2.1.2《一元二次方程的一般形式》典例解析与同步训练

2.1.2《一元二次方程的一般形式》典例解析与同步训练
【知识要点】
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【典例解析】
例1．（1）若关于x的方程x2﹣x﹣1=mx2（2x﹣m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm﹣4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．
例题分析：本题主要考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．　
（1）把方程化简成一般形式得到：2mx3﹣（m2﹣m+1）x2+x﹣1=0，这个式子是一元二次方程，则2m=0即m=0，所以方程就变成：x2+x﹣1=0就可以确定它的二次项系数，一次项系数，常数项．
（2）解决时要注意对2xm﹣4xn分别是几次项进行讨论．
解：（1）方程化简得：2mx3﹣（m2﹣m+1）x2+x﹣1=0，
又∵这个式子是一元二次方程，
∴2m=0即m=0，∴方程是：x2﹣x﹣1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣1．
（2）这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴或或或或
例2．把下列关于x的方程化为一元二次方程的一般形式，再求它的二次项系数，一次项系数及常数项．
（1） （x+2）（x﹣2）=3x2+2x；
（2） x（x﹣a）=a（2x2﹣x）．
例题分析：
本体主要考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．把两个方程都先去括号，移项使等式右边为零，变形为ax2+bx+c=0，a叫二次相系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
解：（1）去括号得，x2﹣4=3x2+2x，移项得，﹣2x2﹣2x﹣4=0，二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣2，常数项为﹣4；
或x2+x+2=0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为2；
（2）去括号，移项合并得，（1﹣2a）x2﹣2ax=0，二次项系数为1﹣2a，一次项系数w为﹣2a，常数项为0．
例3．求关于x的一元二次方程m2﹣3mx+m（2x2﹣1）=（m+1）x的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项．
例题分析：
本题考查的是一元二次方程的一般形式，把方程化成一般形式后，确定二次项系数，一次项及一次项系数，常数项．　把右边的项移到左边，去括号，合并同类项，得到关于x的一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项及一次项系数，常数项．
解：m2﹣3mx+2mx2﹣m﹣（m+1）x=0
2mx2+（﹣3m﹣m﹣1）x+m2﹣m=0
2mx2+（﹣4m﹣1）x+m2﹣m=0
故二次项是2mx2，
二次项系数是：2m；
一次项是：（﹣4m﹣1）x，
一次项系数是：﹣4m﹣1，
常数项是：m2﹣m．
例4．将方程（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值．
例题分析：
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解决此类问题首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，再整理可得2x2+x﹣1=0，从而得到a=2，b=1，c=﹣1，再代入式子即可求值．
解：（3﹣2x）（x+5）=﹣6x+14，
3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，
整理得：2x2+x﹣1=0，
a=2，b=1，c=﹣1，
===．
例5．设α为整数，若存在整数b和c，使得（x+α）（x﹣15）﹣25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．
例题分析：
本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其整数根与有理根的知识点，解答此题时采用的是分离参数法，它适合于参数与方程的根均是整数，且参数较易于分离的情况．如此题变形为α=?（x），然后利用函数的性质求解，这是一种应用较广泛的方法．此题可转化为：当α为何值时，方程（x+α）（x﹣15）﹣25=0有两个整数根．
解：由原方程得：x2﹣（15﹣α）x﹣15α﹣25=0，
视其为关于α的一次方程，整理得α（x﹣15）=﹣x2+15x+25．
易知x≠15，∴α==﹣x+．
因为α、x均为整数，讨论见下表：
x﹣15
﹣25
﹣5
5
25
x
﹣10
10
20
40
α
9
﹣15
﹣15
﹣39
α取值为：9，﹣15，﹣39，经检验符合题意．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．已知：①x=1；②x﹣1=12；③x2+2x+1=0；④xy=1；⑤x+y=0，其中是一元一次方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个　
2．下列叙述正确的是（　　）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B．方程4x2+3x=6不含有常数项
C．（2﹣x）2=0是一元二次方程
D．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0　
3．若（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n=0是关于x的一元二次方程，则它的一次项系数是（　　）
A．n﹣1 B．﹣2 C．0 D．﹣2或　
4．关于x的方程（m﹣2）x2+（m﹣1）x+m=0是一元二次方程的条件是（　　）
A．m≠l B．m≠一1且m≠2 C．m≠2 D．m≠1且m≠2　
5．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9 C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9　
6．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是（　　）
A．x2﹣5x+5=0 B．x2+5x﹣5=0 C．x2+5x+5=0 D．x2+5=0　
