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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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保密★启用前
2021-2022学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》常考题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
考点：菱形的性质；平行四边形的性质．
2．(本题3分)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．
3．(本题3分)如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB=2，∠B=60°，易得△ABC是等边三角形，即可得到答案．
【详解】
连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2．
故选：B．
．
【点睛】
本题考点：菱形的性质．
4．(本题3分)下列命题中，真命题是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【详解】
解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
5．(本题3分)如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选C．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
6．(本题3分)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【解析】
【分析】
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7．(本题3分)如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60
C．76 D．80
【答案】C
【解析】
【详解】
解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴AB=
∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-
=100-24
=76.
故选C.
8．(本题3分)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】B
【解析】
【详解】
如图
设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
9．(本题3分)如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延长DH交AG于点E，利用SSS证出△AGB≌△CHD，然后利用ASA证出△ADE≌△DCH，根据全等三角形的性质求出EG、HE和∠HEG，最后利用勾股定理即可求出HG．
【详解】
解：延长DH交AG于点E
∵四边形ABCD为正方形
∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°
在△AGB和△CHD中
∴△AGB≌△CHD
∴∠BAG=∠DCH
∵∠BAG＋∠DAE=90°
∴∠DCH＋∠DAE=90°
∴CH2＋DH2=82＋62=100= DC2
∴△CHD为直角三角形，∠CHD=90°
∴∠DCH＋∠CDH=90°
∴∠DAE=∠CDH，
∵∠CDH＋∠ADE=90°
∴∠ADE=∠DCH
在△ADE和△DCH中
∴△ADE≌△DCH
∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°
∴EG=AG－AE=2，HE= DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°
在Rt△GEH中，GH=
故选B．
【点睛】
此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
10．(本题3分)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG；
②再由GF＋GB＝GA＋GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即可判断；
③由△BEF是等腰三角形，证明∠EBF＝∠DEC，；
④结合①可得AG＝GF，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF的面积．
【详解】
解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
故①正确；
②∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：（x＋6）2＝62＋（12 x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，
故②正确；
③∵EF＝EC＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，
∴∠DEC＝∠EBF，
∴BF//DE，
故③正确；
④∵S△GBE＝BE BG＝×6×8＝24，
∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，
∴，
∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝，
故④正确．
综上可知正确的结论的是4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共21分)
11．(本题3分)直角三角形两条边长分别是6和8，则第三边上的中线长是_________．
【答案】5或
【解析】
【分析】
分①8是直角边时，利用勾股定理列式求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答，②8是斜边，利用勾股定理列式求出第三边，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】
解：①8是直角边时，斜边==10，
第三边上的中线长=×10=5，
②8是斜边时，另一直角边==，
第三边上的中线长==，
综上所述，第三边上的中线长是5或，
故答案为：5或．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，要注意求的是第三边上的中线，而非斜边的中线，难点在于要分情况讨论．
12．(本题3分)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使它变为矩形，还需要添加一个条件是______．
【答案】AC=BD
【解析】
【分析】
由四边形ABCD的对角线互相平分，可得出四边形ABCD为平行四边形，对比平行四边形与矩形的性质可找出结论．
【详解】
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形．
若要 ABCD为矩形，只需AC=BD即可．
故答案为AC=BD．
【点睛】
本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法.
13．(本题3分)如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先在Rt△ABF中，求出BF，再在Rt△EFC中，利用勾股定理构建方程求出EC即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=4cm，
设EC=x，则DE=EF=8-x，
在Rt△EFC中，∵EF2=EC2+CF2，
∴（8-x）2=x2+42，
∴x=3cm，
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
14．(本题3分)如图，在正方形中，是对角线上的点，，，分别为垂足，连结. 设分别是的中点，，则的长为________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】
连接AG，CG，根据矩形的判定定理得到四边形CFGE是矩形，求得CG＝EF＝5，根据全等三角形的性质得到AG＝CG＝5，由三角形中位线的性质即可得到结论．
【详解】
连接AG，CG，
∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形CFGE是矩形，
∴CG＝EF＝5，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG＝5，
∵M，N分别是AB，BG的中点，
∴MN＝AG＝2.5，
故答案为2.5．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．(本题3分)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
【答案】3或
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】
此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
16．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
【答案】（10，3）
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】
∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10 6=4，
设EC=x，则DE=EF=8 x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8 x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3.
∴点E的坐标为(10,3).
17．(本题3分)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P是直线上一动点，点Q为坐标平面内的点，要使以为顶点的四边形为菱形，则点Q的坐标是_______．
【答案】（-3，），（，3），（3，），（，-1）
【解析】
【分析】
先根据直线表达式求出点A和点B坐标，再根据已知条件画出图形，根据图形求出相应线段的长度即可求出点Q的坐标．
【详解】
解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，2），
若OA为菱形的边，
如图1，过点Q作x轴的垂线，垂足为C，
∵OA==OQ，OB=2，
∴AB==4，
∴∠OAB=30°，
∴∠QOC=30°，
∴CQ=OQ=，
∴OC==3，
∴点Q的坐标为（-3，）；
如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为C，
设OC=x，则PC=，
∵OA=OP=，
∴在△PCO中，，
解得：x=（舍）或x=，
∴PC=3，即点P的坐标为（，3），
∵四边形AOPQ为菱形，
∴点Q坐标为（，3）；
如图3，根据图1的结果同理可得：
点Q的坐标为：（3，）；
若OA为菱形的对角线，如图4，四边形AQOP为菱形，
∴PQ垂直平分OA，
∴P、Q的横坐标为，
代入中，得，
∴点P的坐标为（，1），
∴点Q的坐标为（，-1）；
综上：点Q的坐标为（-3，），（，3），（3，），（，-1），
故答案为：（-3，），（，3），（3，），（，-1）．
【点睛】
本题考查了一次函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是能够根据菱形的性质进行分类讨论．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形，使点P落在AB的对边上(不包括端点)．
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的菱形，使点P落在菱形的内部(不包括边界)．
【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据一组对边平行且相等是平行四边形，过P作AB的平行线，使其作为平行四边形的一边，并且使这条边等于AB，端点在格点上即可.方案不唯一.
