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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 几何思想之三角形中位线重点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江慈溪·八年级期中）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）21教育网
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A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
2．（2021·浙江·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…依此类推，则四边形A9B9C9D9的周长为（ ）
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A． B． C． D．
3．（2021·浙江·杭州市公益 ( http: / / www.21cnjy.com )中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CDAE．若BD6，CD5，则△DCG的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．10 B．5 C． D．
4．如图，四边形中，为的中点，为的角平分线，过点作于点，连接．若，则的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C．2 D．
5．如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）21cnjy.com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（ ）
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A．2 B． C． D．
7．（2021·浙江北仑·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（ ）21·世纪*教育网
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A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB
8．（2021·浙江·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．8 B．10 C．12 D．14
9．（2021·浙江·杭州市公益中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．60 B．20 C．120 D．130
二、填空题
10．（2021·浙江·温州外国语学校八年级期中）如图，在中，分别是其角平分线和中线，过点作，分别交于点，连结，则线段的长是____．
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11．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，平分，，垂足为，为的中点．若，，则的长为_______________________．21*cnjy*com
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12．如图，在中，点E，F分别是AB，AC的中点，点D是线段EF上一点，连结BD，并延长至点G，使得．连结AG．若．则DF的长为__________．
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13．如图，已知，P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边和连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________．
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14．如图，，点C，D在射线上，且，P是射线上的动点，Q是线段的中点，则线段长的最小值为________．21教育名师原创作品
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15．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在平行四边形中，，，延长至点E，使得，连接交于点F，当为等腰三角形时，则与之间的距离为________．
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16．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是_______．
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17．如图，，点C，D在射线上，且，P是射线上的动点，Q是线段的中点，则线段长的最小值为________．【出处：21教育名师】
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18．（2021·浙江鄞州·八年级期中）如图，△ABC和△DBC均在BC的上方，边AC与BD相交于一点，M是BD的中点，N是AC的中点，连接MN．若AB＝4，CD＝4，MN＝2，∠BCD＝80°，则∠ABC＝__．
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19．如图，△ABC的周长为25，点D，E ( http: / / www.21cnjy.com )都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长________．【版权所有：21教育】
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20．（2021·浙江余杭·八年级期中）在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，已知，，则的周长等于______．21*cnjy*com
三、解答题
21．（2021·浙江鄞州·八年级期中）已知，如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E，F在对角线上，且．
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（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结交于点O，若，求的长．
22．如图平分平分和交于点为的中点，连结．
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（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；
（2）若，求的长．
23．已知，如图，O为正方形对角线的交点，平分，交于点E，延长到点F，使，连结，交的延长线于点G，连结．2·1·c·n·j·y
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（1）求证：．
（2）判断与有何数量及位置关系，证明你的结论．
（3）若，求正方形的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，且，C是的中点．动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．21·cn·jy·com
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（1）当P为中点时，的外角的平分线与的延长线交于点E．
①求证：；
②若，则________；
（2）若时，连结，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．【来源：21cnj*y.co*m】
