2.1.3《一元二次方程的解》典例解析与同步训练

2.1.3《一元二次方程的解》经典例题解析与同步训练
【知识要点】
（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax1 2+bx1+c=0（a≠0），ax2 2+bx2+c=0（a≠0）．
【典例解析】
例1．规定：2!=2×1；3!=3×2×1；4!=4×3×2×1，…，n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1，即称n!为n的阶乘．
（1）计算：=　9900　；
（2）当x=7是一元二次方程的一个根，求k 的值．
例题分析：
此题主要考查了数字变化的规律，也利用了一元二次方程的解，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的规律计算即可求解．
（1）由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解；
（2）首先利用（1）的规律求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k．
解：（1）依题意得==9900；
（2）把x=7 代入中，
得72+7k﹣56=0，
∴7k=7，
∴k=1．
例2．已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解，且a≠b，求的值．
例题分析：
本题考查了一元二次方程的定义，得到a+b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式．
解：由x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一个解，
得：a+b=40，又a≠b，
得：．
故的值是20．
例3．先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x+1=0的根．
例题分析：
主要考查了方程解的定义和分式的运算．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．利用方程解的定义找到相等关系a2+3a=﹣1，再把所求的代数式化简后整理成a2+3a的形式，整体代入a2+3a=﹣1，即可求解．
解：原式=（3分）
=（4分）
=
=；（5分）
∵a是方程x2+3x+1=0的根，
∴a2+3a+1=0，（6分）
∴a2+3a=﹣1，（8分）
∴原式=．（9分）
例4．解方程：=x2﹣x+1．
例题分析：
用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．方程的两个部分具备倒数关系，设y=x2﹣x，则原方程另一个分式为6×．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．
解：设y=x2﹣x，则原方程化为6×=y+1，
整理得y2+y﹣6=0，
解得y=﹣3或y=2．
当y=﹣3时，有x2﹣x=﹣3，移项得，x2﹣x+3=0，△=﹣11＜0，故方程无实数根；
当y=，2时，有x2﹣x=2，移项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，
经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根．
∴原方程的根是x1=2，x2=﹣1．
例5．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x=6的根．
例题分析：
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2﹣x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可．
解：原式=
=
=
=．
∵a是方程x2﹣x=6的根，
∴a2﹣a=6，
∴原式=．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9　
2．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1　
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定　
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1　
5．已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2　
6．若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（　　）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6　
7．关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，则m的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．1或﹣　
8．已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5=0有一根为x=2，则4a﹣6b的值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10　
9．若关于的一元二次方程x2﹣x+a=0的一个根为2，则a的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2　
10．若关于x的一元二次方程为ax2﹣3bx﹣5=0（a≠0）有一个根为x=2，那么4a﹣6b的值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10　
二．填空题（共5小题）
11．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　_________　．
12．已知关于x的方程2x2﹣mx﹣6=0的一个根2，则m=　_________　，另一个根为　_________　．
13．已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m=　_________　，n=　_________　．
14．若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为　_________　．
15．已知关于x的方程x2﹣4x﹣p2+2p+2=0的一个根为p，则p=　_________　．
三．解答题（共5小题）
16．一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．
　
17．先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．
　
18．先化简，再求值：，其中x满足方程：x2+x﹣6=0．
19．已知x是一元二次方程x2﹣2x+1=0的根，求代数式的值．
　
20．先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的正数根．
　
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个根，则有
2a2﹣a﹣3=0，
变形得，2a2﹣a=3，
故6a2﹣3a=3×3=9．
故选C．
2．解：原式=
=，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
3．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B．
4．解：把x=0代入方程得：
|a|﹣1=0，
∴a=±1，
∵a﹣1≠0，
∴a=﹣1．
故选A．　
5．解：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），
∴x1?（﹣a）=a，即x1=﹣1，
∴1﹣b+a=0，
∴a﹣b=﹣1．
故选A．
6．解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选A．
7．解：把x=1代入方程可得1+m﹣2m2=0，
∴2m2﹣m﹣1=0，
m==，
解得：m=1或﹣．
故选：D．
8．解：当x=2时，方程变为4a﹣6b﹣5=0，
∴4a﹣6b=5．
故选B．
9．解：把x=2代入方程有：
22﹣2+a=0
解得：a=﹣2．
故选D．
10．解：把x=2代入方程ax2﹣3bx﹣5=0，即得到4a﹣6b﹣5=0，故4a﹣6b=5，故本题选B．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=﹣2或x+2=1，
解得x=﹣4或x=﹣1．
故答案为：x3=﹣4，x4=﹣1．
12．解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的方程2x2﹣mx﹣6=0的一个根2，
∴x=2满足该方程，
∴2×22﹣2m﹣6=0，
解得，m=1；
由韦达定理知，2x2=﹣3，
解得，x2=﹣；
故答案是：1；﹣．
13．解：根据题意，得
，
解得，．
故答案是：﹣3、0．
14．解：把x=2代入方程x2﹣x﹣a2+5=0得：
4﹣2﹣a2+5=0，
解得：a=±．
故答案为：±．
15．解：把p代入方程x2﹣4x﹣p2+2p+2=0，得
p2﹣4p﹣p2+2p+2=0
整理得p=1．
三．解答题（共5小题）
16．解：x2﹣2x﹣=0，
移项得：x2﹣2x=，
配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=，x2=﹣，
根据题意把x=代入x2﹣（k+2）x+=0得：（）2﹣（k+2）+=0，
解得：k=；
把x=﹣代入x2﹣（k+2）x+=0得：（﹣）2+（k+2）+=0，
解得：k=﹣7，
则k的值为﹣7或．
17．解：原式=÷
=?
=
=；
∵m是方程x2+3x﹣1=0的根．
∴m2+3m﹣1=0，
即m2+3m=1，
∴原式=．
18．解：（x+1﹣）÷
=÷
=?
=，
∵x满足方程x2+x﹣6=0，
∴（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x1=2，x2=﹣3，
当x=2时，原式的分母为0，故舍去；
当x=﹣3时，原式==．
19．解：∵x2﹣2x+1=0，
∴x1=x2=1，
原式=÷=?=，
∴当x=1时，原式=．
20．解：原式=÷
=?
=．
解方程得x2﹣2x﹣2=0得，
x1=1+＞0，x2=1﹣＜0，
所以原式==．