（2）根据四条边相等的四边形是菱形，由三角形全等的性质构造菱形的四条边，且使P点在菱形的内部即可.方案不唯一.
【详解】
（1）解：如下图
（2）解：如下图
【点睛】
本题考查了平行四边形和菱形的判定，灵活应用两者的性质画符合题意的平行四边形及菱形是解题的关键.
19．(本题8分)如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；根据四边形ABCD是平行四边形，AB=BC即可得出四边形ABCD是菱形，再由（1）可知四边形AMCN是矩形；从而得出结论；
【详解】
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；
20．(本题8分)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝________，EF＝__________
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【答案】（1）t， ；（2）详见解析；（3）当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出AC的长度，再根据路程=速度×时间即可求出AE的长度，而当0≤t≤2.5时， ；当2.5＜t≤5时，即可求解；
（2）先通过SAS证明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE，，从而有，最后利用一组对边平行且相等即可证明；
（3）利用矩形的性质可知FG=EF,求出GH，用含t的代数式表示出EF,建立方程求解即可．
【详解】
（1）
当0≤t≤2.5时，
当2.5＜t≤5时，
∴
故答案为：t，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵ G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴，
∴ GF＝HE，
∴四 边 形 EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点 G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴ GH＝BC＝4，
∴ 当 EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤2.5时,AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5
②当2.5＜t≤5时，,AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定及矩形的性质，掌握平行四边形的判定方法及矩形的性质是解题的关键．
21．(本题8分)如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】
（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22．(本题9分)将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）①5；②2．
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质得OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，再利用AD∥AC得到∠FAC＝∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF＝OE，加上OA＝OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得（8﹣x）2+42＝x2，然后解方程即可得到菱形的边长；
②先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC＝4，则OA＝AC＝2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出OE＝，所以EF＝2OE＝2．
【详解】
（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝5，
OE＝＝，
∴EF＝2OE＝2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质及折叠的性质．菱形是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
23．(本题10分)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于B，点P是x轴上的一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当点P在x轴正半轴上，且△APB的面积为8时，求直线PB的解析式；
（3）点Q在第二象限，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B(0，4)，A（﹣3，0）；（2）y=﹣x+4；（3）（﹣5，4）或（﹣，4）
【解析】
【分析】
（1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论；
（2）设出点P坐标，利用△PAB的面积建立方程求出P的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）先判断出点Q在直线y=4上，再分两种情况讨论计算即可．
【详解】
（1）令x=0时，y=4，
∴B（0，4），
令y=0时，x+4=0，
∴x=﹣3，
∴A（﹣3，0）；
（2）设点P（m，0）（m＞0），
∵A（﹣3，0），
∴AP=m﹣（﹣3）=m+3，
∵△APB的面积为8，
∴S△APB=AP×OB=（m+3）×4=8，
∴m=1，
∴P（1，0），
∵B（0，4），
∴设直线PB的解析式为y=kx+4，
∴k+4=0，
∴k=﹣4，
∴直线PB的解析式为y=﹣x+4；
（3）如图，
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，且P在x轴上，
∴BQ∥AP，
∴点Q在直线y=4上，
由（1）知，A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB=5，
∵点Q在第二象限内，
∴①当AB为菱形的边时，
∴BQ'=AB=5，
∴Q'（﹣5，4），
②当AB为菱形的对角线时，AB，PQ互相垂直平分，
∵直线AB的解析式为y=x+4，
∴直线PQ的解析式为y=－x+，
当y=4时，则﹣x+ =4，
∴x=﹣ ，
∴Q（﹣，4），
∴满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（﹣，4）．
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式和菱形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
试卷第1页，共3页
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2021-2022学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》常考题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
2．(本题3分)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
3．(本题3分)如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（ ）
A． B． C． D．
4．(本题3分)下列命题中，真命题是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．(本题3分)如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
6．(本题3分)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
7．(本题3分)如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60
C．76 D．80
8．(本题3分)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
9．(本题3分)如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题）
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)直角三角形两条边长分别是6和8，则第三边上的中线长是_________．
12．(本题3分)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使它变为矩形，还需要添加一个条件是______．
13．(本题3分)如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________．
14．(本题3分)如图，在正方形中，是对角线上的点，，，分别为垂足，连结. 设分别是的中点，，则的长为________．
15．(本题3分)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
16．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 .
17．(本题3分)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P是直线上一动点，点Q为坐标平面内的点，要使以为顶点的四边形为菱形，则点Q的坐标是_______．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形，使点P落在AB的对边上(不包括端点)．
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的菱形，使点P落在菱形的内部(不包括边界)．
19．(本题8分)如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
20．(本题8分)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝________，EF＝__________
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
21．(本题8分)如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
22．(本题9分)将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．
23．(本题10分)如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于B，点P是x轴上的一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当点P在x轴正半轴上，且△APB的面积为8时，求直线PB的解析式；
（3）点Q在第二象限，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
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