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本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题04 几何思想之三角形中位线重点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江慈溪·八年级期中）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）21·世纪*教育网
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A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【标准答案】B
【思路指引】
过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【详解详析】
解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，
∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，
∴DM＝ME＝DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，
∴＝＝，
∴NM＝AG＝PG，
∵DM＝ME，
∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．
2．（2021·浙江·八年级月考）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…依此类推，则四边形A9B9C9D9的周长为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
连接AC、BC，根据勾股定理求出A1B1， ( http: / / www.21cnjy.com )根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形A1B1C1D1是菱形，且菱形的周长＝5×4＝20，总结规律，根据规律解答．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：连接AC、BC，
由题意得，AB1＝×6＝3，AA1＝×8＝4，
由勾股定理得，A1B1＝＝5，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形A1B1C1D1，
∴A1B1＝BD，A1B1∥BD，C1B1＝AC，C1B1∥AC，A1D1＝AC，A1D1∥AC，21*cnjy*com
∴A1B1＝C1D1，A1B1∥C1D1，A1B1∥B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，且菱形的周长＝5×4＝20，
同理，四边形A3B3C3D3是菱形，且菱形的周长＝20×＝10，
……
四边形A9B9C9D9是菱形，且菱形的周长＝20×＝，
故选：B．
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【名师指路】
本题考查的是中点四边形，掌握矩形的性质、矩形和菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．
3．（2021·浙江·杭州市公益 ( http: / / www.21cnjy.com )中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CDAE．若BD6，CD5，则△DCG的面积是（ ）21cnjy.com
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A．10 B．5 C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
作EF⊥BC于F点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD中AB的长度，从而结合勾股定理求出AD的长度，再根据中位线定理可得EF的长度，然后进一步判定△EDC为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出，最后根据求解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴△ABD为直角三角形，E为斜边AB上的中点，
∴AE=BE=DE，
∵CD=AE，CD=5，
∴AB=2AE=10，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：，
∴AD=8，
作EF⊥BC于F点，则EF为△ABD的中位线，
∴，
又∵CD=ED，DG⊥CE于点G，
∴△EDC为等腰三角形，，
∵，
∴，
故选：B．
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【名师指路】
本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．
4．如图，四边形中，为的中点，为的角平分线，过点作于点，连接．若，则的长为（ ）
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A． B． C．2 D．
【标准答案】C
【思路指引】
连接CE，根据全等三角形全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的判定证得△ABE≌△CBE，得到∠BEC=∠BEA=90°，AE=CE，得到A，E，C共线，根据三角形中位线定理即可求出EF．
【详解详析】
解：连接CE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE⊥BE，
∴∠BEA=90°，
∵BE为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE，∠BEC=∠BEA=90°，
∴∠AEC=∠BEC+∠BEA=180°，
∴A，E，C共线，
∵F为CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=AD=×4=2，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的性质证得AE=CE，∠BEC=∠BEA=90°是解决问题的关键．
5．如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
由平行四边形的性质得出，，得出是等边三角形，又由，证得①，继而证得，得②；利用 可判断③，证明是三角形的中位线，证得④．
【详解详析】
解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确，
，
，
，故②正确，
故③错误；
，，，
，
，
，
，
，
，
．故④正确．
故选：C．
【名师指路】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
6．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（ ）
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A．2 B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
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∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=4，
∵AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴
在Rt△ACN中，∵，∠ACN=∠DAC=30°，
∴ ，
∵AE=EH，GF=FH，
∴，
而AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为 ，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
故选：．
