2.1.1《一元二次方程的定义》典例解析与同步训练

2.1.1《一元二次方程的定义》典例解析与同步训练
【知识要点】
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【典例解析】
例1．已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．
例题分析：
本题解决的关键是根据一元二次方程的定义求出a，b的值，然后逆用了积的乘方的运算性质．这就要求熟练掌握一元二次方程的定义，然后再结合以前学过的平方差公式、二次根式的化简求值等知识来进行计算。因为x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，所以3﹣a=2．即：a=1；3b﹣4=2，即b=2．把a=1，b=2代入上式就可转化为利用平方差公式进行计算．
解：3﹣a=2．即：a=1；
3b﹣4=2，即b=2
，
=[]20022=（a﹣b）20022，
把a=1，b=2代入，
原式=（1﹣2）2002（1+）2=（1+）2=3+2．
例2.．若关于x的方程（k2﹣4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．
例题分析：
本题根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0，并且二次根式有意义的条件被开方数是非负数，即可求得k的范围．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
解：依题意，解得k≥1且k≠2．
例3．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
例题分析：
根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
例4．试比较下列两个方程的异同，x2+2x﹣3=0，x2+2x+3=0．
例题分析：
从一元二次方程的概念、系数等进行比较．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
解：相同点：
①都是一元二次方程；
②都化成了一元二次方程的一般形式；
③二次项系数均为1；
④一次项系数均为2；
⑤常数项的绝对值相等；
⑥都是整系数方程等．
不同点：
①常数项符号相反；
②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解；
③前者方程有实数根，后者不存在x值使方程左、右两边相等．
例5．方程（m﹣2）+（m﹣3）x+5=0，当m取何值时是一元二次方程，并求此方程的解．
例题分析：
一元二次方程就是含有一个未知数，并且最高项的次数是2的整式方程，依据定义即可判断．方程是一元二次方程要注意两个条件：①二次项系数不为0；②最高项次数为2．注意两个条件必须同时成立．
解：
解之得m=3
此时方程为x2+5=0，即x2=﹣5，
则方程无实数解．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B．ax2+bx+c=0 C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0　
2．关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（　　）
A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．无解　
3．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2　
4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣4， B．0，﹣4，﹣ C．0，﹣4， D．1，﹣4，﹣　
5．在以下方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2+2=yx2 B．x2+5x=（x+3）（x﹣3） C．（x﹣1）2=5 D．+=2　
6．已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c=0；（2）x2﹣4x=8+x2；（3）1+（x﹣1）（x+1）=0；（4）（k2+1）x2+kx+1=0中，一元二次方程的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4　
7．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．3y2﹣2x+1=0 C． D．y2﹣3y+6=0　
8．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0 B． C． D．　
9．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．（x+4）（x﹣2）=x2 B．3x2=x C． D．x3+2x=0　
10．下列结论中正确的个数有（　　）
（1）不是最简二次根式；
（2）与是同类二次根式；
（3）与互为有理化因式；
（4）（x﹣1）（x+2）=x2是一元二次方程．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个　
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，则m=　_________　．
12．若（m+1）xm2+1﹣2x﹣5=0是关于x的一元二次方程，则m=　_________　．
13．关于x的方程（m+3）+（m﹣3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为　_________　．
