2.2.3《解一元二次方程—公式法》典例解析与同步训练

2.2.3《解一元二次方程—公式法》典例解析与同步训练
【知识要点】
（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
【典例解析】
例1．已知：m=﹣2+，n=﹣2﹣
（1）求m+n，mn；
（2）解关于x方程：x2﹣（m+n）x+mn=0．
例题分析：第一小题考查二次根式的综合运用，较为简单，第二小题可利用因式分解法来解决．
（1）利用合并同类二次根式和平方差公式可解决；
（2）把m+n，mn的值代入关于x方程：x2﹣（m+n）x+mn=0，利用公式求出方程的解．
解：（1）m+n=（﹣2+）+（﹣2﹣）=﹣4
mn=（﹣2+）（﹣2﹣）=﹣1；
（2）方程x2﹣（m+n）x+mn=0就是x2+4x﹣1=0
∴x=
即x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
例2．解方程：x2﹣x﹣5=0．
例题分析：解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，代入公式即可求解．
解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣5
∴△=b2﹣4ac=21＞0
∴
∴x1=，x2=．
例3．（1）已知x2﹣9=0，求代数式x2（x+1）﹣x（x2﹣1）﹣x﹣7的值；
（2）解方程：2x2﹣5x﹣7=0．
例题分析：本题解题思路是把x2看作一个整体，利用整体代入法求值．　
（1）先化简，代入即可求值；
（2）解一元二次方程可用公式法求解，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．
解：（1）由x2﹣9=0得x2=9，
则原式=x3+x2﹣x3+x﹣x﹣7=x2﹣7=9﹣7=2．
（2）∵a=2，b=﹣5，c=﹣7；
∴b2﹣4ac=81．
解得x=，
则x1=，x2=﹣1．
例4．（1）先化简，再求值：，其中
（2）解方程：（3x+2）（x+3）=x+14
例题分析：本题除考查了分式的混合运算外，还考查了一元二次方程的解法，正确记忆理解公式是解题关键．　
（1）本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．
（2）首先将所求方程整理为一般式，然后再用公式法进行求解即可．
解：（1）原式=
=
=
=；
当时，原式=；
（2）原方程化为3x2+10x﹣8=0
∴
即x=；
∴，x2=﹣4．
例5． 2x2+3x﹣1=0．
例题分析：
此题考查了公式法解一元二次方程，解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解：∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
【同步训练】
一．选择题（共9小题）
1．方程x2+x﹣1=0的根是（　　）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．　
2．分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0　
3．a、b是实数，如果已知﹣3=0，且b4+b2﹣3=0，那么的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9　
4．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（　　）
A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2　
5．方程x（x﹣1）=2的两根为（　　）
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=﹣1 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2　
6．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b　
7．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（　　）
A．y= B．y= C．y= D．y=　
8．用公式法解方程x2﹣3x﹣1=0正确的解为（　　）
A．x1，2= B．x1，2= C．x1，2= D．x1，2=　
9．方程x2﹣|x|﹣1=0的解是（　　）
A． B．± C．或 D．　
二．填空题（共5小题）
10．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为　_________　．
11．方程x2﹣3x+1=0的解是x=　_________　．
12．方程3x2﹣5x+1=0的解为　_________　．
13．一元二次方程x2+x﹣1=0的解是　_________　．
14．方程x2﹣3x+1=0的解是　_________　．
三．解答题（共4小题）
15．解方程：x2+3x+1=0．
　
16．解方程：x2+x﹣1=0
　
17．解方程：x2﹣2x﹣1=0
　
18．（1）计算：+|﹣3|+（2﹣）0+（﹣1）；
（2）解方程：x2+3x+1=0．　
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：a=1，b=1，c=﹣1，
b2﹣4ac=1+4=5＞0，
x=；故选D．
2．解：由分式的值为零的条件得x2﹣9=0且（x﹣1）（x﹣3）≠0，
由x2﹣9=0，得（x+3）（x﹣3）=0，∴x=3或x=﹣3，
由（x﹣1）（x﹣3）≠0，得x≠1且x≠3，
综上，得x=﹣3．
故选B．
3．解：解法一：令，n=b2
则，转化为m2﹣m﹣3=0，b4+b2﹣3=0转化为n2+n﹣3=0，
解方程m2﹣m﹣3=0得m=或m=，
由于，m=，
同理解方程n2+n﹣3=0得n=，n=（不合题意，舍去），
所以m=，n=，
因而==m2+n2=（m+n）2﹣2mn==7；
故选B．
4．解：（x+1）（x﹣3）=5，
x2﹣2x﹣3﹣5=0，
x2﹣2x﹣8=0，
a=1，b=﹣2，c=﹣8
△=4+32=36＞0
∴x=
∴x1=4，x2=﹣2．
故选B．
5．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2=0，
a=1，b=﹣1，c=﹣2
△=1+8=9＞0
∴x=
解得x1=﹣1，x2=2．故选D．
6．解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，
根据求根公式得到：x=，
又因m=＜a，n=＞b，
∵a=，b=
∵a＜b，
∴a＜＜b，
又∵＜＜＜＜，
∴m＜a＜b＜n．
故本题选A．
7．解：∵4y2=12y+3
∴4y2﹣12y﹣3=0
∴a=4，b=﹣12，c=﹣3
∴b2﹣4ac=192
∴y==．故选C．
8．解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=13＞0
∴x=．故选D．
9．解：方程整理得：|x|2﹣|x|﹣1=0
a=1，b=﹣1，c=﹣1
△=1+4=5
|x|=．
∵|x|＞0，
∴|x|=
∴x=±．
故选B．
二．填空题（共5小题）
10．解：a=
=
=2±，
∴a1=2+，a2=2﹣，
故答案为a1=2+，a2=2﹣．
11．解：∵a=1，b=﹣3，c=1
∴b2﹣4ac=5
∴x=．
12．解：∵a=3，b=﹣5，c=1
∴b2﹣4ac=13
∴x=
∴x1=，x2=．
13．解：a=1，b=1，c=﹣1
∴b2﹣4ac=5
∴x=
∴x1=，x2=．
14．解：a=1，b=﹣3，c=1，
b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，
x=；
∴x1=，x2=．
三．解答题（共4小题）
15．解：a=1，b=3，c=1
∴x==．
∴x1=，x2=．
16．解：a=1，b=1，c=﹣1，
b2﹣4ac=1+4=5＞0，
x=；
∴x1=，x2=．
17．解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1
∴b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0
∴
∴，；
解法二：（x﹣1）2=2
∴
∴，．
　
18．解：（1）原式=2+3+1﹣1=5．
（2）a=1，b=3，c=1；
=．
所以原方程的解为：，．