【名师指路】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位 ( http: / / www.21cnjy.com )线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°．
7．（2021·浙江北仑·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB
【标准答案】D
【思路指引】
根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质、三角形三边的关系以及三角形内角和定理即可求解．
【详解详析】
解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE，FP分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PE=BC，PF=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，故选项A正确；
则△EPF是等腰三角形．
∴∠PEF=∠PFE=30°，
∴∠EPF=180°-2∠PEF=120°，故选项B正确；
∵PF+PE>EF，
∴AD+BC>EF，即AD+BC＞2EF，故选项C正确；
无法判断AB+DC＞2DB，故选项D不正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理、三角形三边关系及等腰三角形的性质，根据三角形中位线定理求出PF=PE是解题的关键．
8．（2021·浙江·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．14
【标准答案】D
【思路指引】
利用三角形中位线定理计算即可；
【详解详析】
∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴，，，
∴，，，
∴的周长；
故答案选D．
【名师指路】
本题主要考查了三角形中位线定理，准确计算是解题的关键．
9．（2021·浙江·杭州市公益中学八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．60 B．20 C．120 D．130
【标准答案】C
【思路指引】
连接EO，EG，OF，先证明四边形EOFG是平行四边形，得到S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，根据EO∥BG，得到S△EOG＝S△EOB，从而得到S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，由此求解即可．
【详解详析】
解：如图所示，连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO＝BC＝10，
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝26，BC＝20，
∴等腰△ABC中BC边上的高为＝24，
∴S△ABC＝×20×24＝240，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO＝S△ABC＝×240＝120，
∴阴影部分的面积为120，
故选C．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质与判定、 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的中线有关的面积计算、不规则图形图形面积的计算等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键．
二、填空题
10．（2021·浙江·温州外国语学校八年级期中）如图，在中，分别是其角平分线和中线，过点作，分别交于点，连结，则线段的长是____．
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【标准答案】1.5
【思路指引】
利用ASA定理证明△BAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得到AG=AB=6，BF=FG，根据三角形中位线定理计算，得到答案．21*cnjy*com
【详解详析】
解：∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAF和△GAF中，
，
∴△BAF≌△GAF（ASA），
∴AG=AB=6，BF=FG，
∴GC=AC-AG=9-6=3，
∵BF=FG，BE=EC，
∴EF=GC=1.5，
故答案为：1.5．
【名师指路】
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
11．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，平分，，垂足为，为的中点．若，，则的长为_______________________．
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【标准答案】
【思路指引】
如图，延长CD交AB于F，再证明△BDC≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )BDF，根据全等三角形的性质可得BF=BC=6，CD=DF，然后可求出AF，最后根据三角形中位线定理计算即可．
【详解详析】
解：如图：延长CD交AB于F
在△BDC和△BDF中
∴△BDC≌△BDF（ASA）
∴BF=BC=6，CD=DF
∴A F=AB-BF=4.
∵CD=DF，CE=EA
∴DE=AF=2．
故填2．
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【名师指路】
本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半成为解答本题的关键．
12．如图，在中，点E，F分别是AB，AC的中点，点D是线段EF上一点，连结BD，并延长至点G，使得．连结AG．若．则DF的长为__________．
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【标准答案】
【思路指引】
首先判断EF是△ABC的中位线，得到EF=BC，同理判断出ED=AG，结合BC-AG=1cm，可得2EF-2ED=1cm，从而得到DF．
【详解详析】
解：∵E、F是AB、AC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC，
∵GD=BD，即点D为BG中点，
∴ED为△ABG的中位线，
∴ED=AG，又BC-AG=1cm，
∴2EF-2ED=1cm，
∴2（EF-ED）=2DF=1cm，
∴DF=cm，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了中位线定理，线段的和差，解题的关键是熟练运用中位线定理得到线段之间的数量关系．
13．如图，已知，P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边和连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________．
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【标准答案】
【思路指引】
分别延长AC、BD交于点H， ( http: / / www.21cnjy.com )过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解详析】
解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，
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∵△APC和△BPD是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴△AHB是等边三角形，
∵∠A=∠DPB=60°，
∴AH∥PD，
∵∠B=∠CPA=60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，
∵△ABH是等边三角形，
∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．
∴MN=AB=，即G的移动路径长为．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
14．如图，，点C，D在射线上，且，P是射线上的动点，Q是线段的中点，则线段长的最小值为________．
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【标准答案】
【思路指引】
取OD的中点E，连接EQ，依据三角形中位 ( http: / / www.21cnjy.com )线定理即可得到EQ∥OP，进而得出∠CEQ=∠AOB=60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动；再根据当∠CQE=90°时，CQ⊥EQ，可得CQ最短；最后根据CE的长即可得到CQ的长．
【详解详析】
解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，
又∵Q是DP的中点，
∴EQ是△DOP的中位线，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ=∠AOB=60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，
如图，当∠CQE=90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，
∵OC=4，CD=2，E是OD的中点，
∴CE=OC-OE=4-OD=4-3=1，
∴Rt△CEQ中，CQ==，
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查的是三角形中位线定理以及 ( http: / / www.21cnjy.com )垂线段最短的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边．取OD的中点E，构造中位线EQ，得到点Q在过点E且平行于OB的直线上运动是解题的关键．
15．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在平行四边形中，，，延长至点E，使得，连接交于点F，当为等腰三角形时，则与之间的距离为________．
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【标准答案】或
【思路指引】
作于，证出是的中位线，得出，，得出，分两种情况，①时，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出即可；②时，设，则，由勾股定理得出方程，求出，由勾股定理得出即可．
【详解详析】
解：作于，如图所示：
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四边形是平行四边形，
，，，
，
，
是的中位线，
，，
，
分两种情况：
①时，
，
，
；
②时，
设，则，
，
，
即，
解得：，
；
综上所述，当为等腰三角形时，则与之间的距离为或；
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．www.21-cn-jy.com
16．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图所示，在平行四边形中，点E在线段上且，点F是边的中点，若，，且，则的长是_______．
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【标准答案】
【思路指引】
过点作于点，过点作交于点，连接，可得是等腰直角三角形，证明是三角形的中位线，可得四边形是平行四边形，再根据勾股定理即可得的长．
【详解详析】
解：如图，过点作于点，过点作交于点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是三角形的中位线，
，，
，
点是边的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
17．如图，，点C，D在射线上，且，P是射线上的动点，Q是线段的中点，则线段长的最小值为________．
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【标准答案】3
【思路指引】
取OC的中点E，连接PE，由题意易得，然后根据三角形中位线可得，要使CQ的值为最小，则PE的值也为最小，根据“点到直线，垂线段最短”可得当PE⊥OD时，PE取最小，然后根据含30°直角三角形的性质可进行求解．
【详解详析】
解：取OC的中点E，连接PE，如图所示：
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∴，
∵，
∴，
∵Q是线段的中点，
∴，
∴要使CQ的值为最小，则PE的值也为最小，即当PE⊥OD时，PE取最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴CQ的最小值为3；
故答案为3．
【名师指路】
本题主要考查三角形中位线、含30°直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握三角形中位线、含30°直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
18．（2021·浙江鄞州·八年级期中）如图，△ABC和△DBC均在BC的上方，边AC与BD相交于一点，M是BD的中点，N是AC的中点，连接MN．若AB＝4，CD＝4，MN＝2，∠BCD＝80°，则∠ABC＝__．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】55°．
【思路指引】
取BC的中点E，连接ME，NE，由三角形中位线定理得出ME∥CD，NE∥AB，ME＝CD，NE＝AB，证明△MNE是等腰直角三角形，由平行线的性质可求出答案．
【详解详析】
取BC的中点E，连接ME，NE，
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∵M是BD的中点，N是AC的中点，
∴ME，NE分别是△BCD和△ABC的中位线，
∴ME∥CD，NE∥AB，ME＝CD，NE＝AB，
∴∠BCD＝∠MEB，∠ABC＝∠NEC，
∵AB＝4，CD＝4，MN＝2，
∴ME＝2，NE＝2，
∵ME2+NM2＝22+22＝8，NE2＝8，
∴ME2+MN2＝NE2，
∴∠EMN＝90°，
∴△MNE是等腰直角三角形，
∴∠MEN＝45°，
∵∠BCD＝80°，
∴∠BEM＝∠BCD＝80°，
∴∠NEC＝180°﹣∠MEN﹣∠BEM＝180°﹣45°﹣80°＝55°，
∴∠ABC＝55°．
故答案为：55°．
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
19．如图，△ABC的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com )25，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长________．
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【标准答案】2.5
【思路指引】
根据已知条件证明△AQB≌△EQB及△APC ( http: / / www.21cnjy.com )≌△DPC，再得出PQ是△ADE的中位线，根据题中数据，根据DE=BE+CD-BC求出DE的长度，最后由中位线的性质即可求出PQ的长度．
【详解详析】
解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ=∠EBQ，
∵BQ⊥AE，
∴∠AQB=∠EQB=90°，
在△AQB与△EQB中
∴△AQB≌△EQB（ASA）
∴AQ=EQ，AB=BE
同理可得：△APC≌△DPC（ASA）
∴AP=DP，AC=DC，
∴P，Q分别为AD，AE的中点，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ=，
∵△ABC的周长为25，BC=10，
∴AB+AC=25-10=15，即BE+CD=15，
∴DE=BE+CD-BC=15-10=5
∴PQ=2.5.
