（8﹣x）（6﹣x）=×8×6．
解得：x1=12，x2=2．
x1不合题意，舍去．
∴x=2．
22．解：（1）设该驾校的年平均增长率是x．由题意，得
3 200（1+x）2=5 000．（5分）
解得x1=，x2=﹣（不合实际，舍去）．
∴该驾校的年平均增长率是25%．（7分）
（2）5 000×（1+25%）÷10=625（个）．
∴预计2011年每个教练平均需要教授625个学员．
23．解：（1）补全统计图表如下：
；
（2）从第六届开始成交金额超百亿元，第五第六届成交金额增长最快；
（3）设第五届到第七届平均增长率为x，则65.3（1+x）2=128，
解得x≈40%，或x≈﹣2.4（不合题意，舍去），
所以预测第八届成交金额约为128×（1+40%）≈179（亿元）．