(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
中小学教育资源及组卷应用平台 (
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
保密★启用前
2021-2022学年浙江八年级数学下学期第四章《平行四边形》能力提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)正多边形的每个内角都是135°，则该正多边形的对角线条数是（ ）
A．8 B．40 C．28 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
根据n边形内角定理和及对角线条数的公式列方程即可解得答案．
【详解】
解：设该正多边形的边数是n，则根据内角和可列方程：
135n=180（n-2），解得n=8，
则这个正多边形所有对角线的条数为：
故选：D．
【点睛】
本题主要考查多边形内角、多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形内角和公式，n边形多角线条数为．
2．(本题3分)下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．(本题3分)用反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，第一步应假设（ ）
A．// B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交
【答案】D
【解析】
【分析】
根据用反证法证明的方法，首先从命题结论的反面出发，假设命题不正确，可以直接得出答案．
【详解】
解：∵反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，
∴第一步应假设与不平行，即与相交．
故选：D
【点睛】
此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，熟知反证法证明题目的一般步骤是解题关键．
4．(本题3分)如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行线的性质得到内错角相等和角平分线的性质通过等量代换，得到， ，所以，因此
【详解】
解： 点、分别为边、的中点，
，
∵BF是∠ABC的角平分线
故选：．
【点睛】
本题考察了平行线的性质及三角形的中位线性质；利用三角形的中位线性质是解决本题的关键点．
5．(本题3分) ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】
如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．(本题3分)如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
S1与S2有一公共边CA，又有对角线可得 与 的高BF与DG相等，进而可得出结论．
【详解】
解：如图1，过B、D作分别、，
四边形BCDE是平行四边形，
，
、，
，
BF= DG，
，
S1=S2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形对角线上一点所涉及的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．(本题3分)如图，的周长为19，点，在边上，的角平分线垂直于，垂足为，的角平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8．(本题3分)如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8 B．9
C．12 D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．
【详解】
解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，根据等边三角形的性质作辅助线构造平行四边形是解题的关键．
9．(本题3分)如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，由翻折的性质可得出AB=AE，，BD=DE，易证，得出结论BO=EO，，即证明．由题意可求出DF=EF=2.5，BD=DE=5，即得出和等底同高，即可求出的面积，从而可求出EO的长，进而可求出BE的长．再在中，利用勾股定理可求出OD的长，最后在中，利用等积法，即可求出的长，再由点F是DE的中点和所作辅助线，即可求出FG的长，即点F到BC的距离．
【详解】
如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G，
由翻折可知AB=AE，，BD=DE，
又∵AO=AO，
∴，
∴BO=EO，，
∴．
∵点F是DE的中点，EF=2.5，
∴DF=EF=2.5，BD=DE=5，
∴和等底同高，
∴．
∵，
∴，
解得：．
∴在中，，
∵．
∴．
又∵，
∴，
解得：．
∵点F是DE的中点，，，
∴FG为中位线，
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质．正确的作出辅助线和利用数形结合的思想是解答本题的关键．
10．(本题3分)对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】
解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)正六边形的一个内角是正边形一个外角的6倍，则_______．
【答案】18
【解析】
【分析】
先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角为120°，进而得正n边形的外角为20°，再根据外角和定理即可求解．
【详解】
解：由多边形的内角和定理可知，正六边形的内角为，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的6倍，
∴正n边形的外角为20°，
∴正n边形的边数为：360°÷20°=18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角与内角的知识．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理．
12．(本题3分)如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】
∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．
13．(本题3分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动_________秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得AB=CD=8cm，AD=BC=12cm，AD//BC，再证AB=AE=8cm，同理CD=DF=8cm，求出EF=4cm，当PQ=EF时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，设当点P运动时间为t秒，①当四边形PQEF是平行四边形时，12-t-2t=4，解得t=s；②当四边形QPEF是平行四边形时，2t+t-12=4，解得t=s，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8cm，AD=BC=12cm，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠BCF=∠DFC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=8cm，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF=8cm，
∴EF=AE+DF-AD=8+8-12=4(cm)，
∵AD//BC，
∴EF//PQ，
∴当PQ=EF时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，设当点P运动t秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形PQEF是平行四边形时，
12-t-2t=4，
解得：t=（s）；
②当四边形QPEF是平行四边形时，
2t＋t-12=4，
解得：t=（s）；
综上所述，当点P运动秒或秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判与性质、分类讨论等知识，证明AB=AE，CD=DF是解题的关键．
14．(本题3分)在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过__秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分．
