2.2.2《解一元二次方程—配方法》典例解析与同步训练

2.2.2《解一元二次方程—配方法》典例解析与同步训练
【知识要点】
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【典例解析】
例1．观察下列方程及其解的特征：
（1）x+=2的解为x1=x2=1；
（2）x+=的解为x1=2，x2=；
（3）x+=的解为x1=3，x2=；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+=的解为　x1=5，　；
（2）请猜想：关于x的方程x+=　（或）　的解为x1=a，x2=（a≠0）；
（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
例题分析：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．
解：（1）x1=5，；
（2）（或）；
（3）方程二次项系数化为1，
得．
配方得，
，
?，
开方得，
，
解得x1=5，．
经检验，x1=5，都是原方程的解．
例2．用配方法解方程：6x2﹣x﹣12=0．
例题分析：本题主要考查了配方法，是解一元二次方程常用的一种基本方法．　
首先将二次项系数化为1．然后移项，把常数项移到等号的右边，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数项，即可直接开方求解．
解：原式两边都除以6，移项得，
配方，得，
（x﹣）2==（）2，
即x﹣=或x﹣=﹣，
所以x1=，x2=﹣．
例3．用配方法解方程：2x2+1=3x．
例题分析：配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．
本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．　
首先把方程的二次项系数变成1，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．
解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，
二次项系数化为1，得，
配方，
，
由此可得，
∴x1=1，．
例4．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0
例题分析：
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．首先把方程移项变形为x2﹣4x=﹣1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
解：移项，得：x2﹣4x=﹣1，
配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2=﹣1+（﹣2）2，
即（x﹣2）2=3，
解这个方程，得：x﹣2=±；
即x1=2+，x2=2﹣．
例5．已知1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
例题分析：此题主要考查了一元二次方程的解，可利用根与系数的关系使问题简化，不必把方程的解代入求值．根据两根之和等于2，可求出另一根，再根据两根之积等于c，可求出c．
解：设方程的另一个根为x2，且x1=1﹣．
∵x1+x2=2．∴x2=2﹣（1﹣）=1+．
又∵x1?x2=c．
∴c=（1﹣）（1+）=﹣2．
∴方程的另一个根是1+，c的值为﹣2．
【同步训练】
一．选择题（共10小题）
1．若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b之值为何？（　　）
A．﹣57 B．63 C．179 D．181
2．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（　　）
A．（x﹣1）2=2 B．（x﹣1）2=4 C．（x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=7　
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9　
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得（　　）
A．（x﹣2）2=6 B．（x+2）2=6 C．（x﹣2）2=2 D．（x+2）2=2　
6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9　
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3=0时可配方得（　　）
A．（x﹣2）2=7 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=1 D．（x+2）2=2　
8．用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=　
9．一元二次方程的根（　　）
A．， B．x1=2，x2=﹣2 C． D．　
10．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16　
二．填空题（共6小题）
11．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上
　_________　，使得方程左边配成一个完全平方式．
12．一元二次方程x2﹣ax+6=0，配方后为（x﹣3）2=3，则a=　_________　．
13．方程x2﹣2x=﹣1的根为　_________　．
14．配方法：x2﹣4x+3=（x﹣2）2+　_________　．
15．当x=　_________　时，代数式x2﹣8x+12的值是﹣4．
16．一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的解是　_________　．
三．解答题（共5小题）
17．解方程：x2﹣2x=2x+1．
18．解方程：x2﹣4x﹣1=0．
　
19．解方程：x（x+8）=16．
20．解方程：x2﹣6x﹣6=0．
21．解方程：x2+4x+2=0．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：x2﹣2x﹣3599=0，
移项得：x2﹣2x=3599，
x2﹣2x+1=3599+1，
即（x﹣1）2=3600，
x﹣1=60，x﹣1=﹣60，
解得：x=61，x=﹣59，
∵一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=61，b=﹣59，
∴2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181，
故选D．
2．解：把方程x2+4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=﹣1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=﹣1+4，
配方得（x+2）2=3．
故选A．
3．解：x2﹣2x﹣3=0，
移项得：x2﹣2x=3，
两边都加上1得：x2﹣2x+1=3+1，
即（x﹣1）2=4，
则用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3=0时，方程变形正确的是（x﹣1）2=4．
故选B
4．解：由原方程移项，得
x2﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴（x﹣1）2=6．
故选C．　
5．解：移项，得x2﹣4x=﹣2
在等号两边加上4，得x2﹣4x+4=﹣2+4
∴（x﹣2）2=2．
故C答案正确．
故选C．　
6．解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D　
7．解：∵x2﹣4x+3=0，
∴x2﹣4x=﹣3，
∴x2﹣4x+4=﹣3+4，
∴（x﹣2）2=1．故选B．
8．解：原方程为3x2﹣6x+1=0，二次项系数化为1，得x2﹣2x=﹣，
即x2﹣2x+1=﹣+1，所以（x﹣1）2=．故选D．
9．解：原方程左边配方，得（x﹣）2=0，
∴x1=x2=．
故选D．
10．解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，
配方得（x﹣1）2=4．
故选A．
二．填空题（共6小题）
11．解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，
∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．
12．解：根据题意，（x﹣3）2=3可变为：x2﹣6x+6=0，和已知一元二次方程x2﹣ax+6=0比较知a=6　
13．解：∵x2﹣2x=﹣1，
∴（x﹣1）2=0，
解得x1=x2=1．
14．解：∵x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣4+3，
∴x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
15．解：据题意得x2﹣8x+12=﹣4
∴x2﹣8x+16=0
∴（x﹣4）2=0
∴x1=x2=4
∴当x=4时，代数式x2﹣8x+12的值是﹣4．
16．解：∵x2﹣2x﹣2=0
∴x2﹣2x=2
∴（x﹣1）2=3
∴x1=1+，x2=1﹣　
三．解答题（共5小题）
17．解：∵x2﹣2x=2x+1，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，
（x﹣2）2=5，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2﹣．
18．解：∵x2﹣4x﹣1=0，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，
∴（x﹣2）2=5，
∴x=2±，
∴x1=2+，x2=2﹣．
19．解：x2+8x=16，
x2+8x+42=16+42，
（x+4）2=32，
∴x+4=±4，
∴x1=4﹣4，
x2=﹣4﹣4．　
20．解：（x﹣3）2=15，
x﹣3=±．
∴x1=3+，x2=3﹣．
21．解：∵x2+4x+2=0
∴x2+4x=﹣2
∴x2+4x+4=﹣2+4
∴（x+2）2=2
∴x=﹣2
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