故答案为：2.5．
【名师指路】
本题主要考查了中位线的性质，涉及全等三角形的判定及三角形周长计算的问题，解题的关键是根据全等三角形的性质得出中位线．21教育名师原创作品
20．（2021·浙江余杭·八年级期中）在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，已知，，则的周长等于______．
【标准答案】##
【思路指引】
过点作，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据等腰三角形的三线合一可得,中位线的性质求得，根据勾股定理求得，继而求得的周长．
【详解详析】
解：如图，过点作
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在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，
为的中点，
又为的中点，则
在中，
的周长等于
故答案为：
【名师指路】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，中位线的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
21．（2021·浙江鄞州·八年级期中）已知，如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E，F在对角线上，且．
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（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结交于点O，若，求的长．
【标准答案】（1）见解析；（2）3
【思路指引】
（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE=HF，∠AEG=∠CFH，则∠GEF=∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB=OD=6，再证出AE=OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
【详解详析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BD=12，
∴OB=OD=6，
∵AE=CF，OA=OC，
∴OE=OF，
∵AE=EF-CF，
∴AE+CF=EF，AE=CF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG=OB=3．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
22．如图平分平分和交于点为的中点，连结．
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（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；
（2）若，求的长．
【标准答案】（1）△ADC，△AFE，△DFE，△ADB，证明见解析；（2）5
【思路指引】
（1）图中△ADC，△AFE，△DFE，△ADB都是等腰三角形．根据等腰三角形的判定方法一一证明即可．
（2）求出AB的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）图中，，都，是等腰三角形．
理由：，
，
，
，
是等腰三角形，
平分，
，
，
，
，
，都是等腰三角形．
，
，，
，
，
是等腰三角形．
（2），，
，
在中，，
，，
．
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【名师指路】
本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中 ( http: / / www.21cnjy.com )位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，需要用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21世纪教育网版权所有
23．已知，如图，O为正方形对角线的交点，平分，交于点E，延长到点F，使，连结，交的延长线于点G，连结．【出处：21教育名师】
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（1）求证：．
（2）判断与有何数量及位置关系，证明你的结论．
（3）若，求正方形的面积．
【标准答案】（1）见解析；（2）且，证明见解析；（3）2
【思路指引】
（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得；
（2）首先先判断出，从而得到是的中位线，即可得出答案；
（3）设，则，，由，得出，，利用勾股定理，解得，即正方形的面积是2．
【详解详析】
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）且，
理由：如图，
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是正方形的对角线，
，
平分，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
而是的平分线，
，
为正方形的中心，
，
是的中位线，
且；
（3）设，则，，由（2）知，
，
，
，
，解得，
正方形的面积是2．
【名师指路】
本题主要考查了正方形的性质，涉及全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定及性质．【版权所有：21教育】
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，且，C是的中点．动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．
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（1）当P为中点时，的外角的平分线与的延长线交于点E．
①求证：；
②若，则________；
（2）若时，连结，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【标准答案】（1）①证明见解析；②；（2）：t=4或或．
【思路指引】
（1）①先证明再利用平行线的性质与角平分线的性质证明：从而可得结论；②先证明 设 可列方程：再利用平方差公式可得：从而可得答案；
（2）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，证明△PDF≌△CQE（AAS）， 再用含的代数式表示点D（2t-3，4-t）， 再分三种情况讨论即可.
【详解详析】
解：（1）①如图1，分别为的中点，
为的中位线，
平分
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②为的中点，
设
为中位线，
（2）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，
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∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CQ=PD，PD∥CQ，
∴∠QCP+∠DPC=180°，
∵AO∥CE， ∴∠OPC+∠PCE=180°，
∴∠FPD=∠ECQ，
又∵∠PFD=∠CEQ=90°，
∴△PDF≌△CQE（AAS），
∴DF=EQ，PF=CE，
∵为中点，
点C（3，4），点P（0，8-t），点Q（2t，0），
∴CE=PF=4，EQ=DF=2t-3，
∴FO=8-t-4=4-t，
∴点D（2t-3，4-t），
当点D落在直线OB上时，则4-t=0，即t=4，
当点D落在直线OC上时，
∵点C（3，4），
∴直线OC解析式为：，
∴4-t=， ∴，
当点D落在AB上时，
设为：
为：
综上所述：t=4或或．
【名师指路】
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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