7．将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（　　）
A．4x2﹣4x+5=0 B．3x2﹣8x﹣10=0 C．4x2+4x﹣5=0 D．3x2+8x+10=0　
8．把方程x（2x﹣1）=1化成ax2+bx+c=0的形式，a、b、c的一组值是（　　）
A．2、﹣1、﹣1 B．2、﹣1、1 C．2、1、﹣1 D．2、1、1　
9．下列方程化为一般形式后，常数项为零的方程是（　　）
A．5x﹣3=2x2 B．3x（x﹣1）=2（x+2）﹣4
C．（3x﹣1）（2x+4）=1 D．（x+3）（x+2）=﹣6
10．把方程（8﹣2x）（5﹣2x）=18，化成一般形式后，二次项系数、一次项系数分别为（　　）
A．4、﹣26 B．﹣4、26 C．4、22 D．﹣4、﹣22　
二．填空题（共5小题）
11．一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是　_________　．
12．把方程3x2=5x+2化为一元二次方程的一般形式是　_________　．
13．一元二次方程3x2+x﹣2=0的常数项是﹣2，说法是：　_________　的．
14．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数　_________　，一次项系数　_________　，常数项为　_________　．
15．方程3x2=5x+2的二次项系数为　_________　，一次项系数为　_________　．
三．解答题（共5小题）
16．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．
（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
　
17．观察下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0．上面四个方程中有三个方程的一次项系数有共同特点，请用代数式表示这个特点．
　
18．求方程x2+3=2x﹣4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．
　
19．（教材变式题）把关于x的方程+3x=（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项．
　
20．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．
　
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：①②符合一元一次方程的定义；
③未知项的最高次数是二次，是一元二次方程；
④xy为二次单项式，xy=1是二元二次方程；
⑤含有两个未知数，是二元一次方程．
故选B　
2．解：A、形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程，故此选项错误；
B、方程4x2+3x=6可变形为4x2+3x﹣6=0含有常数项，故此选项错误；
C、2﹣x）2=0是一元二次方程，故此选项正确；
D、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故此选项错误；
故选：C．
3．解：∵（n+1）x|n|+1+（n﹣1）x+3n=0是关于x的一元二次方程，
∴|n|+1=2，n+1≠0，
解得：n=1，
则方程整理为：x2+3=0，
∴它的一次项系数是0．
故选C．
4．解：要使方程是一元二次方程，则：
m﹣2≠0，
∴m≠2．
故本题选C．
5．解：∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．
故选C．
6．解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）=0的一般形式是x2﹣5x+5=0．故选A．
7．解：方程3x（x﹣1）=5（x+2）
去括号得：3x2﹣3x=5x+10
移项得：3x2﹣3x﹣5x﹣10=0
合并同类项得：3x2﹣8x﹣10=0，故选B．
8．解：把原方程去括号得：2x2﹣x=1，
化为一般形式为：2x2﹣x﹣1=0，
故a=2，b=﹣1，c=﹣1，
故选A．　
9．解：
A、化为一般形式为2x2﹣5x+3=0，常数项为3；
B、化为一般形式为3x2﹣5x=0，常数项为0；
C、化为一般形式为6x2+10x﹣5=0，常数项为﹣5；
D、化为一般形式为x2+5x+12=0，常数项为12．
故选B．
10．解：方程（8﹣2x）（5﹣2x）=18，
化为一般形式，得4x2﹣26x+22=0
所以二次项系数、一次项系数分别为4和﹣26．
故选A．　
二．填空题（共5小题）
11．解：一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是：2．
故答案是：2．
12．解：一元二次方程3x2=5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2=0．
13．解：根据定义，得
一元二次方程3x2+x﹣2=0的常数项是﹣2．正确．
14．解：一元二次方程2x2+4x﹣1=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，4，﹣1．
15．解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2﹣5x﹣2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为﹣5．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）①，②，④，⑤．
（2）若设它的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a．
答“这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）亦可．
17．解：观察上述四个方程，发现方程①③④一次项系数有共同点，可用2n（n是整数）表示．
18．解：原方程可化为：x2﹣2x+7=0，
二次项系数为，一次项系数为﹣2，常数项为7．
它们的积为×（﹣2）×7=﹣28．
19．解：整理得，x2﹣2x+1+6x=5x+5，
所以x2﹣x﹣4=0．
二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．
20．解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，
则，
解得，
∴a2+b2﹣c2=9+16=25，
∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．