14．关于x的一元二次方程（a+3）x2+4x﹣5=0中，a的取值范围是　_________　．
15．如果关于x的方程mx2+（m﹣2）x+5=0是一元二次方程，那么m　_________　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
17．已知关于x的方程（a2﹣a）x2+ax+a2﹣1=0
（1）当a为何值时，方程是一元一次方程；
（2）当a为何值时，方程是一元二次方程；
（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．
18．若关于x的方程（m+3）+（m﹣5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．
　
19．已知a、b、c均为有理数，判定关于x的方程ax2﹣3x﹣x++c=b﹣1是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由．
　
20．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，求m的值．
　
【参考答案】
一．选择题（共10小题）
1．解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．
故选C．
2．解：根据题意得m2+1=2
∴m=±1
又m=﹣1不符合题意
∴m=1
把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0
解得x1=x2=﹣1．
故选C．
3．解：由一元二次方程的定义可得，解得：m=2．故选B．
4．解：由定义直接可得出二次项系数，一次项系数，常数项分别为1，﹣4，﹣．故选：D
5．解：A、含有2个未知数，未知数的最高次数是3，不符合题意；
B、化简后为一元一次方程，不符合题意；
C、化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
D、为分式方程，不符合题意；
故选C．　
6．解：
（1）ax2+bx+c=0中，a可能为0，所以不一定是一元二次方程；
（2）x2﹣4x=8+x2化简后只含有一个未知数，是一元一次方程；
（3）1+（x﹣1）（x+1）=0和（4）（k2+1）x2+kx+1=0符合定义，是一元二次方程．
一元二次方程的个数为2个．
故选B．
7．解：A、该方程属于分式方程；故本选项错误；
B、该方程中含有两个未知数，它属于二元二次方程；故本选项错误；
C、该方程属于无理方程，故本选项错误；
D、该方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
故选D．
8．解：A、要强调a≠0，否则不是一元二次方程．
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程．
D、是分式方程，不是整式方程，当然不是一元二次方程；
故选B．
9．解：A、由原方程知2x﹣8=0，它属于一元一次方程；故本选项错误；
B、由原方程知3x2﹣x=0，符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、是分式方程；故本选项错误；
D、x3+2x=0的最高次数是3，故本选项错误；
故选B．
10．解：（1）中不含有分式和能开得尽方的因数或因式，因此是最简二次根式；故本选项错误；
（2）=2，=，被开方数都是，因此是同类二次根式；故本选项正确；
（3）因为?=a，所以与互为有理化因式；故本选项正确；
（4）由原方程，得x+2=0，是一元一次方程；故本选项错误．
综上所述，上面结论正确的个数是2；
故选C．
二．填空题（共5小题）
11．解：因为原方程为关于x的一元二次方程，
所以，
解得：m=﹣1．
12．解：因为原式是关于x的一元二次方程，
所以m2+1=2，
解得m=±1．
又因为m+1≠0，
所以m≠﹣1，
于是m=1．　
13．解：∵该方程为一元二次方程，
∴m2﹣7=2，
解得m=±3；
当m=﹣3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；
所以m=3．　
14．解：根据题意，得
a+3≠0，
解得，a≠﹣3；
故答案是：a≠﹣3．
15．解：因为关于x的方程mx2+（m﹣2）x+5=0是一元二次方程，所以二次项系数m≠0．
三．解答题（共5小题）
16．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
∴△AA′D≌△CED（SAS）；
（2）∵根据旋转可得AC=A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中，
∴△AEB′≌△A′ED，
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
17．解：（1）根据一元一次方程的特点得a2﹣a=0，解得a=0或1，a=0时，关于x的方程不存在，舍去，所以a=1；
（2）根据一元一次方程的特点得a2﹣a≠0，解得a≠1且a≠0；
（3）把x=0代入原方程，得a2﹣1=0，解得a=±1，a=1时关于x的方程不存在，舍去，故a=﹣1．
18．解：依题意得：m2﹣7=2且m+3≠0，解得m=3．
原方程可化为：6x2﹣2x+5=0，故二次项系数为6，一次项系数为﹣2，常数项为5，
所以各项系数之和为6+（﹣2）+5=9．
19．解：原方程可化为：（a+）x2﹣（3+）x+（c﹣b+1）=0，
（1）当a+≠0，即a≠﹣时，方程为一元二次方程，
二次项系数、一次项系数及常数项分别是：a+，﹣（3+），c﹣b+1；
（2）当a+=0，即a=﹣时，方程为一元一次方程．
20．解：由题意，得：m2﹣3m+2=0①，m﹣1≠0②，
解①得：m=2或1；解②得：m≠1，∴m=2．