2.2.1《解一元二次方程—直接开平方法》典例解析与同步训练

2.2.1《解一元二次方程—直接开平方法》典例解析与同步训练
【知识要点】
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．
【典例解析】
例1．解一元二次方程：（x﹣1）2=4．
例题分析：
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．方程左边为完全平方的形式，开方直接解答便可得出x﹣1的值，进而求x．
解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=3或x=﹣1．
例2．求下列各式中的x的值．
（1）（x+10）2=16 （2）
例题分析：
本题考查了直接开方法求一元二次方程的解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点　
（1）可用直接开平方法进行解答；
（2）先移项、把系数化为1，写成x2=a的形式，再用直接开平方法进行解答；
解：（1）（x+10）2=16，
∴x+10=±4，
∴x1=﹣14或x2=﹣6；
（2），
x2=196，
∴x=±14，
∴x1=14或x2=﹣14．
例3．设面积为5π的圆的半径为y，请回答下列问题：
（1）y是有理数吗？请说明你的理由；
（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计．
例题分析：本题主要考查了无理数的定义及估算无理数大小的方法．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．估算无理数的大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近似值．
（1）先根据圆的面积公式列出方程，求出y的值，再根据有理数、无理数的定义进行判断；
（2）根据精确度的定义，将（1）中求出的y的值进行估计，并用计算器验证即可．
解：（1）y不是有理数．
理由如下：
由题意，得πy2=5π，
∴y2=5，
∵y＞0，
∴y=．
由于是无理数，所以y是无理数，即y不是有理数．
（2）∵2.12=4.41，2.22=4.84，2.32=5.29，
∴估计精确到十分位，约为2.2，
用计算器计算=2.23606…，
∴≈2.2（结果精确到十分位）．
例4．（1）计算+tan60°；
（2）解方程：（x+3）2=（1﹣2x）2；
（3）解不等式组．并把解集在数轴上表示出来；
（4）先化简，再求值：，其中x=﹣4．
例题分析：
本题考查数，式，方程，不等式几方面的内容，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握每个知识点的解题格式及要求．涉及实数的运算，解一元二次方程，解不等式组，分式的化简四个考点．在解题时，需要针对每个考点分别熟悉解题规则，格式及注意事项，准确解答．
解：（1）原式=﹣1﹣2++=+1﹣1﹣2++=；
（2）原方程化为：x+3=1﹣2x或者x+3=﹣（1﹣2x），分别解方程得x1=﹣，x2=4；
（3）解不等式（1）得x＜2，解不等式（2）得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2；
（4）原式=÷=?=．
当x=﹣4时，原式==﹣1．
例5．计算
（1）已知：（x+1）2=16；求x的值
（2）计算：|﹣3|++﹣．
例题分析：本题考查了实数的运算，去绝对值，算术平方根，零指数幂，二次根式的性质与化简，直接开平方法解一元二次方程．
（1）用直接开平方法解一元二次方程就可以了．
（2）先去绝对值、二次根式化简和零指数幂的计算，在进行实数的加减计算就可以得出结果．
解：（1）直接开平方得：
（x+1）=±4，
∴x+1=4或x+1=﹣4
∴x=3或x=﹣5
（2）原式=3﹣+2+1﹣6
=﹣
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．已知直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），则k的值为（　　）
A． B． C． D．　
2．关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（　　）
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2　
C．两根都小于0 D．两根都大于2　
3．若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（　　）
A．1 B．8 C．16 D．61　
4．方程x2﹣4=0的解是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=±2 D．x=±4　
5．若a为方程（x﹣）2=100的一根，b为方程式（y﹣4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b之值为（　　）
A．5 B．6 C． D．10﹣　
6．一元二次方程x2﹣3=0的根为（　　）
A．x=3 B．x= C．x1=，x2=﹣ D．x1=3，x2=﹣3　
7．一元二次方程x2﹣4=0的解是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣　
8．方程x2﹣4=0的根是（　　）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4　
9．方程x2=16的解是（　　）
A．x=±4 B．x=4 C．x=﹣4 D．x=16　
10．一元二次方程x2﹣4=0的解是（　　）
A．﹣2 B．2 C．± D．±2　
二．填空题（共5小题）
11．方程x2﹣2=0的根是　_________　．
12．一元二次方程2x2﹣6=0的解为　_________　．
13．方程x2+1=2的解是　_________　．
14．方程（x﹣1）2=4的解为　_________　．
15．一元二次方程x2﹣4=0的解是　_________　．
三．解答题（共3小题）
16．解方程：（x﹣3）2﹣9=0．
　
17．解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2
　
18．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解．
　
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），
∴将（k，3）和（1，k），代入解析式y=kx+b得：
解得：k=±，b=0，
则k的值为：±．
故选B．
2．解：∵88（x﹣2）2=95，
（x﹣2）2=，
x﹣2=，
∴x=+2，
∴，
∴x1＞3，
∴，
∴x2＜1．
故选A．
3．解：（3x﹣c）2﹣60=0
（3x﹣c）2=60
3x﹣c=±
3x=c±
x=
又两根均为正数，且＞7．
所以整数c的最小值为8
故选B．
4．解：x2=4，
∴x=±2．
故选C　
5．解：解方程（x﹣）2=100，
得x﹣=±10，
∴x=±10，
解方程（y﹣4）2=17，
得y﹣4=，
∴y=4．
∵a、b都是正数，
∴a=+10，b=4+，
∴a﹣b=（+10）﹣（4+）=6．
故选B．
6．解：移项得x2=3，开方得x1=，x2=﹣．故选C．
7．解：移项得：x2=4，
∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故选C．
8．解：移项得x2=4，开方得x=±2，
∴x1=2，x2=﹣2．
故选C．
9．解：x2=16，∴x=±4．故选A．
10．解：移项得，x2=4
开方得，x=±2，
故选D．
二．填空题（共5小题）
11．解：移项得x2=2，
∴x=±．
故答案为：±．
12．解：2x2﹣6=0，
2x2=6，
x2=3，
x=±．　
13．解：移项，得x2=2﹣1，
合并，得x2=1，
开方，得x=±1．
14．解：（x﹣1）2=4，即x﹣1=±2，所以x1=3，x2=﹣1．
15．解：移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
三．解答题（共3小题）
16．解：移项得：（x﹣3）2=9，
开平方得：x﹣3=±3，
则x﹣3=3或x﹣3=﹣3，
解得：x1=6，x2=0．
17．解：∵（x﹣3）2=（5﹣2x）2，
∴x﹣3=5﹣2x或x﹣3=2x﹣5
解之得：x1=2，x2=．
18．解：∵a⊕b=a2﹣b2，
∴（4⊕3）⊕x=（42﹣32）⊕x=7⊕x=72﹣x2
∴72﹣x2=24
∴x2=25．
∴x=±5．