【答案】4或8##或
【解析】
【分析】
求得的面积，然后设直线平移后的解析式为，交于，交于，分两种情况讨论，关键是利用梯形的面积公式即可求得的值，进而可得答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，，点，
，
设直线平移后的解析式为，交于，交于，
把代入得，，解得，
，，
把代入得，，解得，
，，
若四边形的面积是四边形的面积的时，则，
，
解得；
此时直线要向下平移8个单位；
时间为4秒；
若四边形的面积是四边形的面积的时，则，
，
解得，
此时直线要向下平移16个单位；
时间为8秒，
故答案为：4或8．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键．
15．(本题3分)已知线段，、是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为__
【答案】4
【解析】
【分析】
分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，运用中位线的性质求出的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长、交于点，连接、，、分别是、的中点．
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
正好为的中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线，
，
点移动的路径长度为4．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强，有一定难度．
16．(本题3分)如图，中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
①由等腰直角三角形的性质可求得BD=BE；
②由余角的性质及平行四边形的性质可求得∠A=∠C=∠BHE；
③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH=CD，再由平行四边形的性质即可得AB=BH；
④在△BCF和△GDF中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等．
【详解】
解：∵∠DBC=45゜，DB⊥BC
∴∠DBE=∠BDE=45°
∴BE= DE
∴BD=BE
故①正确
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH=∠DEC=90°
∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C
∴∠C=∠BHE
∵四边形ABCD是平行四边形，
.∴∠A=∠C=∠BHE
故②正确
∵∠C+∠CDE=90
∠CDB=∠HBE
在△BHE和△DCB中
∴△BHE≌△DCE(ASA)
∴BH=CD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD
∴AB=BH
故③正确
在△BCF和△GDF中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等
故④错误
故正确的有①②③
故答案为：①②③
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17．(本题3分)如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得：，，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，当时，此时OP有最小值，即可求解．
【详解】
如图，设AB与PD交于点O，连接OC，
∵四边形ADBP是平行四边形
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
当点P与点C重合时，此时OP有最大值
∴DP的最大值为
当时，此时OP有最小值
∵
∴
∴DP的最小值为
∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合）
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解．
(1)
解：在中，，
在中，，
（对顶角相等），
，
；
(2)
解：如图3，
连接 ，则，
根据“8字形”数量关系，，
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
19．(本题8分)已知在中，，点在上，以、为腰做等腰三角形，且，连接，过作交延长线于，连接．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)120°
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）证明：由等边对等角可知，即得出．由题意可得，，即得出．由，可证明， 从而可证明，即易证≌；
（2）根据题意可知，再根据≌即可证明，从而可求出．由两直线平行，同旁内角互补可得出，从而可求出；
（3）由（2）知，再根据两直线平行，内错角相等即可证明，即得出，从而可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
(1)
证明：，
，
，
以、为腰做等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌；
(2)
解：，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
(3)
证明：≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行四边形的判定．掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
20．(本题8分)在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，根据条件可证明△ABE≌△CDF（ASA），
可得DE=BF，即可证明四边形BFDE是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，根据内错角相等及题意可知△CDE为等腰三角形，即DE=DC=5，可知△CDF为直角三角形，即△EBC为直角三角形，再根据勾股定理即可解得CE的长．
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，∠A=∠DCF，AB=CD，
∵∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
(2)
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DEC=∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
在△DFC中，CF=3，DF=4，DE=DC=5，
∴DC2=CF2+DF2，
∴△DFC是直角三角形，
∴∠DFC=90°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并结合题意根据勾股定理解答是解出本题的关键．
21．(本题8分)如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．
(1)求直线的解析式：
(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，
(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)20
(3)存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形
【解析】
【分析】
（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）先求出B、D的坐标，从而求出BD，然后求出点C的坐标，根据求解即可；
（3）设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），则，再由四边形OBEF是平行四边形，得到EF=OB=4，则，由此求解即可．
(1)
解：∵OA=8，
∴点A的坐标为（8，0），
∴，
∴b=4，
∴直线的解析式为；
(2)
解：∵直线：与y轴交于点D，直线：与y轴交于点B，
∴点D的坐标为（0，-6），点B的坐标为（0，4），
∴BD=10，
联立 ，
解得，
∴点C的坐标为（4，2），
∴；
(3)
解：假设存在，
设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），
∴，
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴EF=OB=4，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，），
∴存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的额关键．
22．(本题9分)如图1，点分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点分别交坐标轴于点，且．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）如图3，若点F为，点P在第一象限内，连接，过P作交y轴于点M，在上截取，连接，过P作交于点G，求证：点G是的中点．
【答案】（1）（0，4）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）作轴于，求出，证，推出，，即可得出答案；
（2）在上截取，连，证，证，即可得出答案．
（3）作交的延长线于，连接、、，只要证明四边形是平行四边形就可以了．
【详解】
解：（1）作轴于，
，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
（2）证明：在上截取，连，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，（图1中），
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，作交的延长线于，连接、、，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即点是中点．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及等角的余角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
23．(本题10分)如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设．
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）先根据含有30°角的直角三角形的性质得出，，再根据平行四边形的面积为得出关于m的方程，解之即可；
（2）根据直角三角形的性质和平行四边形的性质得出，再根据AAS即可得出；
（3）分①当AD//PF和②当AD//PQ两种情况进行分析即可；
【详解】
解：（1）过点P作PH⊥BC于H，则∠PHC=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，∠BPH=90°，
∵，
∴，，
∵BC=4，CQ=m，
∴BQ=4-m，
∵平行四边形的面积为，
∴
∴m=1或3
∵P点在AB上
∴m=1，
（2）∵四边形是平行四边形
∴PD=BQ=4-m，PD//BC，BP//QD
∴∠D=∠FQC，
∵∠C=90°，
∴∠AEP=90°，
∴，
∴，
∵∠DFE=∠QFC，
∴
（3）过点Q作QM⊥AB于M，则∠BMQ=90°，
∵∠ABC=60°，
∴，，
∵
∴QF=DF，
∴，
∴的面积=，
∵QF与AD相交于点D，则AD不平行QF，
①当AD//PF时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形,
∴DF=AP，
∴2m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
②当AD//PQ时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形,
∴DQ=AP，
∴4m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
综上所述：的面积为或；
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
中小学教育资源及组卷应用平台 (
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
保密★启用前
2021-2022学年浙江八年级数学下学期第四章《平行四边形》能力提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)正多边形的每个内角都是135°，则该正多边形的对角线条数是（ ）
A．8 B．40 C．28 D．20
2．(本题3分)下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
3．(本题3分)用反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，第一步应假设（ ）
A．// B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交
4．(本题3分)如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．(本题3分) ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE
6．(本题3分)如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
7．(本题3分)如图，的周长为19，点，在边上，的角平分线垂直于，垂足为，的角平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．(本题3分)如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（ ）
A．8 B．9
C．12 D．15
9．(本题3分)如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8
10．(本题3分)对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
第II卷（非选择题）
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)正六边形的一个内角是正边形一个外角的6倍，则_______．
12．(本题3分)如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
13．(本题3分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动_________秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
14．(本题3分)在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过__秒该直线可将平行四边形OABC的面积分为1：3两部分．
15．(本题3分)已知线段，、是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为__
16．(本题3分)如图，中，，于点，于点，，相交于点，与的延长线相交于点．下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______．
17．(本题3分)如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______．
三、解答题(共49分)
18．(本题6分)已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
19．(本题8分)已知在中，，点在上，以、为腰做等腰三角形，且，连接，过作交延长线于，连接．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数；
(3)求证：四边形是平行四边形．
20．(本题8分)在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠ABE=∠CDF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=3，DF=4，DE=5，求CE的长
21．(本题8分)如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8．
(1)求直线的解析式：
(2)若与y轴交于点D，求△BCD的面积，
(3)在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
22．(本题9分)如图1，点分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点分别交坐标轴于点，且．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）如图3，若点F为，点P在第一象限内，连接，过P作交y轴于点M，在上截取，连接，过P作交于点G，求证：点G是的中点．
23．(本题10分)如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设．
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
